Чирп спектр

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: математические уравнения Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Август 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Январь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья читается как учебник и может потребовать очистки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, чтобы сделать ее нейтральной по тону и соответствовать стандартам качества Википедии . ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Спектр ЛЧМ- импульса описывает его характеристики с точки зрения его частотных составляющих. Это представление в частотной области является альтернативой более знакомой форме сигнала во временной области, и две версии математически связаны преобразованием Фурье .
Спектр представляет особый интерес, когда импульсы подвергаются обработке сигналов . Например, когда ЛЧМ-импульс сжимается его согласованным фильтром , результирующая форма волны содержит не только основной узкий импульс, но также множество нежелательных артефактов, многие из которых напрямую связаны с особенностями спектральных характеристик ЛЧМ-импульса .
Самый простой способ получить спектр щебета теперь, когда компьютеры широко доступны, - это сделать выборку сигнала во временной области на частоте, значительно превышающей предел Найквиста, и вызвать алгоритм БПФ для получения желаемого результата. Поскольку этот подход не подходил для первых разработчиков, они прибегали к аналитическому анализу, где это было возможно, или к графическим или приближенным методам, в противном случае. Однако эти ранние методы все еще остаются полезными, поскольку они дают дополнительное представление о поведении и свойствах щебетания.

Chirp pulse [ править ]

Общее выражение для колебательной формы волны с центром на частоте ω ₀ имеет вид

${\ Displaystyle s (t) = a (t) \ cdot \ exp [j (\ omega _ {0} \ cdot t + \ theta (t))]}$

где и θ (t) задают изменения амплитуды и фазы сигнала во времени. Частотный спектр этого сигнала получается путем вычисления преобразования Фурье из , т.е.${\ Displaystyle а (т)}$${\ displaystyle s}$
${\ displaystyle s (t)}$

${\displaystyle S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}t+\theta (t))]\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt}$
так
${\displaystyle S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j\left\{(\omega _{0}-\omega )\cdot t+\theta (t)\right\}]\cdot dt}$

В некоторых особых случаях интеграл может быть решен для получения аналитического выражения , но часто характеристики и θ (t) таковы, что интеграл может быть вычислен только с помощью алгоритма аппроксимации или численного интегрирования .${\displaystyle a(t)}$

Линейный щебет [ править ]

В частном случае, когда s (t) ограничен как нисходящий чирпированный импульс с плоской вершиной, мгновенная частота которого изменяется как линейная функция времени, тогда возможно аналитическое решение.

Для удобства считается, что импульс имеет единичную амплитуду и длительность T, а амплитуда и фаза определяются во временном интервале от -T / 2 до + T / 2. Полная частота развертки равна Δ F, линейно изменяющейся от - Δ F / 2 до + Δ F / 2 в заданном временном интервале.

Когда частота является линейной функцией времени, фаза является квадратичной функцией , и s (t) можно записать

${\displaystyle s(t)=1\cdot \exp[j(\Delta \Omega \cdot t-{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})]\qquad {\text{where}}\quad \Delta \Omega =2\pi \cdot \Delta F\qquad {\text{and}}\quad {\frac {-T}{2}}<t<{\frac {T}{2}}}$

Спектр этого линейного ЧМ-сигнала равен

${\displaystyle S(\omega )=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j(\Delta \Omega \cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})\right]\cdot \exp(-j\omega \cdot t)\cdot dt=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j\left\{(\Delta \Omega -\omega )\cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2}\right\}\right]\cdot dt}$

По завершении квадрат и используя Интегралы Френеля C (X) и S (X), ^{[1] : 35 [2] : 300} определяется

${\displaystyle C(X)=\int _{0}^{X}\cos {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy\qquad {\text{and}}\qquad S(X)=\int _{0}^{X}\sin {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy}$

выражение можно вычислить ^{[3] [4] [5] [6] : 138 [7],} чтобы получить:

${\displaystyle S(\omega )={\sqrt {\left({\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}\right)}}\cdot \exp \left[-j\left((\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}\right)\right]\cdot [C(X_{1})+j\cdot S(X_{1})+C(X_{2})+j\cdot S(X_{2})]}$

где и даются ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle \quad X_{1}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\omega -\Delta \Omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}\quad {\text{and}}\quad X_{2}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\Delta \Omega -\omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}}$

Можно считать, что линейный FM-спектр состоит из трех основных компонентов, а именно:

• амплитудный член, ${\displaystyle |S(\omega )|={\sqrt {\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}}\cdot \left[\left(C(X_{1})+C(X_{2})\right)^{2}+\left(S(X_{1})+S(X_{2})\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}$
• член фазы квадратичного закона, ${\displaystyle \quad -\Phi _{1}(\omega )=(\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}}$
• и остаточный срок фазы ${\displaystyle \quad \Phi _{2}(\omega )=\arctan \left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]}$

Отношение приблизительно равно единице в большей части интересующего диапазона частот, поэтому Φ _{2 здесь} приближается к постоянному фазовому углу π / 4. Если ввести коэффициент масштабирования частоты n, где , тогда выражения для аргументов Френеля станут${\displaystyle \left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]}$${\displaystyle n=2\cdot {\frac {(\omega -\omega _{0})}{\Delta \Omega }}}$

${\displaystyle X_{1}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1+n)}$ и

${\displaystyle X_{2}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1-n)}$

Теперь спектры являются функциями произведения T. Δ F, независимо от каких-либо конкретных значений центральной частоты и ширины полосы. Этот продукт, T. Δ F, часто называют произведением частотно-временного диапазона ЛЧМ-сигнала.

Таблицы интегралов Френеля были опубликованы ^{[1] : 32–35 [2] : 321–322} вместе с математическими процедурами, с помощью которых можно вычислять интегралы вручную или с помощью компьютерной программы. Кроме того, ряд математических программ, таких как Mathcad , MATLAB и Mathematica, имеют встроенные процедуры для вычисления интегралов либо в виде стандартных функций, либо в пакетах расширений.

Некоторые графики спектра мощности | S ( ω ) | ² показаны как функция частоты для произведений ширины полосы частот 25, 100, 250 и 1000. Когда произведение маленькое, рябь Френеля очень заметна, но спектр действительно имеет тенденцию к более прямоугольному профилю для большего значения.

В случае графиков остаточной фазы Φ 2 ( ω ) профили имеют тенденцию быть очень похожими в широком диапазоне произведений временной полосы. Ниже показаны два примера для TxB = 100 и 250. У них есть фазовый угол, близкий к значению π / 4 в пределах диапазона частотной частотной модуляции, и они начинают значительно изменяться только для частот за пределами этого диапазона.${\displaystyle \omega _{0}\pm \Delta \Omega /2}$

Следовательно, для частот в диапазоне развертки ЛЧМ наибольший интерес представляют квадратичный фазовый член Φ 1 ( ω ) и его функция групповой задержки (= -d Φ 1 / d ( ω )). Ниже показан график групповой задержки. И эта функция, и фаза Φ 1 ( ω ) не зависят от значения произведения временного диапазона. Как и ожидалось, групповая задержка является линейной функцией с длительностью T сек при развертке частоты Δ Ω rads.

Остаточный фазовый член добавляет лишь незначительные возмущения к этой характеристике в пределах частотного диапазона . На частотах вне этого диапазона Φ 2 ( ω ) быстро отклоняется от π / 4, и поэтому полная фаза там будет серьезно отклоняться от квадратичного закона. К счастью, на этих частотах содержание энергии в спектре ЛЧМ очень мало (как будет показано в следующем разделе).${\displaystyle \Delta \Omega \pm \Delta \Omega /2}$

Нелинейное чириканье [ править ]

Когда частотно-временная характеристика нелинейна, интеграл Фурье трудно оценить. В таких случаях можно прибегнуть к методу аппроксимации, например к приближению стационарной фазы , или к численным методам.

Метод стационарной фазы [ править ]

Часто (как в радиолокационных приложениях) a (t) является медленно меняющейся функцией времени, а фаза θ (t) является колебательной и быстро изменяется в диапазоне интегрирования. С такими сигналами приближение стационарной фазы может использоваться для исследования спектра. ^{[6] : 34 [8] [9] [10]} Метод основан на том факте, что основной вклад в интеграл Фурье вносит область, где скорость изменения фазы минимальна, т. Е. Когда

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[(\omega _{0}-\omega )t+\theta (t)]=0\qquad or\qquad (\omega -\omega _{0})-\theta '(t)=0}$

Если θ (t) не является константой, момент времени t _s, в котором фаза является стационарной, будет изменяться в соответствии с мгновенной частотой ω _s .
Выражая разницу между ( ω _s - ω ₀ ) .t и θ (t) как ряд Тейлора относительно времени t _s , но отбрасывая все, кроме первых трех членов (из которых второй член здесь равен нулю), Фурье интеграл можно приблизительно записать как

${\displaystyle S(\omega )\approxeq a(t_{s})\int _{t_{s}-\delta }^{t_{s}+\delta }\exp \left[-j\left\{(\omega _{s}-\omega _{0})\cdot t-\theta (t_{s})-{\frac {\theta ''(t_{s})}{2}}\cdot (t-t_{s})^{2}\right\}\right]\cdot dt}$

В этом уравнении t _s представляет собой постоянный момент времени, поэтому члены, зависящие только от t _s, могут быть вынесены за пределы интеграла. Выражение упрощается до ^{[6] : 39 [10],} поэтому
${\displaystyle S(\omega )\approxeq {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {a(t_{s})}{\sqrt {|\theta ''(t)|}}}\cdot \exp \left[j\left\{(\omega _{0}-\omega _{s})t+\theta (t_{s})+{\frac {\pi }{4}}\right\}\right]}$

${\displaystyle |S(\omega _{t})|^{2}\approxeq 2\pi \cdot {\frac {a^{2}(t)}{|\theta ''(t)|}}}$

где ω _t используется для обозначения зависимости частотной переменной от t.
Это очень полезное выражение, связывающее профиль спектра с амплитудными и фазовыми характеристиками чирпа.

Для выполнения обратного процесса, то есть для нахождения функции s (t) во временной области по данным частотной области, выводится обратное преобразование Фурье.

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|S(\omega )|\cdot \exp[j(\Phi (\omega )+\omega \cdot t)]\cdot d\omega }$

где Φ (x) - фазовая функция спектра. Точки стационарной фазы для этого подынтегрального выражения расположены в

${\displaystyle \Phi '(\omega )=-t}$

и следующее соотношение, эквивалентное полученному для спектра, может быть получено методом стационарной фазы и имеет вид

${\displaystyle a^{2}(t_{\omega })\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {|S(\omega )|^{2}}{|\Phi ''(\omega )|}}}$

Фактически, стационарный фазовый анализ дает следующие (приблизительные) парные соотношения Фурье: ^{[6] : 43} и
${\displaystyle a(t)\cdot \exp[j\theta (t)]\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }S(\omega )|\cdot \exp[j\{\Phi (\omega )+\omega \cdot t\}]\cdot d\omega }$

${\displaystyle |S(\omega )|\cdot \exp[j\Phi (\omega )]\approxeq \int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[-j\{\omega t-\theta (t)\}]dt}$

Следовательно, приближенные выражения для a (t) и θ (t) могут быть получены, когда задан спектр, включая его фазовую функцию Φ ( ω ), и аналогично приближенные выражения для | S ( ω | и Φ ( ω ) могут быть полученные при задании характеристик сигнала. Несколько примеров процедуры приведены в литературе ^{[6] : 43 [8] [10]}

Хотя отношения являются только приблизительными, их точность улучшается по мере увеличения произведения времени на полосу пропускания. В случаях, когда огибающая сигнала и модуль спектра определяются плавно изменяющейся функцией Гаусса, тогда произведение T. Δ F, равное 15, даст приемлемые результаты, но если и a (t), и | S ( ω ) | определены прямоугольными функциями, то произведение T. Δ F должно быть намного больше, обычно больше 100. ^{[6] : 49}

Примеры

Как правило, в случае радара a (t) является постоянной величиной на протяжении сигнала и, для удобства, здесь принимается равной единице. Таким образом, фазовые и амплитудные характеристики в частотной области связаны соотношением

${\displaystyle \Phi ''(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot |S(\omega )|^{2}}$

Есть два решения для Φ ( ω ), которые являются комплексно сопряженными друг другу. Два фильтра с этими характеристиками могут использоваться в качестве фильтров передатчика и приемника радиолокационной системы и являются взаимозаменяемыми.
Характеристика группового запаздывания D ( ω ) (где D ( ω ) = - d Φ / d ω ) равна

${\displaystyle D(\omega )=-\Phi '(\omega )=-\int _{0}^{\infty }\Phi ''(\omega )\cdot d\omega +K}$
так
${\displaystyle D(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\infty }|S(\omega )|^{2}\cdot d\omega +K}$

Таким образом, в случае прямоугольной временной огибающей характеристика дисперсионной задержки задается интегралом от квадрата огибающей. ^[10] Если знак положительный, то групповая задержка увеличивается с увеличением частоты и наоборот. Результат является приблизительным, но он более точен для больших значений произведения ширины полосы времени.
Рассмотрим в качестве примера случай спектра, который однороден в диапазоне от - ω _max / 2 до ω _max / 2, тогда

${\displaystyle |S(\omega )|^{2}=A\qquad for\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}}$
так
${\displaystyle D(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int A\cdot d\omega +K={\frac {A}{2\pi }}\cdot \omega +K}$

Положим D (- ω _max / 2) = 0 и D ( ω _max / 2) = T, где T - длительность импульса, тогда K = T / 2 и A = (2 π T) / ω _max,
так что, наконец,
${\displaystyle D(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}\right]}$

Как и ожидалось, частотный спектр с плоской вершиной соответствует линейной развертке частоты.

Линейный чирп - это лишь один частный случай, который в любом случае можно более точно вычислить методами, описанными в предыдущем разделе. Особая полезность метода стационарной фазы заключается в его способности обеспечивать результаты при нелинейной развертке частоты. В таких случаях спектральный отклик может быть сформирован так, чтобы соответствовать некоторым желаемым критериям проектирования, например, низким боковым лепесткам при сжатии ЛЧМ-сигнала. Одно из таких семейств спектральных функций, которое было изучено ^{[6] : 51,} имеет вид

${\displaystyle |S(\omega )|^{2}=A_{n}\cdot cos^{n}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\qquad where\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}\qquad and\ n\ is\ an\ integer}$

Можно найти характеристики групповой задержки этих функций аналогично тому, как это было выполнено выше, и результаты для n = от 1 до 4 были вычислены. ^{[6] : 51}
Хотя эти косинусные функции поддаются математической обработке, на практике их редко выбирают для определения спектральных характеристик ЛЧМ-сигнала, поскольку при сжатии они дают широкие основные импульсы с высокими уровнями боковых лепестков. Лучшей характеристикой (среди многих) ^[11] является функция Хэмминга, задаваемая формулой

${\displaystyle |S(\omega )|^{2}=A\cdot \left[0.54+0.46\cdot cos\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]=A\cdot \left[0.08+0.92\cdot cos^{2}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]}$

Показан график этой характеристики в диапазоне от - ω _max / 2 до ω _max / 2.

Применяя приведенные выше уравнения, можно получить характеристику групповой задержки, которая достигает этой спектральной формы. это

${\displaystyle D_{H}(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]}$

Теперь, поскольку принцип стационарной фазы показывает, что существует прямая связь между прошедшим временем и мгновенной задержкой сигнала, тогда для окна Хэмминга t / T может быть связано с ω / ω _{max следующим} образом:

${\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)}$

Эта характеристика, которая является функцией времени как функция частоты, показана здесь. Инвертирование графика дает более обычный (и более полезный) график зависимости частоты от времени, который также показан.

Другие формы спектра могут быть исследованы таким же образом, и результаты, хотя и приблизительные, являются удивительно точными, особенно когда произведение ширины полосы импульса велико.

Метод стационарной фазы не предсказывает и не имеет дело с рябью Френелла, поэтому он не может предложить никаких средств, с помощью которых можно минимизировать эту рябь. В качестве примера на рисунке ниже показан спектр ЛЧМ-сигнала с T. Δ F = 250, полученный для нелинейного ЛЧМ-сигнала, стремящегося соответствовать окну Хэмминга, с использованием методов, описанных выше. Рисунок показывает, что спектральный профиль достаточно хорошо соответствует характеристике Хэмминга, но рябь Френелла, не предсказываемая методом, очень очевидна.

С помощью численных методов [ править ]

Выборка [ править ]

Когда интеграл Фурье не может быть вычислен аналитическими средствами, приближенное решение обычно возможно с помощью численного анализа . Такая процедура требует, чтобы функция была дискретизирована , обычно через равные промежутки времени.
Одним из следствий дискретизации является то, что результирующий спектр является периодическим в частотной области. В дополнение к (желаемому) спектру основной полосы частот возникают дополнительные версии спектра, сосредоточенные на кратных частотах дискретизации. Чтобы гарантировать отсутствие перекрытия частотных данных (т. Е. Отсутствия наложения спектров ), должна выполняться теорема выборки Найквиста . На практике рекомендуется частота дискретизации существенно выше, чем диктуется теоремой дискретизации ^{[12].: 11}

Спектр дискретизированного сигнала - преобразование Фурье дискретного сигнала времени [ править ]

Простой способ аппроксимировать интеграл, такой как интеграл Фурье, - это использовать стандартное « правило прямоугольника » для численного интегрирования. Метод предполагает, что значение сигнала, полученное в момент выборки, остается постоянным в течение одного интервала выборки до тех пор, пока не будет взята следующая выборка. Эту процедуру иногда называют «генератором прямоугольной последовательности» или выборкой и удержанием нулевого порядка. ^{[13] : 114 [14] : 34} Если интервал времени между выборками равен W, тогда s _n = s (nW), и желаемый интеграл получается приблизительно путем суммирования прямоугольных областей.
Полученный таким образом результат представляет собой свертку прямоугольного импульса с размером шага W с импульсами, расположенными в моменты выборки, с весами, равными значениям выборки. ^{[12] : 12} Как следствие, на интересующий спектр будет наложена частотная характеристика выборки и удержание, ^{[13] : 135 [14] : 36,} а спектр выбранных одиночных Ss будет выражаться следующим образом: ^{[12 ] : 12}

${\displaystyle Ss(\omega ))=W{\frac {\sin(\omega W/2)}{\omega W/2}}\cdot \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }s_{n}\cdot \exp(-jn\omega W)\right]}$

Первая часть выражения, то есть часть «sin (x) / x», представляет собой частотную характеристику выборки и удержания. Его амплитуда уменьшается с частотой, и она падает до 63% от своего пикового значения на половине частоты дискретизации и равна нулю при кратной этой частоте (поскольку f _s = 1 / W).
Второй член в уравнении называется преобразованием Фурье дискретного сигнала s _n . ^{[12] : 12 [15]} Это непрерывная функция по всем ωи включает бесконечное количество суммирований. На практике процесс суммирования может быть усечен до конечного числа выборок, N, возможно, потому, что форма волны является периодической или нулевой за пределами диапазона выборок. Более того, поскольку один и тот же спектр бесконечно повторяется, можно ограничить интерес спектральными данными в диапазоне от - ω _s / 2 до + ω _s / 2.

В качестве примера, экспоненциальный щебет (с его максимальной частотой значительно ниже предела Найквиста) дискретизируется в 256 точках, как показано.

Показан дискретизированный спектр Ss ( ω ) этой формы сигнала, рассчитанный с использованием приведенного выше уравнения. Чтобы упростить график, были отображены только результаты с положительными частотами. На диаграмме хорошо видно влияние частотного спектра цепи удержания нулевого порядка.

Часть спектра основной полосы частот показана более подробно на следующем рисунке, а отклик показывает отчетливый наклон, который значительно ниже на более высоких частотах.

Хотя характеристика удержания нулевого порядка имеет небольшое влияние на этот результат, наклон в основном обусловлен свойствами чирпа. Форма волны относительно быстро перемещается по высоким частотам и тратит больше времени на качание низких частот, следовательно, меньше энергии на высоких частотах и ​​больше на нижних. (Линейный чирп, с другой стороны, имеет номинально плоский спектр, потому что его частоты изменяются с той же скоростью, как показано на некоторых более ранних графиках).

Через дискретное преобразование Фурье [ править ]

Если мы ограничим интерес к выходному спектру конечным числом дискретных точек данных (= N), на частотах ω _m, заданных формулой
${\displaystyle \omega _{m}={\frac {2\pi m}{NW}}\qquad for\qquad m=0,1,2,...N-1}$

то формула для вычисления дискретного преобразования Фурье имеет вид

${\displaystyle Ss_{m}\quad =Ss\left(j{\frac {2\pi m}{NW}}\right)\quad =\quad \sum _{n=0}^{N-1}s_{n}\cdot exp(-j\left({\frac {2\pi mn}{N}}\right)}$

Расчеты могут быть выполнены с помощью простого компьютерного алгоритма ^{[12] : 21,} но это не очень эффективно при использовании компьютера. Следовательно, были разработаны более эффективные алгоритмы, особенно быстрое преобразование Фурье (БПФ). Компьютерные программы, реализующие БПФ, широко доступны в литературе ^{[12] : 54 [15] : 119 412 [16]} и в проприетарных программах САПР, таких как Mathcad , MATLAB и Mathematica .
В следующем примере линейный щебет с произведением 25 временной полосы дискретизируется в 128 точках (т. Е. N = 128). На рисунке показаны образцы реальной части сигнала - обратите внимание, что это образцы во временной области. Процесс БПФ предполагает, что форма сигнала является циклической, поэтому эти 128 точек данных можно рассматривать как часть бесконечно повторяющейся во времени последовательности.

Посредством вычисления N-точечного БПФ этих данных получается дискретный спектр последовательности. Величина этого спектра показана на прилагаемом рисунке, где эти точки данных являются выборками по частоте. Данные являются циклическими, поэтому на графике точка нулевой частоты находится при n = 0, а также при n = 128 (т.е. обе точки имеют одинаковую частоту). Точка n = 64 соответствует + fs / 2 (а также -fs / 2).

Чтобы отобразить спектр более подробно (но не обязательно с большим разрешением ^[17] ), временная последовательность может быть расширена путем заполнения нулями. ^{[15] : 80–85 [18] [19]} Например, расширение временной последовательности из 128 точек нулями для получения N = 4096 результатов в той части спектра, которая первоначально была представлена ​​в 16 выборках, а теперь представлена ​​в 512 выборках, как показано.

Спектральный разброс [ править ]

За пределами диапазона частот развертки ЛЧМ-импульса очень мало спектрального содержания, и это особенно верно для сигналов, где произведение времени на ширину полосы велико. Сплошная линия на графике соседнего рисунка показывает результаты для линейных чирпов. Он показывает, например, что только около 2% общей мощности приходится на частоты за пределами диапазона развертки Δ F, когда ширина полосы пропускания составляет 100, и меньше чем 1/2%, когда T. Δ F составляет 500.
В в случае нелинейного чирпа или линейного чирпа, сформированного взвешиванием амплитуды, доля мощности за пределами Δ F еще ниже, как показано на графике, где пунктирная линия соответствует спектрам с профилями Хэмминга.
Этот низкий спектральный разброс особенно важен, когда сигналы основной полосы частот должны быть оцифрованы, поскольку он позволяет выбирать частоту дискретизации, которая лишь немного превышает удвоенное максимальное отклонение частоты ЛЧМ.

Уменьшение спектральной пульсации [ править ]

Пульсации Френеля в спектре щебетания очень навязчивы, особенно когда продукты временного диапазона низкие (скажем, менее 50), и их присутствие приводит к высоким уровням боковых лепестков во времени, когда щебетание подвержено сжатию импульсов, как в радиолокационных и гидролокаторных системах. Они возникают из-за внезапных разрывов формы волны ЛЧМ-сигнала в начале и в конце импульса.
Хотя существует ряд процедур, которые можно применить для уменьшения уровней пульсации, не все они одинаково эффективны. Кроме того, некоторые из методов требуют формирования амплитуды или амплитудной модуляции ЛЧМ-импульса, и это делает эти методы непригодными, когда, например, ЛЧМ-импульсы должны передаваться усилителем мощности, работающим в почти ограничивающих условиях. Для таких систем подходят только методы с использованием частотных (или фазовых) предыскажений.

Представляем времена нарастания и спада конечной продолжительности [ править ]

Если переходы в начале и в конце щебета сделаны менее резкими (или более «округленными»), то достигается уменьшение амплитуды пульсаций. ^{[6] : 213 [20] [21]} Длительности двух переходных областей должны составлять лишь небольшую часть длительности импульса, а предлагаемые значения находятся в диапазоне от 2 / Δ F до 3 / Δ F ^[20], но, как и ожидалось , когда произведение импульса на ширину полосы частот мало, необходимы более длительные переходные периоды. Фактические профили этих областей нарастания и спада импульса не кажутся критическими и могут быть обеспечены, например, фильтрами ограничения полосы в аналоговых реализациях и линейным наклоном в цифровых.
Два примера показывают спектры линейных чирпов с конечными временами нарастания. Первый предназначен для щебета с полосой времени 250, где время нарастания и спада составляют 4% от общей длительности импульса, а второй - для щебета с полосой времени 25, где времена нарастания и спада составляют 10%. от общей. Эти два спектра показывают заметное уменьшение амплитуды пульсаций по сравнению со спектрами неизмененных линейных щебетаний, показанными ранее.

Применение фазовых или частотных искажений к импульсу щебета [ править ]

Аналогичный метод может быть применен к частотной характеристике ЛЧМ-сигнала путем добавления сегментов линейного ЧМ-искажения (квадратичного искажения фазовой модуляции) к частотной характеристике ЛЧМ-сигнала, как показано. Этот метод эффективен, потому что амплитудные и фазовые искажения, имеющие функциональное подобие, могут давать аналогичные эффекты, когда коэффициенты искажения малы. ^{[20] [22]}

Рекомендуемые значения для этих областей искажения, чтобы дать хорошие результаты:
${\displaystyle \Delta f_{p}=0.75\Delta F\qquad and\qquad \delta =1/\Delta F}$

В более поздней работе ^{[23] были} предложены несколько иные значения, а именно: но результат, несомненно, можно улучшить, оптимизируя значения для каждой конкретной ситуации. Два графика показывают эффекты предварительной коррекции частоты и могут быть сравнены с результатами, приведенными в предыдущих разделах.
${\displaystyle \Delta f_{p}=0.73\Delta F\qquad and\qquad \delta =0.86/\Delta F}$

Снижение пульсаций, достигаемое с помощью предварительной коррекции частоты, хотя и значительно, но оказывается менее успешным, чем то, которое достигается методами амплитудной модуляции из предыдущего раздела. Однако было высказано предположение ^[21], что с помощью реализации предварительной коррекции кубической (а не квадратичной) фазы можно достичь сопоставимых результатов.

Получение формы волны из целевого частотного спектра [ править ]

В этом методе используется обратное преобразование Фурье для получения формы волны, которая имеет спектр с фазовой характеристикой выбранного чирпа, но новый профиль амплитуды, который является прямоугольным и свободным от пульсаций. Этот метод очень эффективен, но, к сожалению, полученная таким образом форма волны имеет полубесконечную длительность. Если для удобства вновь полученная форма волны усекается до практической длины, тогда в спектр снова вводится некоторая пульсация.
В качестве примера показан линейный сигнал с частотной полосой 25 и его амплитуда спектра (показана сплошной линией), который, как показано ранее, имеет большую составляющую пульсаций. С помощью обратного БПФ можно найти ЛЧМ-сигнал, который в частотной области имеет ту же фазовую характеристику, что и раньше, но с прямоугольной характеристикой амплитуды, показанной пунктирной линией на графике. Форма волны ЛЧМ-сигнала, возникающая в результате этого процесса, имеет очень большую продолжительность, но когда она сокращается до, скажем, длины 2T, спектр снова приобретает некоторую рябь, как показано.

Применение оконных функций [ править ]

Есть много приложений, в которых спектр с прямоугольным профилем амплитуды не идеален. Например, когда сигнал ЛЧМ сжимается с помощью согласованного фильтра, тогда результирующая форма сигнала приближается к функции sinc и, следовательно, имеет раздражающе высокие боковые лепестки. Часто для улучшения характеристик импульса и снижения уровней боковых лепестков его спектр модифицируют, как правило, до колоколообразного профиля. Подобные проблемы возникают при цифровой обработке сигналов, где формирование спектра обеспечивается оконной функцией , процесс, который иногда называют аподизацией . В случае антенной решетки аналогичное профилирование с помощью «весовых функций» используется для уменьшения пространственных боковых лепестков диаграммы направленности.
Хотя формирование спектра ЛЧМ может применяться в частотной области, лучшие результаты получаются, если формирование выполняется во временной области. ^{[24] [25]}
Примеры этого процесса показаны для линейных чирпов с произведением временного диапазона 250 и 25. Они были сформированы с помощью трехчленного окна Блэкмана-Харриса ^[11], заданного Спектрами, теперь в форме колокола. , не видно ряби.
${\displaystyle |U(\omega )|^{2}=0.42323-0.49755\cos \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.07922\cos \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)}$

Можно разработать нелинейный щебет, который имеет спектр в форме колокола, такой как только что обсужденное окно Блэкмана-Харриса, и, следовательно, будет демонстрировать меньшую пульсацию по сравнению с линейным щебетанием. С помощью метода стационарной фазы, описанного ранее, можно получить приблизительное соотношение между временем и частотой, которое составляет:
${\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+0.1871\sin \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.014895\sin \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)}$

Переставив уравнение, можно построить график зависимости частоты от времени, как показано.

В качестве примеров ниже показаны графики спектральных величин нелинейных чирпов со спектральными профилями окон Блэкмана-Харриса и с произведениями ширины полосы 250 и 25 во времени. Как можно видеть, наблюдается некоторое уменьшение пульсаций, но неутешительные характеристики можно отнести к тому факту, что эти щебетания, хотя они и имеют пониженное энергосодержание во внешних частотных областях, по-прежнему имеют профили амплитуды с быстрым нарастанием и спадом.

См. Также [ править ]

• Сжатие импульсов - процесс, в котором используются сигналы с частотным или фазовым кодированием для улучшения соотношения сигнал / шум принимаемых сигналов.
• Сжатие щебета , процесс сжатия только для щебета.

Ссылки [ править ]