Псевдоевклидово пространство
В математике и теоретической физике псевдоевклидово пространство — это конечномерное вещественное n - пространство вместе с невырожденной квадратичной формой q . Такая квадратичная форма может при соответствующем выборе базиса ( e 1 , …, e n ) применяться к вектору x = x 1 e 1 + ⋯ + x n e n , что дает
Для евклидовых пространств k = n , что означает, что квадратичная форма положительно определена. [2] Когда 0 < k < n , q является изотропной квадратичной формой , в противном случае она анизотропна . Обратите внимание, что если 1 ≤ i ≤ k < j ≤ n , то q ( e i + e j ) = 0 , так что e i + e j является нулевым вектором .. В псевдоевклидовом пространстве с k < n , в отличие от евклидова пространства, существуют векторы с отрицательным скалярным квадратом.
Как и в случае с термином евклидово пространство , термин псевдоевклидово пространство может использоваться для обозначения аффинного пространства или векторного пространства в зависимости от автора, при этом последнее также может называться псевдоевклидовым векторным пространством [3] (см. отличие точки от вектора ).
Геометрия псевдоевклидова пространства непротиворечива, несмотря на то, что некоторые свойства евклидова пространства неприменимы, в первую очередь то, что это не метрическое пространство , как объясняется ниже. Аффинная структура неизменна, а значит, и понятия линии , плоскости и, вообще, аффинного подпространства ( плоскости ), а также отрезков прямых .
Нулевой вектор — это вектор, для которого квадратичная форма равна нулю. В отличие от евклидова пространства такой вектор может быть ненулевым, и в этом случае он самоортогонален . Если квадратичная форма неопределенна, псевдоевклидово пространство имеет линейный конус нулевых векторов, заданный { x : q ( x ) = 0 } . Когда псевдоевклидово пространство обеспечивает модель пространства -времени (см. ниже ), нулевой конус называется световым конусом начала координат.
Нулевой конус разделяет два открытых множества , [4] соответственно, для которых q ( x ) > 0 и q ( x ) < 0 . Если k ≥ 2 , то множество векторов, для которых q ( x ) > 0 , связно . Если k = 1 , то он состоит из двух непересекающихся частей, одной с x1 > 0 , а другой с x1 < 0 . Аналогичные утверждения можно сделать для векторов, для которых q ( x ) < 0 , если kзаменяется на n − k .
