В математике , Laguerre плоскость является одной из плоскостей Benz : Мёбиуса самолет , Лагерра плоскости и плоскости Минковского , названный в честь французского математика Эдмон Николя Лагерра .
классический самолет Лагерра: 2d / 3d-модель
По сути, классическая плоскость Лагерра представляет собой структуру падения, которая описывает поведение кривых в падении., т.е. параболы и прямые, в действительной аффинной плоскости . Чтобы упростить конструкцию, на любую кривую точка добавлен. Еще одним преимуществом этого завершения является: плоской геометрии заполненных параболы / линий изоморфна к геометрии плоских сечений одного цилиндра (смотри ниже).
Классический реальный самолет ЛагерраПервоначально классическая плоскость Лагерра определялась как геометрия ориентированных прямых и окружностей в реальной евклидовой плоскости (см. [1] ). Здесь мы предпочитаем параболическую модель классической плоскости Лагерра.
Мы определяем:
набор точек ,набор циклов .
Структура заболеваемости называется классической плоскостью Лагерра .
Набор точек плюс копия (см. рисунок). Любая парабола / линия получает дополнительный балл .
Точки с одинаковой координатой x не могут быть соединены кривыми. . Следовательно, мы определяем:
Два очка являются параллельными () если или нет цикла, содержащего а также .
Для описания классической вещественной плоскости Лагерра над двумя точками параллельны тогда и только тогда, когда . является отношением эквивалентности , аналогичным параллельности прямых.
Структура заболеваемости обладает следующими свойствами:
Лемма:
- По любым трем точкам , попарно не параллельны, существует ровно один цикл содержащий .
- Для любой точки и любой цикл есть ровно одна точка такой, что .
- Для любого цикла , любая точка и любой момент это не параллельно есть ровно один цикл через с участием , т.е. а также касаться друг друга в.
Laguerre-plane: стереографическая проекция плоскости xz на цилиндр
Подобно модели сферы классической плоскости Мебиуса, существует модель цилиндра для классической плоскости Лагерра:
изоморфна геометрии плоских сечений кругового цилиндра в .
Следующее отображение это проекция с центром который отображает плоскость xz на цилиндр уравнением , ось и радиус
- Точки (линия на цилиндре через центр) появляются не как изображения.
- проецирует параболу / линию с уравнением в самолет . Итак, изображение параболы / линии представляет собой плоское сечение цилиндра с неперпендикулярной плоскостью и, следовательно, окружность / эллипс без точки. Параболы / линия отображаются на (горизонтальные) окружности.
- Линия (a = 0) отображается на круг / эллипс через центр и парабола ( ) на круг / эллипс, не содержащие .
Аксиомы плоскости ЛагерраИз приведенной выше леммы вытекает следующее определение:
Позволять быть структурой инцидентности с набором точеки набор циклов .
Два очкаявляются параллельными () если или нет цикла, содержащего а также .
называется плоскостью Лагерра, если выполняются следующие аксиомы:
Плоскость Лагерра: аксиомы
- B1: Для любых трех точек , попарно не параллельны, существует ровно один цикл это содержит .
- B2: Для любой точки и любой цикл есть ровно одна точка такой, что .
- B3: Для любого цикла , любая точка и любой момент это не параллельно есть ровно один цикл через с участием ,
- т.е. а также касаться друг друга в .
- B4: Любой цикл содержит не менее трех точек, есть хотя бы один цикл. По крайней мере четыре точки не попадают в цикл.
Четыре балла являются одной окружности , если существует цикл с участием .
Из определения отношения и аксиомы B2 получаем
Лемма: отношениеявляется отношением эквивалентности .
Следуя цилиндрической модели классической плоскости Лагерра, введем обозначение:
а) Для мы установили . б) Класс эквивалентностиназывается генератором .
Для классической плоскости Лагерра образующая - это линия, параллельная оси y (плоская модель) или линия на цилиндре (космическая модель).
Связь с линейной геометрией дается следующим определением:
Для самолета Лагерра мы определяем локальную структуру
и назовем его остатком в точке P.
В плоской модели классической плоскости Лагерра это настоящая аффинная плоскость . В общем получаем
Теорема: любой вычет в плоскости Лагерра является аффинной плоскостью .
И эквивалентное определение плоскости Лагерра:
Теорема: структура инцидентности вместе с отношением эквивалентности на является плоскостью Лагерра тогда и только тогда, когда для любой точки остаток аффинная плоскость.
Конечные плоскости Лагерраминимальная модель плоскости Лагерра (показаны только 4 из 8 циклов)
Следующая структура инцидентности представляет собой минимальную модель плоскости Лагерра:
Следовательно а также
Для конечных плоскостей Лагерра, т. Е. , мы получили:
Лемма: для любых циклов и любой генератор из конечной плоскости Лагерры у нас есть:
- .
Для конечной плоскости Лагерра и цикл целое число называется порядок из.
Из комбинаторики получаем
Лемма. Пустьбыть Лагерром - планом порядка . потом
- а) любой остаток аффинная плоскость порядка б) в)
Самолеты Микели ЛагерраВ отличие от плоскостей Мебиуса, формальное обобщение классической модели плоскости Лагерра, т. Е. Замена произвольным полем , в любом случае приводит к примеру плоскости Лагерра.
Теорема: для поля а также
- ,
- структура заболеваемости
- является плоскостью Лагерра со следующим соотношением параллельности: если и только если .
Аналогично плоскости Мёбиуса верна лагерровская версия теоремы Микеля:
Теорема Микеля (круги вместо парабол)
Теорема Микеля: для плоскости Лагерра верно следующее:
- Если для любых 8 попарно непараллельных точек который может быть назначен вершинам куба так, что точки на 5 гранях соответствуют конциклическим четверкам, тогда шестая четверка точек также будет конциклической.
(Для лучшего обзора на рисунке вместо парабол нарисованы круги)
Важность теоремы Микеля показывает следующая теорема, принадлежащая В. Д. Вардену, Смиду и Чену:
Теорема: только плоскость Лагерра удовлетворяет теореме Микеля.
В силу последней теоремы называется микелевой плоскостью Лагерра .
Замечание: минимальная модель самолета Лагерры является miquelian.
- Он изоморфен плоскости Лагерра. с участием (поле ).
Примечание: подходящая стереографическая проекция показывает: изоморфна геометрии плоских сечений квадратичного цилиндра над полем .
Овоидальные самолеты ЛагерраЕсть много самолетов Лагерра, которые не являются микелевыми (см. Ссылку ниже). Класс, который больше всего похож на микелевы плоскости Лагерра, - это овоидальные плоскости Лагерра . Овоидальная плоскость Лагерра - это геометрия плоских секций цилиндра, построенная с использованием овала вместо невырожденной коники. Овал - это квадратичное множество, обладающее теми же геометрическими свойствами, что и невырожденная коника на проективной плоскости: 1) прямая пересекает овал в нуле, одной или двух точках и 2) в любой точке существует единственная касательная. Простой овал в реальной плоскости может быть построен путем склеивания двух подходящих половинок разных эллипсов, так что в результате получится не коническая форма. Даже в конечном случае существуют овалы (см. Квадратичное множество ).
Смотрите такжеРекомендации- ^ Benz, Вальтер (2013) [1973], Vorlesungen über Geometrie der Algebren (на немецком языке), Гейдельберг: Springer , стр. 11, ISBN 9783642886713
Внешние ссылки