Упаковка кругов в равносторонний треугольник - это проблема упаковки в дискретной математике, где цель состоит в том, чтобы упаковать n единичных кругов в наименьший возможный равносторонний треугольник . Оптимальные решения известны для n <13 и для любого треугольного числа окружностей, а гипотезы доступны для n <28. [1] [2] [3]
Гипотеза Пола Эрдеша и Нормана Олера гласит, что если n - треугольное число, то оптимальные упаковки из n - 1 и n кругов имеют одинаковую длину стороны: то есть, согласно гипотезе, оптимальная упаковка для n - 1 круг можно найти, удалив любой единственный круг из оптимальной гексагональной упаковки n кругов. [4] Теперь известно, что эта гипотеза верна для n ≤ 15 . [5]
Минимальные решения для длины стороны треугольника: [1]
| Количество кругов | Треугольный | Длина | Область |
|---|---|---|---|
| 1 | Правда | = 3,464 ... | 5.196 ... |
| 2 | Ложь | = 5,464 ... | 12.928 ... |
| 3 | Правда | = 5,464 ... | 12.928 ... |
| 4 | Ложь | = 6,928 ...  | 20,784 ... |
| 5 | Ложь | = 7,464 ...   | 24,124 ... |
| 6 | Правда | = 7,464 ... | 24,124 ... |
| 7 | Ложь | = 8,928 ... | 34,516 ... |
| 8 | Ложь | = 9,293 ... | 37.401 ... |
| 9 | Ложь | = 9,464 ... | 38,784 ... |
| 10 | Правда | = 9,464 ... | 38,784 ... |
| 11 | Ложь | = 10,730 ... | 49,854 ... |
| 12 | Ложь | = 10,928 ... | 51,712 ... |
| 13 | Ложь | = 11,406 ... | 56,338 ... |
| 14 | Ложь | = 11,464 ... | 56,908 ... |
| 15 | Правда | = 11,464 ... | 56,908 ... |
Тесно связанная с этим проблема состоит в том, чтобы покрыть равносторонний треугольник фиксированным числом равных кругов с минимально возможным радиусом. [6]
См. Также [ править ]
- Упаковка круга в равнобедренный прямоугольный треугольник
- Круги Малфатти , конструкция, дающая оптимальное решение для трех кругов в равностороннем треугольнике
Ссылки [ править ]
- ^ Б Melissen, Ганс (1993), "плотнейшей упаковки конгруэнтных кругов в виде равностороннего треугольника", Американского математического Monthly , 100 (10): 916-925, DOI : 10,2307 / 2324212 , JSTOR 2324212 , МР 1252928.
- ^ Мелиссен, JBM; Schuur, ПК (1995), "Упаковка 16, 17 или 18 кругов в виде равностороннего треугольника" , дискретной математики , 145 (1-3): 333-342, DOI : 10.1016 / 0012-365X (95) 90139-С , МР 1356610 .
- ^ Грэм, RL ; Любачевский, Б.Д. (1995), «Плотные упаковки равных дисков в равностороннем треугольнике: от 22 до 34 и далее» , Электронный журнал комбинаторики , 2 : Статья 1, прим. 39 стр. (В электронном виде), MR 1309122 .
- ^ Oler, Норман (1961), "Конечная задача упаковки", Canadian математический вестник , 4 (2): 153-155, DOI : 10,4153 / CMB-1961-018-7 , MR 0133065 .
- ^ Пайан, Чарльз (1997), "Empilement де Cercles égaux данс ип треугольник равносторонний À ргороз сГипе гипотеза d'Erdős-Oler.", Дискретная математика (на французском языке), 165/166: 555-565, DOI : 10.1016 / S0012-365X (96) 00201-4 , Руководство по ремонту 1439300 .
- ^ Nurmela, Кари J. (2000), "гипотетически оптимальные покрытия равностороннего треугольника с до 36 равных кругов" , Экспериментальная Математика , 9 (2): 241-250, DOI : 10,1080 / 10586458.2000.10504649 , МР 1780209 , S2CID 45127090 .
