Код (теория множеств)

Эта статья включает в себя список литературы , связанного чтения или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( май 2019 г. ) ( узнайте, как и когда удалять это шаблонное сообщение )

В теории множеств код наследственно счетного множества

{\ Displaystyle х \ в Н _ {\ алеф _ {1}} \,}

это набор

E\subset \omega \times \omega

такой, что существует изоморфизм между (ω, E ) и ( X , ), где X — транзитивное замыкание { x }. Если X конечно (с мощностью n ), то используйте n × n вместо ω × ω и ( n , E ) вместо (ω, E ). $\in$

Согласно аксиоме экстенсиональности , идентичность множества определяется его элементами. И поскольку эти элементы также являются множествами, их идентичность определяется их элементами и т. Д. Итак, если кто-то знает отношение элементов, ограниченное X , тогда он знает, что такое x . (Мы используем транзитивное замыкание { x }, а не самого x , чтобы избежать путаницы элементов x с элементами его элементов или чего-то еще.) Код включает в себя информацию, идентифицирующую x , а также информацию о конкретной инъекции из X в ω, которая был использован для создания E. Дополнительная информация о инъекции не является существенной, поэтому для одного и того же набора существует много кодов, одинаково полезных.

Таким образом, коды - это способ отображения в набор мощности ω × ω. Используя функцию спаривания на ω (например, ( n , k ) переходит в ( n ² +2 · n · k + k ² + n +3 · k )/2), мы можем преобразовать множество степеней ω × ω в мощность ω. И мы можем отобразить набор степеней ω в набор Кантора , подмножество действительных чисел . Таким образом, утверждения о могут быть преобразованы в утверждения о вещах. Следовательно, $H_{\aleph _{1}}$ $H_{\aleph _{1}}$ $H_{\aleph _{1}}\subset L(R)\,.$