Преобразования Лагерра или аксиальные омографии являются аналогом преобразований Мёбиуса над двойственными числами . [1] [2] [3] [4] При изучении этих преобразований двойственные числа часто интерпретируются как представление ориентированных линий на плоскости. [1] Преобразования Лагерра отображают прямые в прямые и включают, в частности, все изометрии плоскости (игнорируя возможные изменения ориентации).
Строго говоря, эти преобразования действуют на проективную прямую двойственного числа , которая примыкает к двойственным числам линию на бесконечности . Топологически эта проективная прямая эквивалентна цилиндру. Точки на этом цилиндре находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с ориентированными прямыми на плоскости.
Определение
Преобразование Лагерра - это дробно-линейное преобразование где все двойные числа, лежит на проективной прямой двойственного числа, и не является делителем нуля .
Двойное число является гиперкомплексным числом вида где но . Это можно сравнить с комплексными числами, имеющими форму где . В двойном номере строка проекционные примыкает к двойственным числам набор чисел видадля любого реального .
Координаты линии
Линия, образующая угол с осью x, и чья точка пересечения с x обозначена, представлен двойным числом
Сказанное выше не имеет смысла, когда линия параллельна оси x. В том случае, если затем установите где является у-перехват линии. Это может показаться неверным, поскольку единица делится на делитель нуля, но это действительная точка на проективной двойственной прямой. Если затем установите .
Наконец, обратите внимание, что эти координаты представляют собой ориентированные линии. Ориентированная линия - это обычная линия, к которой прикреплена одна из двух возможных ориентаций. Это видно из того, что если увеличивается на тогда результирующий двойной представитель числа не то же самое.
Матричные представления
Вышеупомянутые линейные координаты можно выразить как однородные координаты где - перпендикулярное расстояние прямой от начала координат. Такое представление имеет множество преимуществ: Одно из преимуществ состоит в том, что нет необходимости разбивать на разные случаи, такие как параллельные и непараллельные. Другое преимущество состоит в том, что эти однородные координаты можно интерпретировать как векторы , что позволяет нам умножать их на матрицу.
Каждое преобразование Лагерра можно представить в виде матрицы 2x2 , элементы которой являются двойственными числами. Кроме того, до тех пор, пока определитель матрицы с двумя номерами 2x2 не является нильпотентным , он представляет преобразование Лагерра.
Точки, ориентированные линии и ориентированные круги
Преобразования Лагерра не действуют на точки. Это потому, что если три ориентированные линии проходят через одну и ту же точку, их изображения при преобразовании Лагерра не обязательно должны пересекаться в одной точке.
Преобразования Лагерра можно рассматривать как действующие как на ориентированные окружности, так и на ориентированные линии. Ориентированный круг - это круг, который ориентирован либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки . Ориентация против часовой стрелки считается положительной, а ориентация по часовой стрелке - отрицательной. Радиус отрицательно ориентированного круга отрицательный . Когда набор ориентированных прямых касается одного и того же ориентированного круга, их изображения при преобразовании Лагерра разделяют это свойство, но, возможно, для другого круга. Ориентированная линия касается ориентированной окружности, если две фигуры соприкасаются и их ориентация совпадает.
Профиль
Следующее можно найти в книге Исаака Яглома « Комплексные числа в геометрии» . [1]
Отображения формы выражать движения твердого тела. Матричные представления этих преобразований охватывают подалгебру, изоморфную двойственно-комплексным числам .
Отображение представляет собой отражение относительно оси x с последующим изменением ориентации.
Трансформация выражает отражение относительно оси y с последующим изменением ориентации.
Осевое расширение вен с помощью единиц - это преобразование формы . Расширение на единиц увеличивает радиус всех ориентированных кругов на единиц при сохранении своих центров. Если круг имеет отрицательную ориентацию, то его радиус считается отрицательным, и поэтому для некоторых положительных значенийкруг действительно сжимается. Постепенное расширение показано на рисунке 1, на котором два круга противоположной ориентации подвергаются одинаковому расширению.
На линиях осевое расширение на единицы отображают любую линию к линии такой, что а также параллельны, а расстояние по перпендикуляру между а также является . Линии, которые параллельны, но имеют противоположную ориентацию, движутся в противоположных направлениях.
Трансформация на стоимость this real сохраняет точку пересечения с осью x линии, изменяя ее угол по отношению к оси x. См. Рисунок 2, чтобы наблюдать эффект на сетке линий (включая ось x посередине), и рисунок 3, чтобы наблюдать эффект на двух кругах, которые изначально различаются только ориентацией (чтобы увидеть, что результат зависит от ориентации).
Все преобразования Лагерра либо:
- Прямые евклидовы изометрии с последующей осевой дилатацией.
- Косвенные евклидовы изометрии , за которыми следует осевая дилатация, за которой следует изменение ориентации.
- Косвенные евклидовы изометрии с последующим преобразованием формы для действительное число с последующим изменением ориентации.
Конформная интерпретация
В этом разделе мы интерпретируем преобразования Лагерра иначе, чем в остальной части статьи. При воздействии на линейные координаты преобразования Лагерра не считаются конформными в том смысле, который здесь описан. Это наглядно показано на рисунке 2.
Преобразования Лагерра сохраняют углы, когда определяется правильный угол для плоскости с двойными числами. Когда луч y = mx , x ≥ 0 и положительная ось x принимаются за стороны угла, наклон m является величиной этого угла.
Это число m соответствует площади прямоугольного треугольника с основанием на отрезке [0, √2]. Прямая {1 + a ε: a ∈ ℝ} с двойным умножением чисел образует подгруппу двойственных единичных чисел, причем каждый элемент является отображением сдвига при действии на плоскости двойственных чисел. Другие углы в плоскости создаются таким действием, и, поскольку отображение сдвига сохраняет площадь, размер этих углов такой же, как и у оригинала.
Обратите внимание, что при инверсии z к 1 / z размер угла остается неизменным. Поскольку общее преобразование Лагерра порождается сдвигами, растяжениями, сдвигами и инверсиями, и все они оставляют угол неизменным, общее преобразование Лагерра конформно в смысле этих углов. [2] : 81
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b c «Комплексные числа в геометрии | ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 12 июня 2020 .
- ^ а б Болт, Майкл; Фердинанд, Тимоти; Кавли, Лэндон (2009). «Самые общие плоские преобразования, которые отображают параболы в параболы» . Вовлекайте: журнал математики . 2 (1): 79–88. DOI : 10,2140 / involve.2009.2.79 . ISSN 1944-4176 .
- ^ Филмор, Джей П .; Спрингер, Артур (1995-03-01). «Новые евклидовы теоремы с использованием преобразований Лагерра - Некоторая геометрия (2 + 1) -пространства Минковского». Журнал геометрии . 52 (1): 74–90. DOI : 10.1007 / BF01406828 . ISSN 1420-8997 . S2CID 122511184 .
- ^ Барретт, Дэвид Э .; Болт, Майкл (июнь 2010). «Длина дуги Лагерра по функциям расстояния» . Азиатский математический журнал . 14 (2): 213–234. DOI : 10.4310 / AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN 1093-6106 .