Постоянная Картера

Постоянная Картера - это сохраняющаяся величина для движения вокруг черных дыр в общей релятивистской формулировке гравитации. Постоянная Картера была получена для вращающейся заряженной черной дыры австралийским физиком-теоретиком Брэндоном Картером в 1968 году. Постоянная Картера вместе с энергией , осевым угловым моментом и массой покоя частицы обеспечивает четыре сохраняющиеся величины, необходимые для однозначного определения всех орбит в пространстве Керра - Пространство- время Ньюмана (даже для заряженных частиц).

Формулировка [ править ]

Картер заметил, что гамильтониан движения в пространстве-времени Керра разделяется в координатах Бойера – Линдквиста , что позволяет легко идентифицировать константы такого движения с помощью теории Гамильтона-Якоби . ^[1] Константу Картера можно записать следующим образом:

${\ displaystyle C = p _ {\ theta} ^ {2} + \ cos ^ {2} \ theta {\ Bigg (} a ^ {2} (m ^ {2} -E ^ {2}) + \ left ( {\ frac {L_ {z}} {\ sin \ theta}} \ right) ^ {2} {\ Bigg)}}$,

где - широтная составляющая углового момента частицы, - энергия частицы, - осевой угловой момент частицы, - масса покоя частицы, - параметр вращения черной дыры. ^[2] Поскольку функции сохраняющихся величин также сохраняются, любая функция и три другие константы движения могут использоваться в качестве четвертой константы вместо . Это приводит к некоторой путанице в отношении формы постоянной Картера. Например, иногда удобнее использовать:${\ displaystyle p _ {\ theta}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle L_ {z}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ Displaystyle К = С + (L_ {z} -aE) ^ {2}}$

вместо . Количество полезно, потому что оно всегда неотрицательно. В общем, любая четвертая сохраняемая величина для движения в семействе пространств-времени Керра может называться «постоянной Картера».${\ displaystyle C}$${\ displaystyle K}$

Генерируется тензором Киллинга [ править ]

Теорема Нётер утверждает, что все сохраняющиеся величины связаны с симметриями пространства-времени . Константа Картера связана с симметрией более высокого порядка метрики Керра, порожденной тензорным полем Киллинга второго порядка (отличным от использованного выше). В компонентной форме:${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle С = К ^ {\ му \ ню} и _ {\ му} и _ {\ ню}}$,

где - четырехскоростная скорость движущейся частицы. Компоненты тензора Киллинга в координатах Бойера – Линдквиста следующие:${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle K ^ {\ mu \ nu} = 2 \ Sigma \ l ^ {(\ mu} n ^ {\ nu)} + r ^ {2} g ^ {\ mu \ nu}}$,

где - компоненты метрического тензора, и - компоненты главных нулевых векторов:${\ Displaystyle г ^ {\ му \ ню}}$${\ displaystyle l ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle п ^ {\ ню}}$

${\displaystyle l^{\mu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }},1,0,{\frac {a}{\Delta }}\right)}$

${\displaystyle n^{\nu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{2\Sigma }},-{\frac {\Delta }{2\Sigma }},0,{\frac {a}{2\Sigma }}\right)}$

с участием

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \ ,\ \ \Delta =r^{2}-r_{s}\ r+a^{2}}$.

Предел Шварцшильда [ править ]

Сферическая симметрия метрики Шварцшильда для невращающихся черных дыр позволяет свести задачу нахождения траекторий частиц до трех измерений. В этом случае нужно только , и для определения движения; однако симметрия, приводящая к постоянной Картера, все еще существует. Постоянная Картера для пространства Шварцшильда:${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}}$.

Вращением координат мы можем поместить любую орбиту на плоскости так . В данном случае квадрат орбитального углового момента.${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle p_{\theta }=0}$${\displaystyle C=L_{z}^{2}}$

См. Также [ править ]

• Метрика Керра
• Метрика Керра – Ньюмана
• Координаты Бойера – Линдквиста
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Проблема трех тел Эйлера

Ссылки [ править ]