Близость (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  Математика "близости"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Близость - это базовое понятие в топологии и смежных областях математики . Интуитивно мы говорим, что два множества близки, если они расположены произвольно близко друг к другу. Это понятие может быть определено естественным образом в метрическом пространстве, где определено понятие расстояния между элементами пространства, но его можно обобщить на топологические пространства, где у нас нет конкретного способа измерения расстояний.

Обратите внимание на разницу между близостью , которая описывает отношения между двумя множествами, и замкнутостью , которая описывает один набор.

Оператор замыкания закрывает данный набор, отображая его в замкнутый набор, который содержит исходный набор и все близкие к нему точки. Понятие близости связано с предельной точкой .

Определение [ править ]

Учитывая метрическое пространство точка называется близко или рядом с набором , если${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle d (p, A) = 0}$,

где расстояние между точкой и множеством определяется как

${\ displaystyle d (p, A): = \ inf _ {a \ in A} d (p, a)}$.

Аналогичным образом набор называется близким к набору, если${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle d (B, A) = 0}$

где

${\ Displaystyle d (B, A): = \ inf _ {b \ in B} d (b, A)}$.

Свойства [ править ]

• если точка близка к множеству и множеству, то и близки ( обратное неверно!).${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$
• близость точки к множеству сохраняется непрерывными функциями
• близость между двумя множествами сохраняется равномерно непрерывными функциями

Отношение близости между точкой и множеством [ править ]

Пусть будет какой-то набор. Отношение между точками и подмножествами является отношением близости, если оно удовлетворяет следующим условиям:${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Позвольте и быть двумя подмножествами и точкой в . ^[1]${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V}$

• Если то близко к .${\ displaystyle p \ in A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$
• если близко к тогда${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\displaystyle A\neq \emptyset }$
• если близко, а затем близко к${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\supset A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B}$
• если близко то близко или близко к${\displaystyle p}$${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B}$
• если близка к и для каждой точки , близка к , то близка к .${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B}$

В топологические пространства встроена взаимосвязь близости: определение точки как близкой к подмножеству тогда и только тогда, когда она находится в замыкании, удовлетворяет вышеуказанным условиям. Аналогичным образом, для данного набора с отношением близости определение точки как находящейся в замыкании подмножества тогда и только тогда, когда она близка к удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Таким образом, определение отношения близости на множестве в точности эквивалентно определению топологии на этом множестве.${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$

Отношения близости между двумя наборами [ править ]

Позвольте , и быть множествами. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

• если и близки, то и${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\neq \emptyset }$${\displaystyle B\neq \emptyset }$
• если и близки, то и близки${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$
• если и близки, а потом и близки${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\subset C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$
• если и близко , то либо и близко или и близко${\displaystyle A}$${\displaystyle B\cup C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$
• если тогда и близки${\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Обобщенное определение [ править ]

Отношение близости между множеством и точкой можно обобщить на любое топологическое пространство. Дано топологическое пространство и точка , называется близкой к множеству, если .${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p\in \operatorname {cl} (A)={\overline {A}}}$

Чтобы определить отношение близости между двумя наборами, топологическая структура слишком слаба, и мы должны использовать однородную структуру . Для равномерного пространства множества A и B называются близкими друг к другу, если они пересекают все антуражи , то есть для любого антуража U ( A × B ) ∩ U непусто.

См. Также [ править ]

• Топологическое пространство
• Единое пространство

Ссылки [ править ]