В математике Мёбиуса самолет (названный в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ) является одной из плоскостей Benz : Мёбиуса плоскости, плоскости Лагерра и плоскости Минковского . Классический пример основан на геометрии прямых и окружностей в реальной аффинной плоскости .
Второе название плоскости Мебиуса - инверсивная плоскость . Это связано с существованием инверсий в классической плоскости Мёбиуса. Инверсия - это инволютивное отображение, при котором точки окружности или прямой остаются неподвижными (см. Ниже).
Отношение к аффинным плоскостям
Аффинные плоскости - это системы точек и линий, которые удовлетворяют, среди прочего, свойству, что две точки определяют ровно одну линию. Эту концепцию можно обобщить на системы точек и окружностей, где каждый круг определяется тремя неколлинеарными точками. Однако три коллинеарных точки определяют линию, а не круг. Этот недостаток можно устранить, добавив бесконечно удаленную точку к каждой линии. Если мы назовем и круги, и такие завершенные линии циклами , мы получим структуру инцидентности, в которой каждые три точки определяют ровно один цикл.
В аффинной плоскости связь между прямыми важна. В геометрии циклов это отношение обобщается до отношения касания . Два цикла касаются друг друга, если у них есть только одна общая точка. Это верно для двух касательных окружностей или прямой, касающейся окружности . Две завершенные линии соприкасаются, если у них есть только общая бесконечно удаленная точка, поэтому они параллельны. Отношение прикосновения обладает свойством
- для любого цикла , точка на и любой момент не на есть ровно один цикл содержащие точки и трогательно (в точке ).
Эти свойства по существу определяют аксиоматическую плоскость Мёбиуса . Но классическая плоскость Мёбиуса - не единственная геометрическая структура, которая удовлетворяет свойствам аксиоматической плоскости Мёбиуса. Еще один простой пример плоскости Мебиуса может быть получен, если заменить действительные числа рациональными числами . Использование комплексных чисел (вместо действительных чисел) не приводит к плоскости Мёбиуса, потому что в комплексной аффинной плоскости криваяне кругообразная кривая, а гипербола. К счастью, существует множество полей (чисел) вместе с подходящими квадратичными формами, которые приводят к плоскостям Мёбиуса (см. Ниже). Такие примеры называются микелевыми , потому что они удовлетворяют теореме Микеля . Все эти микелевы плоскости Мёбиуса можно описать с помощью космических моделей. Классическую вещественную плоскость Мёбиуса можно рассматривать как геометрию окружностей на единичной сфере. Существенным преимуществом космической модели является то, что любой цикл представляет собой просто круг (на сфере).
Классический настоящий самолет Мебиуса
Начнем с реальной аффинной плоскости с квадратичной формой и получите настоящий евклидову плоскость :- точечный набор, линии описываются уравнениями или же а круг - это набор точек, который удовлетворяет уравнению
- .
Геометрию прямых и окружностей евклидовой плоскости можно гомогенизировать (аналогично проективному пополнению аффинной плоскости), вложив ее в структуру инцидентности
с участием
- , множество точек и
- множество циклов .
- называется классической реальной плоскостью Мёбиуса .
В новой структуре завершенные линии больше не играют особой роли. Очевидно обладает следующими свойствами.
- Для любого набора из трех точек есть ровно один цикл который содержит .
- Для любого цикла , любая точка а также существует ровно один цикл с участием: а также , т.е. а также касаться друг друга в точке.
- можно описать с помощью
комплексные числа. представляет точку :
- , а также
( сопряженное число .)
Преимущество этого описания в том, что легко проверяется, что следующие перестановки отображение циклов на циклах.
- (1) с участием (вращение + дилатация)
- (2) с участием (перевод)
- (3) (отражение на )
- (4) (отражение или инверсия через действительную ось)
Учитывая как проективная линия над можно понять, что отображения создать группу (s. PGL (2, C) , преобразование Мёбиуса ). Геометрияпредставляет собой однородную структуру, то есть , его группа автоморфизмов является транзитивным . Отсюда из (4) получаем: Для любого цикла существует инверсия . Например: инверсия, фиксирующая единичный круг . Это свойство дает начало альтернативному названию инверсивной плоскости .
Подобно пространственной модели дезарговской проективной плоскости существует пространственная модель для геометрии который опускает формальную разницу между циклами, определяемыми линиями, и циклами, определяемыми кругами: геометрия является изоморфной геометрии окружностей на сфере. Изоморфизм может быть выполнен с помощью подходящей стереографической проекции . Например: [1]
это проекция с центром и карты
- плоскость ху на сферу с уравнением , середина и радиус .
- окружности с уравнением в самолет . Это означает, что изображение круга представляет собой плоское сечение сферы и, следовательно, снова круг (на сфере). Соответствующие плоскости не содержат центра.
- линия в самолет . Итак, изображение прямой представляет собой окружность (на сфере), проходящую через точку но не содержащий точки .
Аксиомы плоскости Мебиуса
Случайное поведение классической вещественной плоскости Мёбиуса дает основание для следующего определения аксиоматической плоскости Мёбиуса.
Структура заболеваемости с набором точек и набор циклов называется плоскостью Мёбиуса, если верны следующие аксиомы:
- A1: Для любых трех точек есть ровно один цикл это содержит .
- A2: Для любого цикла , любая точка а также существует ровно один цикл с участием: а также ( а также касаться друг друга в точке ).
- A3: Любой цикл содержит не менее трех точек. Есть хотя бы один цикл.
Четыре балла являются одной окружности , если существует цикл с участием .
Не следует ожидать, что приведенные выше аксиомы определяют классическую вещественную плоскость Мёбиуса. Существует множество примеров аксиоматических плоскостей Мёбиуса, отличных от классической (см. Ниже). Подобно минимальной модели аффинной плоскости, можно найти минимальную модель плоскости Мёбиуса. Это состоит из точки:
. Следовательно:.
Связь между классической плоскостью Мёбиуса и действительной аффинной плоскостью может быть обнаружена аналогичным образом между минимальной моделью плоскости Мёбиуса и минимальной моделью аффинной плоскости. Эта сильная связь типична для плоскостей Мёбиуса и аффинных плоскостей (см. Ниже).
Для самолета Мебиуса а также мы определяем структуру и назовем его остаток в точке Р .
Для классической модели остаток в точке - лежащая в основе действительная аффинная плоскость. Существенный смысл вычета показывает следующая теорема.
Теорема: любой вычет на плоскости Мебиуса является аффинной плоскостью.
Эта теорема позволяет использовать множество результатов об аффинных плоскостях для исследований на плоскости Мёбиуса и приводит к эквивалентному определению плоскости Мёбиуса:
Теорема: структура инцидентности является плоскостью Мёбиуса тогда и только тогда, когда выполняется следующее свойство
- A ': Для любой точки остаток аффинная плоскость.
Для конечных плоскостей Мёбиуса, т. Е. , имеем (аналогично аффинным плоскостям):
- Любые два цикла плоскости Мебиуса имеют одинаковое количество точек.
Это дает основание для следующего определения:
для конечной плоскости Мёбиуса и цикл целое число называется порядок из.
Из комбинаторики получаем
- Позволять быть плоскостью Мёбиуса порядка . Тогда а) любой остаток аффинная плоскость порядка , б) , в)
Микелевы самолеты Мёбиуса
В поисках дополнительных примеров плоскостей Мебиуса кажется многообещающим обобщить классическую конструкцию, начав с квадратичной формы на аффинной плоскости над полем для определения кругов. Но просто чтобы заменить настоящие числа по любому полю и сохранить классическую квадратичную форму для описания кругов не работает вообще. Подробности читайте в лекции ниже. Итак, только для подходящих пар полей и квадратичных форм получаются плоскости Мебиуса. Они (как классическая модель) характеризуются огромной однородностью и следующей теоремой Микеля.
Теорема (Микель): для плоскости Мёбиусаверно следующее:
Если для любых 8 баллов который может быть назначен вершинам куба таким образом, что точки на 5 гранях соответствуют конциклическим четверкам, тогда как шестая четверка точек также является конциклической.
Верно и обратное.
Теорема (Чен): только плоскость Мебиуса удовлетворяет теореме Микеля.
В силу последней теоремы плоскость Мёбиуса называется микелевой плоскостью Мёбиуса .
Замечание: минимальная модель самолета Мёбиуса является miquelian. Он изоморфен плоскости Мёбиуса
- с участием (поле ) а также .
- (Например, единичный круг это точечный набор .)
Замечание: Если мы выберемполе комплексных чисел, подходящей квадратичной формы нет вообще.
- Выбор (поле рациональных чисел) и подходит.
- Выбор (поле рациональных чисел) и тоже подходит.
Замечание: A Стереографической проекция показывает: изоморфна геометрии плоскости
- сечения на сфере (невырожденная квадрика индекса 1) в проективном трехмерном пространстве над полем .
Замечание: здесь можно найти доказательство теоремы Микеля для классического (действительного) случая . Это элементарно и основано на теореме о вписанном угле .
Замечание: Есть много самолетов Мёбиуса, которые не являются микелевыми (см. Ссылку ниже). Класс, наиболее похожий на микелевы плоскости Мебиуса, - это овоидальные плоскости Мебиуса . Овоидная Мёбиусово плоскость является геометрией плоских сечений в овоиде . Яйцевид представляет собой квадратичное множество и обладает теми же геометрическими свойствами, что и сфера в проективном 3-пространстве: 1) прямая пересекает овоид ни в одной, одной или двух точках и 2) в любой точке овоида множество касательных прямые образуют плоскость, касательную плоскость . Простой овоид в реальном трехмерном пространстве может быть построен путем склеивания двух подходящих половинок разных эллипсоидов, так что в результате получается не квадрика. Даже в конечном случае существуют овоиды (см. Квадратичное множество ). Овоидальные плоскости Мебиуса характеризуются теоремой о расслоении .
Конечные плоскости Мебиуса и блочные конструкции
Конструкции блока с параметрами расширения одноточечного конечной аффинной плоскости порядка п , то есть, 3- ( п 2 + 1, п + 1, 1) конструкция, является круговой плоскостью, порядка п .
Эти конечные блочные конструкции удовлетворяют аксиомам, определяющим плоскость Мёбиуса, когда круг интерпретируется как блок конструкции.
Единственные известные конечные значения порядка плоскости Мёбиуса - это простые числа или степени простых чисел. Единственные известные конечные плоскости Мебиуса построены в рамках конечных проективных геометрий.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Геометрия плоского круга, Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. (PDF; 891 кБ), С. 60.
- W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
- Ф. Бюкенхаут (редактор), Справочник по геометрии падения , Elsevier (1995) ISBN 0-444-88355-X
- П. Дембовский, Конечные геометрии , Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8
Внешние ссылки
- Самолет Мебиуса в энциклопедии математики
- Самолет Benz в энциклопедии математики
- Конспект лекции « Геометрия плоского круга», Введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского