В теории чисел , смещения Чебышева этого явление , что большая часть времени, есть более простые числа вида 4 к + 3 , чем в форме 4 к + 1, вплоть до того же предела. Это явление впервые наблюдал Чебышев в 1853 году.
Описание
Пусть π ( x ; n , m ) обозначает количество простых чисел вида nk + m до x . По теореме о простых числах (расширенной до арифметической прогрессии )
То есть половина простых чисел имеет форму 4 k + 1, а половина - форму 4 k + 3. Разумным предположением было бы, что π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) и π ( x ; 4, 1) <π ( x ; 4, 3) каждое также встречается в 50% случаев. Это, однако, не подтверждается численными данными - на самом деле π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1) встречается гораздо чаще. Например, это неравенство выполняется для всех простых чисел x <26833, кроме 5, 17, 41 и 461, для которых π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3). Первое простое число x такое, что π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3), равно 26861, то есть π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) для всех простых чисел x <26861.
В общем случае, если 0 < a , b < n - целые числа, GCD ( a , n ) = GCD ( b , n ) = 1, a - квадратичный вычет по модулю n , b - квадратичный невычет по модулю n , то π ( x ; n , b )> π ( x ; n , a ) встречается чаще, чем нет. Это было доказано только путем предположения сильных форм гипотезы Римана . Более сильная гипотеза Кнаповского и Турана о том , что плотность чисел x, для которых выполняется π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1), равна 1 (то есть она верна почти для всех x ), превратилась быть ложным. Однако они имеют логарифмическую плотность , которая составляет примерно 0,9959 .... [1]
Обобщения
Это необходимо для k = −4, чтобы найти наименьшее простое число p такое, что (где - символ кронекера ), однако для данного ненулевого целого числа k (не только k = −4) мы также можем найти наименьшее простое число p, удовлетворяющее этому условию. По теореме о простых числах для любого ненулевого целого k существует бесконечно много простых чисел p, удовлетворяющих этому условию.
Для положительных целых чисел k = 1, 2, 3, ... наименьшие простые числа p равны
- 2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... ( OEIS : A306499 - подпоследовательность, для k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... OEIS : A003658 )
Для отрицательных целых чисел k = −1, −2, −3, ... наименьшие простые числа p равны
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... ( OEIS : A306500 - подпоследовательность, для k = −3, −4, −7 , −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, - 56, −59, ... OEIS : A003657 )
Для каждого (положительного или отрицательного) неквадратного целого числа k есть больше простых чисел p с чем с (до того же предела) чаще всего. Если верны сильные формы гипотезы Римана .
Расширение до более высокой остаточной мощности
Пусть m и n - целые числа такие, что m ≥0, n > 0, GCD ( m , n ) = 1, определим функцию , где - функция Эйлера .
Например, f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2, f (2, 5) = f (3, 5) = 0, f (1, 6) = 1/2, f ( 5, 6) = 0, f (1, 7) = 5/6, f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2, f (3, 7) = f (5, 7) = 0, f (6, 7) = 1/3, f (1, 8) = 1/2, f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0, f (1 , 9) = 5/6, f (2, 9) = f (5, 9) = 0, f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2, f (8, 9) = 1 / 3.
Предполагается, что если 0 < a , b < n - целые числа, GCD ( a , n ) = GCD ( b , n ) = 1, f ( a , n )> f ( b , n ), то π ( x ; n , b )> π ( x ; n , a ) встречается чаще, чем нет.
Рекомендации
- ^ (Рубинштейн — Сарнак, 1994)
- П.Л. Чебышев: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 и 4 n + 3, Bull. Classe Phys. Акад. Imp. Sci. Санкт-Петербург , 11 (1853), 208.
- Гранвиль, Эндрю ; Мартин, Грег (2006). «Гонки на простые числа». Амер. Математика. Ежемесячно . 113 (1): 1–33. DOI : 10.1080 / 00029890.2006.11920275 . JSTOR 27641834 . S2CID 3846453 .
- J. Kaczorowski: О распределении простых чисел (mod 4), Анализ , 15 (1995), 159–171.
- С. Кнаповски, Turan: Сравнительная теория простых чисел, I, Acta Math. Акад. Sci. Повесили. , 13 (1962), 299–314.
- Рубинштейн, М .; Сарнак, П. (1994). «Чебышевский уклон». Экспериментальная математика . 3 (3): 173–197. DOI : 10.1080 / 10586458.1994.10504289 .
Внешние ссылки
- Вайстейн, Эрик В. «Чебышевский уклон» . MathWorld .
- (последовательность A007350 в OEIS ) (где основная раса 4n + 1 против 4n + 3 меняет лидера)
- (последовательность A007352 в OEIS ) (где основная раса 3n + 1 против 3n + 2 меняет лидера)