Теорема Карно , разработанная в 1824 году Николя Леонардом Сади Карно , также называемая правилом Карно , представляет собой принцип, определяющий пределы максимальной эффективности , которую может получить любой тепловой двигатель . Эффективность двигателя Карно зависит исключительно от температуры горячего и холодного резервуаров.
Теорема Карно утверждает, что все тепловые машины между двумя тепловыми резервуарами менее эффективны, чем тепловая машина Карно, работающая между одними и теми же резервуарами. Каждый тепловой двигатель Карно между парой тепловых резервуаров одинаково эффективен, независимо от используемого рабочего вещества или деталей работы.
Максимальный КПД - это соотношение разности температур между резервуарами и температуры горячего резервуара, выраженное уравнением , где T C и T H - абсолютные температуры холодного и горячего резервуаров соответственно, а КПД это отношение работы, проделанной двигателем, к теплу, отводимому из горячего резервуара.
Теорема Карно является следствием второго начала термодинамики . Исторически он был основан на современной теории калорийности и предшествовал установлению второго закона. [1]
Доказательство
Доказательство теоремы Карно - это доказательство от противоречия или reductio ad absurdum , как показано на рисунке, показывающем две тепловые машины, работающие между двумя резервуарами с разной температурой. Тепловой двигатель с большей эффективностью () приводит в движение тепловую машину с меньшей эффективностью (), заставляя последний действовать как тепловой насос . Эта пара двигателей не получает внешней энергии и работает исключительно за счет энергии, выделяемой при передаче тепла из горячего в холодный резервуар. Однако если, то чистый тепловой поток будет направлен назад, то есть в горячий резервуар:
Принято считать, что это невозможно, потому что это нарушает второй закон термодинамики .
Начнем с проверки значений работы и теплового потока, изображенных на рисунке. Во-первых, мы должны указать на важный нюанс: двигатель с меньшим КПД () приводится в действие как тепловой насос и, следовательно, должен быть реверсивным двигателем. [ необходима цитата ] Если менее эффективный двигатель () не является обратимым, то устройство можно было бы построить, но выражения для работы и теплового потока, показанные на рисунке, были бы недействительными.
Ограничивая наше обсуждение случаями, когда engine () имеет меньший КПД, чем двигатель (), мы можем упростить обозначения, приняв соглашение о том, что все символы, а также представляют собой неотрицательные величины (поскольку направление потока энергии никогда не меняет знак во всех случаях, когда). Для сохранения энергии необходимо, чтобы для каждого двигателя поступающая энергия, должна равняться выходящей энергии, :
Цифра также согласуется с определением эффективности как для обоих двигателей:
Может показаться странным, что гипотетический тепловой насос с низким КПД используется для нарушения второго закона термодинамики, но показателем качества холодильных агрегатов является не КПД, а, но коэффициент полезного действия (COP), [2] который составляет. Реверсивный тепловой двигатель с низким термодинамическим КПД, подает больше тепла к горячему резервуару за определенный объем работы, когда он работает как тепловой насос.
Установив правильность значений теплового потока, показанных на рисунке, теорема Карно может быть доказана для необратимых и обратимых тепловых двигателей. [3]
Реверсивные двигатели
Чтобы убедиться, что каждый реверсивный двигатель, работающий между резервуарами а также должны иметь одинаковый КПД, предположим, что два реверсивных тепловых двигателя имеют разные значения , и позвольте более эффективному двигателю (M) управлять менее эффективным двигателем (L) в качестве теплового насоса. Как показано на рисунке, это приведет к тому, что тепло будет течь от холодного к горячему резервуару без какой-либо внешней работы или энергии, что нарушает второй закон термодинамики. Следовательно, оба (реверсивных) тепловых двигателя имеют одинаковый КПД, и мы делаем вывод, что:
- Все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми резервуарами, имеют одинаковую эффективность.
Это важный результат, поскольку он помогает установить теорему Клаузиуса , из которой следует, что изменение энтропии уникально для всех обратимых процессов: [4]
по всем путям (от a до b в пространстве VT ). Если бы этот интеграл не был независимым от пути, то энтропия S потеряла бы свой статус переменной состояния . [5]
Нереверсивные двигатели
Если один из двигателей необратимый, это должен быть двигатель (M), расположенный так, чтобы он приводил в движение менее эффективный, но реверсивный (L) двигатель. Но если этот необратимый двигатель более эффективен, чем реверсивный двигатель (т. Е. Если), то нарушается второй закон термодинамики. А поскольку цикл Карно представляет собой обратимый двигатель, мы имеем первую часть теоремы Карно:
- Нет необратимого двигателя более эффективного, чем двигатель Карно, работающий между теми же двумя резервуарами.
Определение термодинамической температуры
КПД двигателя - это работа, разделенная на тепло, поступающее в систему или
( 1 )
где w cy - работа, выполненная за цикл. Таким образом, эффективность зависит только от д С / д Н .
Поскольку все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны, все реверсивные тепловые двигатели, работающие между температурами T 1 и T 2, должны иметь одинаковую эффективность, то есть эффективность зависит только от двух температур:
( 2 )
Кроме того, реверсивный тепловой двигатель, работающий между температурами T 1 и T 3, должен иметь такой же КПД, как и двигатель, состоящий из двух циклов, один между T 1 и другой (промежуточной) температурой T 2 , а второй - между T 2 и T 3 . Это может быть только в том случае, если
Специализируясь на том случае, когда фиксированная эталонная температура: температура тройной точки воды. Тогда для любого Т 2 и Т 3 ,
Следовательно, если термодинамическая температура определяется как
тогда функция, рассматриваемая как функция термодинамической температуры, имеет вид
а эталонная температура T 1 имеет значение 273,16. (Конечно, можно использовать любую эталонную температуру и любое положительное числовое значение - выбор здесь соответствует шкале Кельвина .)
Отсюда сразу следует, что
( 3 )
Подставляя уравнение 3 обратно в уравнение 1, получаем соотношение для эффективности с точки зрения температуры:
( 4 )
Применимость к топливным элементам и батареям
Поскольку топливные элементы и батареи могут генерировать полезную мощность, когда все компоненты системы имеют одинаковую температуру (), они явно не ограничиваются теоремой Карно, которая утверждает, что никакая мощность не может быть произведена, когда . Это потому, что теорема Карно применима к двигателям, преобразующим тепловую энергию в работу, тогда как топливные элементы и батареи вместо этого преобразуют химическую энергию в работу. [6] Тем не менее, второй закон термодинамики по- прежнему предусматривает ограничения на преобразование энергии топливных элементов и батарей. [7]
Рекомендации
- ^ Джон Мюррелл (2009). «Очень краткая история термодинамики» . Проверено 2 мая 2014 года . Архивная копия в Интернет-архиве PDF (142, архивировано 22 ноября 2009 г., в Wayback Machine KB)
- ^ Типлер, Пол; Моска, Г. (2008). «19,2, 19,7». Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Фримен. ISBN 9781429201322.
- ^ «Лекция 10: Теорема Карно» (PDF) . 7 февраля 2005 . Проверено 5 октября 2010 года .
- ^ Оганян, Ганс (1994). Основы физики . WW Norton and Co. стр. 438. ISBN 039395773X.
- ^ http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html Архивировано 28 декабря 2013 г. на Wayback Machine и http://www.itp.phys.ethz.ch/education/ hs10 / stat / slides / Laws_TD.pdf. Архивировано 13 декабря 2013 г. в Wayback Machine . Оба получены 13 декабря 2013 года.
- ^ «Топливный элемент против эффективности Карно» . Проверено 20 февраля 2011 года .
- ^ Джейкоб, Калларакель Т; Джайн, Саураб (июль 2005 г.). Новое определение эффективности топливных элементов: пересмотр пределов Карно . Q1 - Девятый международный симпозиум по твердооксидным топливным элементам (SOFC IX). США.