классический самолет Минковского: 2d / 3d-модель
Применение псевдоевклидова расстояния по двум пунктам (вместо евклидова расстояния) мы получаем геометрию гипербол , потому что псевдоевклидова окружностьэто гипербола с серединой.
Преобразованием координат , , псевдоевклидово расстояние можно переписать как . Тогда гиперболы имеют асимптоты, параллельные осям координат без штриховки.
Следующее пополнение (см. Плоскости Мёбиуса и Лагерра) гомогенизирует геометрию гипербол:
- , набор точек ,
- набор циклов .
Структура заболеваемости называется классической реальной плоскостью Минковского .
Набор точек состоит из , две копии и точка .
Любая линия завершается по пункту , любая гипербола по двум точкам (см. рисунок).
Два очка не могут быть связаны циклом тогда и только тогда, когда или же .
Определяем: две точки являются (+) - параллельными () если и (-) - параллельно () если .
Оба эти отношения являются отношениями эквивалентности на множестве точек.
Два очка называются параллельными () если или же .
Из приведенного выше определения мы находим:
Лемма:
- Для любой пары непараллельных точек есть ровно одна точка с участием .
- Для любой точки и любой цикл есть ровно две точки с участием .
- По любым трем точкам , , , попарно непараллельно, существует ровно один цикл это содержит .
- Для любого цикла , любая точка и любой момент а также существует ровно один цикл такой, что , т.е. касается в точке P.
Подобно классическим плоскостям Мёбиуса и Лагерра, плоскости Минковского можно описать как геометрию плоских сечений подходящей квадрики. Но в этом случае квадрика живет в проективном 3-пространстве: классическая вещественная плоскость Минковского изоморфна геометрии плоских сечений гиперболоида одного листа (не вырожденной квадрики индекса 2).
Позволять - структура инцидентности с множеством точек, множество циклов и два отношения эквивалентности ((+) - параллельно) и ((-) - параллельно) на множестве . Для мы определяем: а также . Класс эквивалентности или же называется (+) - генератором и (-) - генератором соответственно. (Для пространственной модели классической плоскости Минковского образующей является линия на гиперболоиде.)
Две точкиназываются параллельными () если или же .
Структура заболеваемости называется плоскостью Минковского, если верны следующие аксиомы:
- C1 : для любой пары непараллельных точек есть ровно одна точка с участием .
- C2 : Для любой точки и любой цикл есть ровно две точки с участием .
- C3 : по любым трем точкам, попарно непараллельно, существует ровно один цикл который содержит .
- C4 : Для любого цикла, любая точка и любой момент а также существует ровно один цикл такой, что , т.е. касается в точке .
- C5 : Любой цикл содержит не менее 3 точек. Есть хотя бы один цикл и точка не в .
Для исследований полезны следующие утверждения о параллельных классах (эквивалентные C1, C2 соответственно).
- C1 ′ : для любых двух точек у нас есть .
- C2 ′ : для любой точки и любой цикл у нас есть: .
Первые следствия аксиом:
Лемма: для плоскости Минковского. верно следующее
- а) Любая точка содержится хотя бы в одном цикле.
- б) Любой генератор содержит не менее 3-х точек.
- в) Две точки могут быть соединены циклом тогда и только тогда, когда они не параллельны.
Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра мы получаем связь с линейной геометрией через вычеты.
Для самолета Минковского а также мы определяем локальную структуру
и назовем его остаток в точке Р .
Для классического самолета Минковского это настоящая аффинная плоскость .
Непосредственным следствием аксиом от C1 до C4 и C1 ′, C2 ′ являются следующие две теоремы.
Теорема : для плоскости Минковского любой вычет является аффинной плоскостью.
Теорема : Пусть будет структура инцидентности с двумя отношениями эквивалентности а также на съемочной площадке точек (см. выше).
- является плоскостью Минковского тогда и только тогда, когда для любой точки остаток аффинная плоскость.
Минимальная модель
Самолет Минковского: минимальная модель
Минимальная модель плоскости Минковского может быть установлено на множестве из трех элементов:
Параллельные точки:
если и только если
если и только если .
Следовательно: а также .
Конечные самолеты Минковского
Для конечных плоскостей Минковского из C1 ′, C2 ′ получаем:
Лемма : Пусть будет конечная плоскость Минковского, т. е. . Для любой пары циклов и любая пара генераторов у нас есть: .
Отсюда возникает определение :
для конечной плоскости Минковского и цикл из мы называем целое число порядок в.
Простые комбинаторные соображения дают
Лемма : для конечной плоскости Минковского верно следующее:
- а) Любой вычет (аффинная плоскость) имеет порядок .
- б) ,
- в) .
Мы получаем наиболее важные примеры самолетов Минковского, обобщая классическую реальную модель: просто замените произвольным полем то получим в любом случае самолет Минковского.
Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра теорема Микеля является характеристическим свойством плоскости Минковского. .
Теорема (Микель): для плоскости Минковского верно следующее:
- Если для любых 8 попарно непараллельных точек который может быть назначен вершинам куба таким образом, что точки на 5 гранях соответствуют конциклическим четверкам, тогда как шестая четверка точек также является конциклической.
(Для лучшего обзора на рисунке вместо гипербол нарисованы круги.)
Теорема (Чен): только самолет Минковского удовлетворяет теореме Микеля.
В силу последней теоремы называется микелевой плоскостью Минковского .
Замечание: минимальная модель плоскости Минковского miquelian.
- Он изоморфен плоскости Минковского. с участием (поле ).
Поразительный результат
Теорема (Хайзе): Любая плоскость Минковского четного порядка микелевой.
Примечание: подходящая стереографическая проекция показывает:изоморфна геометрии плоских сечений на гиперболоиде одного листа ( квадрике индекса 2) в проективном трехмерном пространстве над полем.
Примечание: Есть много самолетов Минковского, которые не являются микелевыми (см. Ссылку ниже). Но в отличие от самолетов Мёбиуса и Лагерра "яйцевидных" самолетов Минковского нет. Поскольку любое квадратичное множество индекса 2 в проективном 3-пространстве является квадрикой (см. Квадратичное множество ).