Коэффициент реституции

Прыгающий мяч захватил с стробоскопической вспышкой при 25 изображений в секунду: Игнорирование сопротивления воздуха , квадратный корень из отношения высоты одного отскока к тому из предыдущего отскока дает коэффициент восстановления для воздействия мяча / поверхности.

Коэффициент восстановления ( COR ), также обозначается ( е ), является отношение конечного к начальному относительной скорости между двумя объектами после того, как они сталкиваются. Обычно он находится в диапазоне от 0 до 1, где 1 будет абсолютно упругим столкновением. Совершенно неупругое столкновение имеет коэффициент 0, но значение 0 не обязательно должно быть совершенно неупругим. Он измеряется в испытании на твердость отскока по Leeb и выражается как 1000-кратное COR, но это только действительный COR для теста, а не универсальный COR для испытываемого материала.

Значение почти всегда меньше единицы из-за потери начальной поступательной кинетической энергии на вращательную кинетическую энергию, пластическую деформацию и тепло. Оно может быть больше 1, если есть увеличение энергии во время столкновения из-за химической реакции, уменьшение энергии вращения или другое уменьшение внутренней энергии, которое влияет на скорость после столкновения.

${\ displaystyle {\ text {Коэффициент восстановления}} (e) = {\ frac {\ left | {\ text {Относительная скорость после столкновения}} \ right |} {\ left | {\ text {Относительная скорость до столкновения} } \ right |}}}$

Математика была разработана сэром Исааком Ньютоном в 1687 году. ^[1] Она также известна как экспериментальный закон Ньютона.

Дополнительная информация [ править ]

Линия удара - это линия, вдоль которой определяется e, или при отсутствии тангенциальной силы реакции между сталкивающимися поверхностями сила удара распределяется по этой линии между телами. При физическом контакте тел при ударе его линия проходит по общей нормали к паре поверхностей, соприкасающихся с сталкивающимися телами. Следовательно, e определяется как безразмерный одномерный параметр.

Диапазон значений для e - рассматривается как константа [ править ]

e - обычно положительное действительное число от 0 до 1:

e = 0 : это совершенно неупругое столкновение. Это означает, что кинетическая энергия по общей нормали равна 0. Кинетическая энергия преобразуется в тепло или работу, совершаемую при деформации объектов.

0 < e <1 : это неупругое столкновение в реальном мире , при котором рассеивается некоторая кинетическая энергия.

e = 1 : Это совершенно упругое столкновение, при котором кинетическая энергия не рассеивается, и объекты отскакивают друг от друга с той же относительной скоростью, с которой они приближались.

e <0 : COR меньше нуля будет представлять столкновение, при котором скорость разделения объектов имеет то же направление (знак), что и скорость сближения, подразумевая, что объекты проходят друг через друга без полного взаимодействия. Это также можно рассматривать как неполную передачу импульса. Примером этого может быть маленький плотный объект, проходящий через большой, менее плотный - например, пуля, проходящая через цель.

e > 1 : это будет представлять собой столкновение, при котором выделяется энергия, например,бильярдные шары из нитроцеллюлозы могут буквально взорваться в точке удара. Кроме того, в некоторых недавних статьях описаны сверхупругие столкновения, в которых утверждается, что COR может принимать значение больше единицы в частном случае косых столкновений. ^{[2] [3] [4]} Эти явления происходят из-за изменения траектории отскока, вызванного трением. В таком столкновении кинетическая энергия увеличивается, как при взрыве. Возможно, чтодля идеального взрыва жесткой системы.${\ Displaystyle е = \ infty}$

Фаза максимальной деформации - при любом столкновении для 0 < e ≤ 1 существует условие, когда в течение короткого момента вдоль линии удара сталкивающиеся тела имеют одинаковую скорость, когда его состояние кинетической энергии теряется в максимальной доле в виде тепла, звука и света с деформацией. потенциальная энергия. Для этой короткой продолжительности это столкновение e = 0 и может быть названо неупругой фазой.

Парные объекты [ править ]

COR - это свойство пары объектов при столкновении, а не одного объекта. Если данный объект сталкивается с двумя разными объектами, каждое столкновение будет иметь свой собственный COR. Когда объект описывается как имеющий коэффициент восстановления, как если бы он был внутренним свойством без ссылки на второй объект, предполагается, что он находится между идентичными сферами или у совершенно жесткой стены.

Совершенно жесткая стенка невозможна, но может быть аппроксимирована стальным блоком, если исследовать COR сфер с гораздо меньшим модулем упругости. В противном случае COR будет подниматься, а затем падать в зависимости от скорости столкновения более сложным образом. ^[5]

Связь с сохранением энергии и импульса [ править ]

В одномерном столкновении двумя ключевыми принципами являются: сохранение энергии (сохранение кинетической энергии, если столкновение совершенно упругое) и сохранение (линейного) импульса. Третье уравнение может быть получено ^{[ необходима цитата ]} из этих двух, которое является уравнением восстановления, как указано выше. При решении задач можно использовать любые два из трех уравнений. Преимущество использования уравнения реституции в том, что иногда оно обеспечивает более удобный способ решения проблемы.

Пусть , - масса объекта 1 и объекта 2 соответственно. Пусть , будет начальной скоростью объекта 1 и объекта 2 соответственно. Пусть , будет конечной скоростью объекта 1 и объекта 2 соответственно.${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} \\ m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \ end {case}}}$

Из первого уравнения

${\displaystyle m_{1}(u_{1}^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}(v_{2}^{2}-u_{2}^{2})}$

${\displaystyle m_{1}(u_{1}+v_{1})(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}+u_{2})(v_{2}-u_{2})}$

Из второго уравнения

${\displaystyle m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})}$

После разделения

${\displaystyle u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}}$

${\displaystyle u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})}$

${\displaystyle {\frac {\left|v_{1}-v_{2}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1}$

Вышеприведенное уравнение является уравнением восстановления, а коэффициент восстановления равен 1, что соответствует идеально упругому столкновению.

Спортивный инвентарь [ править ]

Коэффициент реституции вошел в общий словарь, по крайней мере среди игроков в гольф, когда производители клюшек начали делать тонколицых водителей с так называемым «эффектом трамплина», который создает движения на большее расстояние в результате сгибания и последующего высвобождения накопленная энергия, придающая мячу больший импульс. USGA(Руководящий орган Америки по гольфу) начал тестирование драйверов для COR и установил верхний предел на уровне 0,83. В апреле 2006 года был опубликован более подробный отчет с использованием пяти лучших мячей для гольфа, используемых профессиональными гольфистами. В этом отчете освещены факты о мячах для гольфа, выходящие за рамки COR. Из-за природы полимеров (искусственных пластиков), где уровни напряжения и деформации не являются ньютоновскими, как жидкости, металлы и т. Д. Из-за этого COR является функцией скорости вращения клюшки и уменьшается с увеличением скорости клюшки. USGA четко заявляет, что ничего особенного не может быть достигнуто за пределами скорости клюшки 90 миль в час. В отчете COR колеблется от 0,845 при скорости 90 миль в час до 0,797 при скорости 130 миль в час. Вышеупомянутый «эффект батута» ясно показывает это, поскольку он снижает уровень стресса при столкновении, или, другими словами, «увеличивает "время столкновения. Номер этого отчета; RB / cor2006-01 Автор Стивен Дж. Квинтавалла, доктор философии. Согласно одной статье (обращаясь к COR втеннисные ракетки ), «[f] или Контрольные условия, используемый коэффициент восстановления составляет 0,85 для всех ракеток, исключая переменные натяжения струны и жесткости рамы, которые могут добавлять или вычитать из коэффициента восстановления». ^[6]

В Международной федерации настольного тенниса указывает , что мяч будет подпрыгивать вверх 24-26 см при падении с высоты 30,5 см на стандартный стальной блок , таким образом , имеющего COR от 0,887 до 0,923. ^[7] Для пола из жесткого линолеума с бетоном под ним кожаный баскетбольный мяч имеет COR около 0,81–0,85. ^[8]

Уравнения [ править ]

В случае одномерного столкновения с участием двух объектов, объекта A и объекта B, коэффициент восстановления определяется как:

${\displaystyle C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}}$, куда:

${\displaystyle v_{\text{a}}}$ конечная скорость объекта А после удара

${\displaystyle v_{\text{b}}}$ конечная скорость объекта B после удара

${\displaystyle u_{\text{a}}}$ - начальная скорость объекта A до удара

${\displaystyle u_{\text{b}}}$ - начальная скорость объекта B до удара

Хотя это явно не зависит от масс объектов, важно отметить, что конечные скорости зависят от массы. Для двух- и трехмерных столкновений твердых тел используемые скорости представляют собой компоненты, перпендикулярные касательной линии / плоскости в точке контакта, то есть вдоль линии удара.${\displaystyle C_{R}}$

Для объекта, отскакивающего от неподвижной цели, определяется как отношение скорости объекта после удара к скорости до удара:${\displaystyle C_{R}}$

${\displaystyle C_{R}={\frac {v}{u}}}$, куда

${\displaystyle v}$ это скорость объекта после удара

${\displaystyle u}$ это скорость объекта до удара

В случае, когда силами трения можно пренебречь и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, это эквивалентно:

${\displaystyle C_{R}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}$, куда

${\displaystyle h}$ это высота отскока

${\displaystyle H}$ высота падения

Коэффициент восстановления можно рассматривать как меру того, в какой степени сохраняется механическая энергия, когда объект отскакивает от поверхности. В случае объекта отражаясь от неподвижной мишени, изменение гравитационной потенциальной энергии , PE , в ходе удара по существу равна нулю; таким образом, проводится сравнение кинетической энергии KE объекта непосредственно перед ударом с кинетической энергией сразу после удара:${\displaystyle C_{R}}$

${\displaystyle C_{R}={\sqrt {\frac {KE_{\text{(after impact)}}}{KE_{\text{(before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}}$

В случаях, когда силами трения можно пренебречь (почти каждая студенческая лаборатория по этому предмету ^[9] ), и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, приведенное выше эквивалентно сравнению PE объекта при падении. высота с высотой отскока. В этом случае изменение KE равно нулю (объект, по существу, находится в состоянии покоя во время удара, а также находится в состоянии покоя на вершине отскока); таким образом:

${\displaystyle C_{R}={\sqrt {\frac {PE_{\text{(at bounce height)}}}{PE_{\text{(at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}$

Скорости после удара [ править ]

Уравнения для столкновений между упругими частицами можно модифицировать для использования COR, таким образом, они становятся применимыми к неупругим столкновениям, а также любой возможности между ними.

${\displaystyle v_{a}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$

и

${\displaystyle v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$

куда

${\displaystyle v_{\text{a}}}$ - конечная скорость первого объекта после удара

${\displaystyle v_{\text{b}}}$ - конечная скорость второго объекта после удара

${\displaystyle u_{\text{a}}}$ - начальная скорость первого объекта до удара

${\displaystyle u_{\text{b}}}$ - начальная скорость второго объекта до удара

${\displaystyle m_{\text{a}}}$ масса первого объекта

${\displaystyle m_{\text{b}}}$ это масса второго объекта

Вывод [ править ]

Вышеупомянутые уравнения могут быть получены из аналитического решения системы уравнений, образованной определением COR и законом сохранения импульса (который выполняется для всех столкновений). Используя обозначения сверху, где представляет скорость до столкновения и после, получаем:${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}}$

Решение уравнения сохранения импульса для и определение коэффициента восстановления для урожайности:${\displaystyle v_{\text{a}}}$${\displaystyle v_{\text{b}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$

Затем подстановка в первое уравнение, а затем разрешение для дает:${\displaystyle v_{\text{b}}}$${\displaystyle v_{\text{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$

Аналогичный вывод дает формулу для .${\displaystyle v_{\text{b}}}$

Изменение COR из-за формы объекта и столкновений не по центру [ править ]

Когда сталкивающиеся объекты не имеют направления движения, которое соответствует их центрам тяжести и точке удара, или если их контактные поверхности в этой точке не перпендикулярны этой линии, некоторая энергия, которая была бы доступна для столба -разница скоростей столкновения будет потеряна из-за вращения и трения. Потери энергии на вибрацию и возникающий в результате звук обычно незначительны.

Столкновение различных материалов и практическое измерение [ править ]

Когда мягкий объект ударяется о более твердый объект, большая часть энергии, доступной для скорости после столкновения, будет храниться в мягком объекте. COR будет зависеть от того, насколько эффективно мягкий объект сохраняет энергию сжатия, не теряя ее из-за нагрева и пластической деформации. Резиновый шар будет лучше отскакивать от бетона, чем стеклянный, но COR у стекла по стеклу намного выше, чем у резины по резине, потому что часть энергии резины теряется на тепло, когда она сжимается. Когда резиновый шар сталкивается со стеклянным шаром, COR будет полностью зависеть от резины. По этой причине определение COR материала, когда нет идентичного материала для столкновения, лучше всего проводить с использованием гораздо более твердого материала.

Поскольку не существует абсолютно жесткого материала, для твердых материалов, таких как металлы и керамика, теоретически их COR определяется с учетом столкновения между идентичными сферами. На практике может использоваться двухшариковая люлька Ньютона, но такая установка не способствует быстрому испытанию образцов.

Испытание на твердость отскока Лееба является единственным широко доступным для тестирования , связанное с определением COR. В нем используется наконечник из карбида вольфрама, одного из самых твердых доступных материалов, который падает на испытательные образцы с определенной высоты. Но форма наконечника, скорость удара и карбид вольфрама - все это переменные, которые влияют на результат, который выражается в единицах 1000 * COR. Он не дает объективного COR для материала, независимого от теста.

Подробное исследование коэффициентов восстановления в зависимости от свойств материала (модулей упругости, реологии), направления удара, коэффициента трения и адгезионных свойств ударяющихся тел можно найти в ^[10].

Прогнозирование на основе свойств материала [ править ]

COR не является свойством материала, потому что он изменяется в зависимости от формы материала и специфики столкновения, но его можно предсказать, исходя из свойств материала и скорости удара, когда особенности столкновения упрощены. Чтобы избежать осложнений, связанных с потерями на вращение и трение, мы можем рассмотреть идеальный случай идентичной пары сферических объектов, сталкивающихся так, что их центры масс и относительная скорость находятся на одной линии.

Многие материалы, такие как металлы и керамика (но не каучуки и пластмассы), считаются идеально эластичными, если их предел текучести не достигается при ударе. Энергия удара теоретически сохраняется только в упругом эффекте упругого сжатия и приводит к e= 1. Но это применимо только при скоростях от 0,1 м / с до 1 м / с. Диапазон упругости может быть превышен при более высоких скоростях, поскольку вся кинетическая энергия сосредоточена в точке удара. В частности, предел текучести обычно превышается на части площади контакта, теряется энергия из-за пластической деформации, так как не остается в упругой области. Чтобы учесть это, нижеследующее оценивает COR путем оценки процента начальной энергии удара, которая не была потеряна из-за пластической деформации. Примерно он делит, насколько легко объем материала может хранить энергию при сжатии ( ), на то, насколько хорошо он может оставаться в диапазоне упругости ( ):${\displaystyle 1/{\text{elastic modulus}}}$${\displaystyle 1/{\text{yield strength}}}$

${\displaystyle \%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$

Для заданной плотности и скорости материала это приводит к:

${\displaystyle {\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}}$

Высокий предел текучести позволяет большей части «контактного объема» материала оставаться в упругой области при более высоких энергиях. Более низкий модуль упругости позволяет увеличивать площадь контакта во время удара, поэтому энергия распределяется по большему объему под поверхностью в точке контакта. Это помогает предотвратить превышение предела текучести.

Более точное теоретическое развитие ^[11] показывает, что скорость и плотность материала также важны при прогнозировании COR при умеренных скоростях, превышающих скорость упругого столкновения (более 0,1 м / с для металлов) и медленнее, чем большая остаточная пластическая деформация (менее более 100 м / с). Более низкая скорость увеличивает коэффициент, так как требуется меньше энергии для поглощения. Более низкая плотность также означает, что необходимо поглощать меньше начальной энергии. Плотность вместо массы используется потому, что объем сферы компенсируется объемом затронутого объема в области контакта. Таким образом, радиус сферы не влияет на коэффициент. Пара сталкивающихся сфер разного размера, но из одного материала имеет тот же коэффициент, что и ниже, но умноженный на${\displaystyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{\frac {3}{8}}}$

Комбинируя эти четыре переменные, можно получить теоретическую оценку коэффициента восстановления, когда мяч падает на поверхность из того же материала. ^[12]

• е = коэффициент реституции
• S _y = динамический предел текучести (динамический «предел упругости»)
• E ′ = эффективный модуль упругости
• ρ = плотность
• v = скорость при ударе
• μ = коэффициент Пуассона

${\displaystyle e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{\frac {5}{8}}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{v}}\right)^{\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{\frac {1}{8}}}$

${\displaystyle E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}}$

Это уравнение переоценивает фактическое значение COR. Для металлов это применяется, когда v составляет приблизительно от 0,1 м / с до 100 м / с и, как правило, когда:

${\displaystyle 0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1}$

При более низких скоростях COR выше, чем предсказывает приведенное выше уравнение, теоретически достигая e = 1, когда указанная выше доля меньше м / с. Это дает следующий теоретический коэффициент восстановления для твердых сфер, упавших на 1 метр ( v = 4,5 м / с). Значения больше 1 указывают на наличие ошибок в уравнении. Вместо динамического предела текучести использовался предел текучести.${\displaystyle 10^{-6}}$

COR для пластиков и каучуков выше их фактических значений, поскольку они не ведут себя так идеально эластично, как металлы, стекло и керамика, из-за нагрева во время сжатия. Итак, нижеследующее - это только руководство по ранжированию полимеров.

Полимеры (завышены по сравнению с металлами и керамикой):

• полибутадиен (оболочка мячей для гольфа)
• бутилкаучук
• EVA
• силиконовые эластомеры
• поликарбонат
• нейлон
• полиэтилен
• Тефлон
• полипропилен
• АБС
• акрил
• ДОМАШНИЙ ПИТОМЕЦ
• полистирол
• ПВХ

Для металлов диапазон скоростей, к которым применима эта теория, составляет от 0,1 до 5 м / с, что составляет падение от 0,5 мм до 1,25 метра (стр. 366 ^[13] ).

См. Также [ править ]

• Прыгающий мяч
• Столкновение
• Устойчивость

Ссылки [ править ]

Процитированные работы

Внешние ссылки [ править ]

• Статья Wolfram о COR
• Беннет и Мипагала (2006). «Коэффициенты реституции» . Сборник фактов по физике .
• Введение в физику Криса Хеккера
• "Получение дополнительной подпрыгивания" от Челси Уолд
• Концепции качества ФИФА для футбольных матчей - равномерный отскок
• Боули, Роджер (2009). «Коэффициент реституции» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .