Доказательство здесь стандартное (см. EGA II , 5.6.1ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_II ( справка )).
Приведение к случаю несводимый
Сначала мы можем свести к случаю, когда неприводимо. Начать,является нётеровым, поскольку имеет конечный тип над нётеровой базой. Следовательно, он имеет конечное число неприводимых компонент, и мы утверждаем, что для каждого есть собственное неприводимое -схема чтобы имеет теоретико-множественный образ и является изоморфизмом на открытом плотном подмножестве из . Чтобы увидеть это, определите быть теоретико-схемным образом открытого погружения
С теоретически нетерово для каждого , карта является квазикомпактным, и мы можем вычислить этот теоретико-схемный образ аффинно-локально на , немедленно доказывая два утверждения. Если мы сможем производить для каждого проективный -схема как в формулировке теоремы, то можно взять быть несвязным союзом а также быть составом : это отображение проективно и является изоморфизмом над плотным открытым множеством , пока является проективным -схема, поскольку это конечное объединение проективных -схемы. Поскольку каждый правильно над , мы завершили редукцию к делу неприводимый.
покрывается конечным числом квазипроективных -схемы
Далее мы покажем, что покрывается конечным числом открытых подмножеств так что каждый квазипроективен над . Для этого сначала квазикомпактностью покрыть конечным числом аффинных открытий , а затем закройте прообраз каждого в конечным числом аффинных открытий каждый с закрытым погружением в поскольку имеет конечный тип и, следовательно, квазикомпактный. Составление этой карты с открытыми погружениями а также , мы видим, что каждый замкнутая подсхема открытой подсхемы . В виде нётерова, каждая замкнутая подсхема открытой подсхемы также является открытой подсхемой закрытой подсхемы, и поэтому каждая квазипроективен над .
Строительство а также
Теперь предположим конечное открытое покрытие квазипроективным -схемы, с открытое погружение в проективное -схема. Набор, которая непуста при неприводимо. Ограничения к определить морфизм
чтобы , где каноническая инъекция и это проекция. Сдача обозначим каноническое открытое погружение, определим , которое, как мы утверждаем, является погружением. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что этот морфизм можно факторизовать как морфизм графа (которое является закрытым погружением при отделяется) с последующим открытым погружением ; в виде является нётеровым, мы можем применить ту же логику, что и раньше, чтобы увидеть, что мы можем поменять местами порядок открытого и закрытого погружений.
Теперь позвольте теоретико-схемный образ , и фактор в виде
где это открытое погружение и закрытое погружение. Позволять а также - канонические проекции. Набор
Мы покажем, что а также утвердить вывод теоремы.
Проверка заявленных свойств а также
Показывать сюръективен, сначала отметим, что он правильный и, следовательно, замкнутый. Поскольку его образ содержит плотное открытое множество, Мы видим, что должно быть сюръективным. Также несложно увидеть, что индуцирует изоморфизм на : мы можем просто объединить факты, которые а также является изоморфизмом своего образа, так как факторов, как состав закрытого погружения с последующим открытым погружением . Осталось показать, что проективен над .
Мы сделаем это, показав, что это погружение. Мы определяем следующие четыре семейства открытых подсхем:
Как покрытие , то покрытие , и мы хотим показать, что также покрывают . Мы сделаем это, показав, что для всех . Достаточно показать, что равно как карта топологических пространств. Замена по его редукции, которая имеет то же основное топологическое пространство, мы получаем, что два морфизма оба являются расширениями основной карты топологического пространства , поэтому по лемме о сведении к разделению они должны быть равны как топологически плотно в . Следовательно для всех и претензия доказана.
В результате покрытие , и мы можем проверить, что является погружением, проверяя, что это погружение для всех . Для этого рассмотрим морфизм
С разделен, морфизм графов замкнутое погружение и граф замкнутая подсхема ; если мы покажем это факторов через этот график (где мы рассматриваем через наше наблюдение, что является изоморфизмом над из ранее), затем карта из должен также факторизоваться через этот граф путем построения теоретико-схемного образа. Поскольку ограничение к является изоморфизмом на , ограничение к будет погружением в , и наша претензия будет доказана. Позволять быть канонической инъекцией ; мы должны показать, что существует морфизм чтобы . По определению расслоенного произведения достаточно доказать, что, или указав а также , что . Но а также , поэтому желаемый вывод следует из определения а также это погружение. С правильно, любой -морфизм из закрыто, и, таким образом, закрытое погружение, поэтому проективно.