Основа Шевалле

В математике базис Шевалле для простой комплексной алгебры Ли - это базис, построенный Клодом Шевалле с тем свойством, что все структурные константы являются целыми числами. Шевалле использовал эти базисы для построения аналогов групп Ли над конечными полями , названных группами Шевалле . Базис Шевалле - это базис Картана-Вейля , но с другой нормализацией.

Генераторы группы Ли разбиваются на генераторы H и E, индексированные простыми корнями и их отрицаниями . Базис Картана-Вейля можно записать как${\ displaystyle \ pm \ alpha _ {я}}$

${\ displaystyle [H_ {i}, H_ {j}] = 0}$

${\ displaystyle [H_ {i}, E _ {\ alpha}] = \ alpha _ {i} E _ {\ alpha}}$

Определение двойного корня или кокорня в качестве${\ displaystyle \ alpha}$

${\displaystyle \alpha ^{\vee }={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

Можно выполнить изменение основы, чтобы определить

${\displaystyle H_{\alpha _{i}}=(\alpha _{i}^{\vee },H)}$

Эти целые Картана являются

${\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })}$

Получающиеся отношения между генераторами следующие:

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},H_{\alpha _{j}}]=0}$

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},E_{\alpha _{j}}]=A_{ji}E_{\alpha _{j}}}$

${\displaystyle [E_{-\alpha _{i}},E_{\alpha _{i}}]=H_{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle [E_{\beta },E_{\gamma }]=\pm (p+1)E_{\beta +\gamma }}$

где в последнем соотношении - наибольшее положительное целое число, такое, что является корнем, и мы рассматриваем if не корень.${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma -p\beta }$${\displaystyle E_{\beta +\gamma }=0}$${\displaystyle \beta +\gamma }$

Для определения знака в последнем соотношении один затруднительное упорядочение корней, сохраняющее сложение, то есть, если тогда при условии , что все четыре корни. Затем мы вызываем в экстраспециальные пару корней , если они являются как положительные , так и минимально среди все , которые происходят в парах положительных корней , удовлетворяющих . Знак в последнем соотношении может быть выбран произвольно, если это пара экстраспециальных корней. Затем это определяет знаки для всех оставшихся пар корней.${\displaystyle \beta \prec \gamma }$${\displaystyle \beta +\alpha \prec \gamma +\alpha }$${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle (\beta _{0},\gamma _{0})}$${\displaystyle \beta _{0}+\gamma _{0}=\beta +\gamma }$${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$

Ссылки [ править ]

• Картер, Роджер В. (1993). Конечные группы типа лжи: классы сопряженности и сложные характеры . Библиотека Wiley Classics. Чичестер: Вайли. ISBN 978-0-471-94109-5.
• Шевалле, Клод (1955). «Сур определенные группы простые» . Математический журнал Тохоку (на французском языке). 7 (1–2): 14–66. DOI : 10.2748 / TMJ / 1178245104 . Руководство по ремонту  0073602 . Zbl  0066.01503 .
• Жак, Титс (1966). "Sur les constantes de structure et le teorème d'existence des algèbres de Lie semi-simples" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS (на французском языке). 31 : 21–58. Руководство по ремонту  0214638 . Zbl  0145.25804 .

Эта статья по алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e