В математике , Carlyle круг (названная в честь Томаса Карлейля ) определенный круг в плоскости координат , связанную с квадратным уравнением . Окружность обладает тем свойством, что решения квадратного уравнения являются горизонтальными координатами пересечений окружности с горизонтальной осью . Круги Карлайла использовались для построения линейки-циркуля из правильных многоугольников .
Определение [ править ]
Учитывая квадратное уравнение
- х 2 - sx + p = 0
окружность в координатной плоскости, имеющая отрезок прямой, соединяющий точки A (0, 1) и B ( s , p ) в качестве диаметра, называется окружностью Карлайла квадратного уравнения. [1] [2] [3]
Определение собственности [ править ]
Определяющее свойство круга Карлайла может быть установлено таким образом: уравнение круга, имеющего отрезок AB в качестве диаметра, равно
- х ( х - s ) + ( у - 1) ( у - р ) = 0.
В абсциссах точек , где окружность пересекает й Оу корни уравнения (полученный путем установки у = 0 в уравнении окружности)
- х 2 - SX + р = 0.
Построение правильных многоугольников [ править ]
Правильный пятиугольник [ править ]
Задача построения правильного пятиугольника эквивалентна задаче построения корней уравнения
- г 5 - 1 = 0.
Одним из корней этого уравнения является z 0 = 1, что соответствует точке P 0 (1, 0). Удалив множитель, соответствующий этому корню, остальные корни оказываются корнями уравнения
- Z 4 + Z 3 + Z 2 + Z + 1 знак равно 0.
Эти корни можно представить в виде ω, ω 2 , ω 3 , ω 4, где ω = exp (2 π i / 5). Пусть они соответствуют точкам P 1 , P 2 , P 3 , P 4 . Сдача
- p 1 = ω + ω 4 , p 2 = ω 2 + ω 3
у нас есть
- р 1 + р 2 знак равно -1, р 1 р 2 = -1. (Можно быстро показать, что это правда, путем прямой подстановки в приведенную выше четверку и отмечая, что ω 6 = ω, а ω 7 = ω 2. )
Итак, p 1 и p 2 являются корнями квадратного уравнения
- х 2 + х - 1 знак равно 0.
Окружность Карлейля, связанная с этой квадратичной кривой, имеет диаметр с концами в точках (0, 1) и (−1, −1) и центром в (−1/2, 0). Круги Карлейля используются для построения p 1 и p 2 . Из определений p 1 и p 2 также следует, что
- p 1 = 2 cos (2 π / 5), p 2 = 2 cos (4 π / 5).
Затем они используются для построения точек P 1 , P 2 , P 3 , P 4 .
Эта подробная процедура построения правильных пятиугольников с использованием кругов Карлайла приведена ниже. [3]
- Нарисуйте круг , в котором , чтобы вписать пятиугольник и пометить центральную точку O .
- Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметьте одно пересечение с кругом в качестве точки B .
- Проведите вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом в качестве точки А .
- Построить точку М как средняя точка O и B .
- Нарисуйте круг с центром в точке М через точку А . Это Карлиль круг для х 2 + х - 1 = 0. Отметить ее пересечение с горизонтальной линией (внутри исходной окружности) в качестве точки W и ее пересечения вне окружности в качестве точки V . Это упомянутые выше точки p 1 и p 2 .
- Нарисуйте окружность радиуса ОА и центра W . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
- Нарисуйте окружность радиуса ОА и центр V . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
- Пятая вершина - это пересечение горизонтальной оси с исходной окружностью.
Обычный гептадекагон [ править ]
Существует аналогичный метод с использованием кругов Карлайла для построения правильных семиугольников . [3] Рисунок справа иллюстрирует процедуру.
Обычный 257-угольник [ править ]
Чтобы построить правильный 257-угольник с помощью кругов Карлайла, необходимо построить 24 круга Карлайла. Один из них - круг для решения квадратного уравнения x 2 + x - 64 = 0. [3]
Обычный 65537-угольник [ править ]
Существует процедура с использованием кругов Карлайла для построения правильного 65537-угольника . Однако есть практические проблемы с выполнением процедуры; например, для решения квадратного уравнения x 2 + x - 2 14 = 0 требуется построение круга Карлайла [3].
История [ править ]
Согласно Говарду Ивсу (1911–2004), математик Джон Лесли (1766–1832) описал геометрическое построение корней квадратного уравнения с кругом в своей книге « Элементы геометрии» и отметил, что эту идею предложил его бывший ученик Томас Карлайл. (1795–1881). [4] Однако, хотя описание в книге Лесли содержит аналогичную конструкцию круга, оно было представлено исключительно в элементарных геометрических терминах без понятия декартовой системы координат или квадратичной функции и ее корней: [5]
Разделить прямую линию внутри или снаружи так, чтобы прямоугольник под ее сегментами был эквивалентен данному прямоугольнику.
- Джон Лесли, Элементы геометрии , опора. XVII, стр. 176 [5]
В 1867 году австрийский инженер Эдуард Лилль опубликовал графический метод определения корней многочлена ( метод Лилля ). Если его применить к квадратичной функции, то получится фигура трапеции из решения Карлайла задачи Лесли (см. Рисунок) с одной из сторон, равной диаметру окружности Карлайла. В статье 1925 г. Г. А. Миллер указал, что небольшая модификация метода Лилла, примененная к нормированной квадратичной функции, дает круг, который позволяет геометрическое построение корней этой функции, и дал явное современное определение того, что позже было названо Карлейлем. круг. [6]
Евс использовал круг в современном смысле этого слова в одном из упражнений своей книги « Введение в историю математики» (1953) и указал на связь с Лесли и Карлайлом. [4] Более поздние издания начали принимать имена Carlyle круга , метод Carlyle или Carlyle алгоритм , хотя в немецкоязычных странах термина LILL круг ( Лили-Kreis ) используются также. [7] DeTemple используется в 1989 и 1991 Carlyle кругов изобрести компас-и-линейку конструкцию для правильных многоугольников, в частности, пятиугольник , то правильный семнадцатиугольник , то257-угольник и 65537-угольник . Ладислав Беран описал в 1999 году, как круг Карлайла можно использовать для построения комплексных корней нормированной квадратичной функции. [8]
Ссылки [ править ]
- ^ Э. Джон Хорнсби-младший: геометрические и графические решения квадратных уравнений . Математический журнал колледжа, Vol. 21, No. 5 (ноябрь 1990 г.), стр. 362–369 ( JSTOR )
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Carlyle Circle . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram . Проверено 21 мая 2013 года .
- ^ a b c d e DeTemple, Duane W. (февраль 1991 г.). «Круги Карлейля и простота построения многоугольников по Лемуану» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–208. DOI : 10.2307 / 2323939 . JSTOR 2323939 . Архивировано из оригинального (PDF) 21 декабря 2015 года . Проверено 6 ноября 2011 года . ( JSTOR )
- ^ a b См., например, Хорнсби, ДеТемпл или Говард Ивс: Введение в историю математики . Холт, Райнхарт и Уинстон, 3-е издание, 1969 г., стр. 73
- ^ a b Джон Лесли: Элементы геометрии и плоской тригонометрии: с приложением, множеством примечаний и иллюстраций . Archibald Constable & Co, 3. Ausgabe, 1817, pp. 176, 340 ( онлайн-копия (Google) ). Обратите внимание, что комментарий о Карлайле не содержится в более ранних изданиях книги (1809, 1811).
- ^ Г. А. Миллер: геометрическое решение квадратного уравнения . The Mathematical Gazette, Vol. 12, No. 179 (декабрь 1925 г.), стр. 500–501 ( JSTOR )
- ^ Rainer Kaenders (ред.), Рейнхард Шмидт (ред.): Mit GeoGebra Mehr Mathematik Verstehen . Springer Spektrum, 2-е издание, 2014 г., ISBN 978-3-658-04222-6 , стр. 68-71 (немецкий)
- ^ Ладислав Беран: Комплексные корни квадратичного из круга . The Mathematical Gazette, Vol. 83, No. 497 (июль 1999 г.), стр. 287–291 ( JSTOR )