Прыгающий мяч

Прыгающий мяч. Движение не совсем параболическое из-за сопротивления воздуха .

Физика отскок касается физического поведения прыгающих шариков , в частности , его движения до, во время и после удара о поверхности другого тела . Некоторые аспекты поведения прыгающего мяча служат введением в механику в средней школе или на курсах физики на уровне бакалавриата . Однако точное моделирование поведения сложно и интересно в спортивной инженерии .

Движение мяча обычно описывается движением снаряда (на которое могут влиять сила тяжести , сопротивление , эффект Магнуса и плавучесть ), в то время как его удар обычно характеризуется коэффициентом восстановления (на который может влиять природа мяч, характер ударяющей поверхности, скорость удара, вращение и местные условия, такие как температура и давление ). Чтобы гарантировать честную игру , многие спортивные руководящие органыустановить ограничения на подпрыгиваемость своего мяча и запретить изменение аэродинамических свойств мяча. Подвижность мячей была характерной чертой таких же древних видов спорта, как мезоамериканские игры с мячом . ^[1]

Силы во время полета и влияние на движение [ править ]

Силы, действующие на вращающийся шар во время его полета, - это сила тяжести ( F _G ), сила сопротивления ( F _D ), сила Магнуса ( F _M ) и подъемная сила ( F _B ).

Движение прыгающего мяча подчиняется движению снаряда . ^[2]^[3] На настоящий мяч действуют многие силы, а именно гравитационная сила ( F _G ), сила сопротивления из-за сопротивления воздуха ( F _D ), сила Магнуса из-за вращения шара ( F _M ) и подъемная сила ( F _B ). В общем, для анализа движения мяча необходимо использовать второй закон Ньютона с учетом всех сил:

{\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}

где m - масса шара. Здесь a , v , r представляют собой ускорение , скорость и положение мяча за время t .

Гравитация [ править ]

Траектория отскока мяча под углом 70 ° после удара без сопротивления , с сопротивлением Стокса , а с перетаскиванием Ньютона .

Сила тяжести направлена вниз и равна ^[4]

F_{\text{G}}=mg,

где m - масса шара, а g - ускорение свободного падения , которое на Земле изменяется в пределах9,764 м / с 2 и9,834 м / с ² . ^[5] Поскольку другие силы обычно малы, движение часто идеализируется как находящееся только под действием силы тяжести. Если только сила тяжести действует на мяче, то механическая энергия будет сохраняться во время полета. В этом идеализированном случае уравнения движения имеют вид

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}

где a , v и r обозначают ускорение, скорость и положение мяча, а v ₀ и r ₀ - начальная скорость и положение мяча соответственно.

Более конкретно, если мяч отскакивает от земли под углом θ , движение по осям x и y (представляющее горизонтальное и вертикальное движение соответственно) описывается формулой ^[6]

x- ось: ${\begin{aligned}a_{\text{x}}&=0,\\v_{\text{x}}&=v_{0}\cos \left(\theta \right),\\x&=x_{0}+v_{0}\cos \left(\theta \right)t,\end{aligned}}$

y- ось: ${\begin{aligned}a_{\text{y}}&=-g,\\v_{\text{y}}&=v_{0}\sin \left(\theta \right)-gt,\\y&=y_{0}+v_{0}\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}.\end{aligned}}$

Уравнения подразумевают, что максимальная высота ( H ), дальность ( R ) и время полета ( T ) мяча, отскакивающего от плоской поверхности, задаются формулами ^[2]^[6]

{\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}

Дальнейшие уточнения движения мяча можно сделать, приняв во внимание сопротивление воздуха (и связанные с ним эффекты, такие как сопротивление и ветер ), эффект Магнуса и плавучесть . Поскольку более легкие шары ускоряются быстрее, на их движение, как правило, больше влияют такие силы.

Перетащите [ редактировать ]

Воздушный поток вокруг мяча может быть ламинарным или турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса (Re), определяемого как:

{\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},

где ρ - плотность воздуха , μ - динамическая вязкость воздуха, D - диаметр мяча, а v - скорость полета мяча в воздухе. При температуре от20 ° С , ρ =1,2 кг / м ³ и μ =1,8 × 10 ^-5 Па · с . ^[7]

Если число Рейнольдса очень низкое (Re <1), сила сопротивления шара описывается законом Стокса : ^[8]

F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,

где r - радиус шара. Эта сила действует против направления мяча (в направлении ). Однако для большинства спортивных мячей число Рейнольдса находится между 10 ⁴ и 10 ^5, и закон Стокса не применяется. ^[9] При этих более высоких значениях числа Рейнольдса сила сопротивления шара вместо этого описывается уравнением сопротивления : ^[10] $\textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}$

F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},

где C _d - коэффициент лобового сопротивления , а A - площадь поперечного сечения мяча.

Перетаскивание приведет к потере механической энергии мячом во время полета и уменьшит его дальность и высоту, а боковой ветер отклонит его от первоначального пути. Оба эффекта должны быть приняты во внимание игроками, занимающимися такими видами спорта, как гольф.

Эффект Магнуса [ править ]

Сила Магнуса, действующая на мяч с обратным вращением . Фигурные линии тока представляют собой турбулентный след . Воздушный поток отклоняется в сторону вращения.

В настольном теннисе опытный игрок может использовать вращение мяча, чтобы повлиять на траекторию полета мяча во время его полета и его реакцию при ударе о поверхность. С верхним вращением мяч достигает максимальной высоты в процессе полета (1), а затем резко изгибается вниз (2). Воздействие проталкивает мяч вперед (3) и будет иметь тенденцию подпрыгивать вверх при попадании противного игрока весла . В случае обратного вращения ситуация обратная .

Спина шара будет влиять на его траекторию через эффект Магнуса . Согласно теореме Кутта – Жуковски , для вращающейся сферы с невязким потоком воздуха сила Магнуса равна ^[11]

F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,

где r - радиус мяча, ω - угловая скорость (или скорость вращения) мяча, ρ - плотность воздуха, а v - скорость мяча относительно воздуха. Эта сила направлена перпендикулярно движению и перпендикулярно оси вращения (в направлении ). Сила направлена вверх для обратного вращения и вниз для верхнего вращения. На самом деле течение никогда не бывает гладким, и подъемная сила Магнуса лучше описывается ^[12]. $\textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}$

F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},

где ρ - плотность воздуха, C _L - коэффициент подъемной силы , A - площадь поперечного сечения мяча, а v - скорость мяча относительно воздуха. Коэффициент подъемной силы - это комплексный фактор, который зависит, помимо прочего, от отношения rω / v , числа Рейнольдса и шероховатости поверхности . ^[12] В определенных условиях коэффициент подъемной силы может быть даже отрицательным, изменяя направление силы Магнуса ( обратный эффект Магнуса ). ^[4]^[13]^[14]

В таких видах спорта, как теннис или волейбол , игрок может использовать эффект Магнуса для управления траекторией мяча (например, с помощью верхнего или обратного вращения ) во время полета. В гольфе , эффект отвечает за нарезку и подсекать которые обычно вред для игроков в гольф, но и помогает при увеличении дальности действия привода и других кадров. ^[15]^[16] В бейсболе , кувшины использовать эффект для создания curveballs и другие специальных смол . ^[17]

Подделка мяча часто является незаконной и часто оказывается в центре крикетных споров, например, между Англией и Пакистаном в августе 2006 года . ^[18] В бейсболе термин « спитбол » относится к незаконному покрытию мяча слюной или другими веществами с целью изменения аэродинамики мяча. ^[19]

Плавучесть [ править ]

Любой объект, погруженный в жидкость, такую как вода или воздух, будет испытывать подъемную плавучесть . ^[20] Согласно принципу Архимеда , эта подъемная сила равна весу жидкости, вытесняемой объектом. В случае шара эта сила равна

F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.

Выталкивающая сила обычно мала по сравнению с сопротивлением и силами Магнуса, и ею часто можно пренебречь. Однако в случае с баскетбольным мячом подъемная сила может составлять около 1,5% веса мяча. ^[20] Поскольку плавучесть направлена вверх, она увеличивает дальность полета и высоту мяча.

Воздействие [ править ]

Сжатие (A → B) и декомпрессия (B → C) удара мяча о поверхность. Сила удара обычно пропорциональна расстоянию сжатия, по крайней мере, для небольших сжатий, и может быть смоделирована как сила пружины . ^[21]^[22]

Внешнее видео
Флориан Корн (2013). «Мяч, подпрыгивающий в замедленной съемке: резиновый мяч» . YouTube .

Когда мяч ударяется о поверхность, поверхность отскакивает и вибрирует , как и мяч, создавая звук и тепло , а мяч теряет кинетическую энергию . Кроме того, удар может придать шару некоторое вращение, преобразовав часть его поступательной кинетической энергии в кинетическую энергию вращения . Эта потеря энергии обычно характеризуется (косвенно) через коэффициент восстановления (или COR, обозначаемый e ): ^[23]^{[примечание 1]}

e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},

где v _f и v _i - конечная и начальная скорости мяча, а u _f и u _i - конечная и начальная скорости удара о поверхность соответственно. В конкретном случае, когда мяч ударяется о неподвижную поверхность, COR упрощает

e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.

Таким образом, для мяча, упавшего на пол, COR будет варьироваться от 0 (без отскока, полная потеря энергии) до 1 (идеально подскакивает, без потери энергии). Значение COR ниже 0 или выше 1 теоретически возможно, но будет указывать на то, что мяч прошел через поверхность ( e <0 ) или что поверхность не была "расслабленной", когда мяч столкнулся с ней ( e > 1 ), как в случай приземления мяча на подпружиненную платформу.

Для анализа вертикальной и горизонтальной составляющих движения COR иногда разделяют на нормальный COR ( e _y ) и тангенциальный COR ( e _x ), определяемый как ^[24]

e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},

e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},

где r и ω обозначают радиус и угловую скорость мяча, а R и Ω обозначают радиус и угловую скорость ударной поверхности (такой как бейсбольная бита). В частности, rω - тангенциальная скорость поверхности шара, а RΩ - тангенциальная скорость ударной поверхности. Это особенно интересно, когда мяч ударяется о поверхность под косым углом или когда происходит вращение .

Для прямого падения на землю без вращения, когда на мяч действует только сила тяжести, COR можно связать с несколькими другими величинами следующим образом: ^[22]^[25]

e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.

Здесь K и U обозначают кинетическую и потенциальную энергию мяча, H - максимальная высота мяча, а T - время полета мяча. Индексы «i» и «f» относятся к начальному (до удара) и конечному (после удара) состояниям мяча. Точно так же потеря энергии при ударе может быть связана с COR:

{\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.

На COR мяча могут влиять несколько факторов, в основном

характер поверхности удара (например, трава, бетон, проволочная сетка) ^[25]^[26]
материал мяча (например, кожа, резина, пластик) ^[22]
давление внутри шара (если он полый) ^[22]
величина вращения, вызываемая шаром при ударе ^[27]
скорость удара ^[21]^[22]^[26]^[28]

Внешние условия, такие как температура, могут изменять свойства ударной поверхности или мяча, делая их более гибкими или более жесткими. Это, в свою очередь, повлияет на COR. ^[22] В общем, мяч будет деформироваться больше при более высоких скоростях удара и, соответственно, будет терять больше своей энергии, уменьшая COR. ^[22]^[28]

Вращение и угол удара [ править ]

Силы, действующие на вращающийся шар во время удара, - это сила тяжести , нормальная сила и сила трения (которая обычно имеет как «поступательную», так и «вращательную» составляющую). Если поверхность расположена под углом, сила тяжести будет располагаться под углом к поверхности, а другие силы останутся перпендикулярными или параллельными поверхности.

Внешнее видео
Биомеханика ММУ (2008). «Удары гольфа - замедленное видео» . YouTube .

При ударе о землю некоторая поступательная кинетическая энергия может быть преобразована в кинетическую энергию вращения и наоборот, в зависимости от угла удара и угловой скорости мяча. Если при ударе мяч движется горизонтально, трение будет иметь «поступательный» компонент в направлении, противоположном движению мяча. На рисунке мяч движется вправо , и, следовательно, он будет иметь поступательную составляющую трения, толкающую мяч влево . Кроме того, если мяч вращается при ударе, трение будет иметь «вращательную» составляющую в направлении, противоположном вращению мяча. На рисунке мяч вращается по часовой стрелке, а точка, касающаяся земли, перемещается влево.относительно центра масс мяча . Таким образом, вращательная составляющая трения толкает мяч вправо . В отличие от нормальной силы и силы тяжести, эти силы трения будут оказывать на шар крутящий момент и изменять его угловую скорость ( ω ). ^[29]^[30]^[31]^[32]

Могут возникнуть три ситуации: ^[32]^[33]^[34]

Если мяч продвигается вперед с обратным вращением , поступательное и вращательное трение действуют в одних и тех же направлениях. Угловая скорость мяча будет уменьшена после удара, как и его горизонтальная скорость, и мяч продвигается вверх , возможно, даже превышая его первоначальную высоту. Мяч также может начать вращаться в противоположном направлении и даже отскочить назад.
Если мяч продвигается вперед с верхним вращением , поступательное и вращательное трение будут действовать в противоположных направлениях. Что именно происходит, зависит от того, какой из двух компонентов преобладает.
1. Если мяч вращается намного быстрее, чем он двигался, трение вращения будет преобладать. После удара угловая скорость мяча уменьшится, но его горизонтальная скорость увеличится. Мяч будет продвигаться вперед, но не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.
2. Если мяч движется намного быстрее, чем вращался, преобладает поступательное трение. После удара угловая скорость мяча увеличится, но его горизонтальная скорость уменьшится. Мяч не превысит своей первоначальной высоты и будет продолжать вращаться в том же направлении.

Если поверхность наклонена на некоторую величину θ , вся диаграмма будет повернута на θ , но сила тяжести останется направленной вниз (образуя угол θ с поверхностью). Тогда гравитация будет иметь компонент, параллельный поверхности, который будет способствовать трению и, следовательно, вращению. ^[32]

В видах спорта с ракеткой, таких как настольный теннис или ракетбол , опытные игроки будут использовать вращение (включая боковое вращение ), чтобы внезапно изменить направление мяча, когда он ударяется о поверхность, например, о землю или ракетку соперника . Точно так же в крикете существуют различные методы боулинга с вращением , при которых мяч может значительно отклоняться от поля .

Несферические шары [ править ]

Силы, действующие на футбольный мяч с сеткой или мяч для регби при ударе, - это сила тяжести , нормальная сила и сила трения . Трение обычно имеет «продольный» компонент из-за скорости мяча и «кувырка» и «боковой» компонент из-за «осевого» вращения мяча, вызванного броском.

Отскок мяча овальной формы (например, мячей, используемых в сетке футбола или регби ) в целом гораздо менее предсказуем, чем отскок сферического мяча. В зависимости от выравнивания мяча при ударе, нормальная сила может действовать впереди или позади центра масс мяча, а трение о землю будет зависеть от выравнивания мяча, а также от его вращения, вращения и скорости удара. Когда силы, действующие по отношению к центру масс мяча, изменяются, когда мяч катится по земле, и все силы могут создавать крутящий моментна мяч, включая нормальную силу и силу тяжести. Это может привести к тому, что мяч отскочит вперед, отскочит назад или вбок. Поскольку можно преобразовать некоторую кинетическую энергию вращения в кинетическую энергию поступательного движения, возможно, что COR будет больше 1, или скорость движения мяча может увеличиться при ударе. ^[35]

Множественные уложенные шары [ править ]

Внешнее видео
Девушка-физик (2015). "Сложенный шарик" . YouTube .

Популярная демонстрация включает отскок нескольких уложенных стопкой шаров. Если теннисный мяч сложен поверх баскетбольного мяча и оба из них упадут одновременно, теннисный мяч отскочит намного выше, чем при падении сам по себе, даже превышая исходную высоту выброса. ^[36]^[37] Результат удивителен, поскольку он явно нарушает закон сохранения энергии. ^[38] Однако при ближайшем рассмотрении баскетбольный мяч не отскакивает так высоко, как если бы теннисный мяч не находился на нем, а передавал часть своей энергии теннисному мячу, поднимая его на большую высоту. ^[36]

Обычное объяснение включает рассмотрение двух отдельных ударов: удар баскетбольного мяча об пол и затем удар баскетбольного мяча теннисным мячом. ^[36]^[37] Если предположить, что столкновения абсолютно упругие , баскетбольный мяч, ударяющийся о пол со скоростью 1 м / с, отскочит со скоростью 1 м / с. У теннисного мяча, движущегося со скоростью 1 м / с, будет относительная скорость удара 2 м / с, что означает, что он отскочит со скоростью 2 м / с относительно баскетбольного мяча или 3 м / с относительно пола и утроит его. скорость отскока по сравнению с собственным ударом об пол. Это означает, что мяч отскочит от своей первоначальной высоты в 9 раз . ^{[примечание 2]} В действительности из-за неупругих столкновений, теннисный мяч увеличит свою скорость и высоту отскока в меньшем количестве, но все равно будет отскакивать быстрее и выше, чем сам по себе. ^[37]

Хотя предположения об отдельных ударах на самом деле не верны (шары остаются в тесном контакте друг с другом в течение большей части удара), эта модель, тем не менее, воспроизводит экспериментальные результаты с хорошим согласием ^[37] и часто используется для понимания более сложных явлений. такие как коллапс ядра из сверхновых , ^[36] или гравитационные маневры рогатки . ^[39]

Спортивные правила [ править ]

Органы управления некоторыми видами спорта регулируют подпрыгивание мяча различными способами, прямыми и косвенными.

AFL : Регламентирует манометрическое давление в футбол , чтобы быть между62 кПа и76 кПа . ^[40]
ФИБА : регулирует манометрическое давление таким образом, чтобы баскетбольный мяч отскакивал от 1200 мм до 1400 мм (верхняя часть мяча) при падении с высоты 1800 мм (нижняя часть мяча). ^[41] Это примерно соответствует COR от 0,727 до 0,806. ^{[заметка 3]}
ФИФА : регулирует манометрическое давление футбольного мяча между0,6 атм и1,1 атм на уровне моря (от 61 до 111 кПа ). ^[42]
FIVB : регулирует манометрическое давление волейбольного мяча междуОт 0,30 кг F / см ² до0,325 кг _F / см ² (от 29,4 до 31,9 кПа) для внутреннего волейбола , иОт 0,175 кг F / см ² до0,225 кг _F / см ² (от 17,2 до 22,1 кПа) для пляжного волейбола . ^[43]^[44]
ITF : регулирует высоту отскока теннисного мяча при падении на «гладкий, жесткий и горизонтальный блок большой массы». Для разных поверхностей допускаются разные типы мячей. При падении с высоты 100 дюймов (254 см) отскок должен составлять 54–60 дюймов (137–152 см) для мячей типа 1, 53–58 дюймов (135–147 см) для мячей типа 2 и 3, и 48–53 дюйма (122–135 см) для высотных мячей. ^[45] Это примерно соответствует COR 0,735–0,775 (мяч типа 1), 0,728–0,762 (шары типов 2 и 3) и 0,693–0,728 (шары для больших высот) при падении на испытательную поверхность. ^{[заметка 3]}
ITTF : регулирует игровую поверхность таким образом, что мяч для настольного тенниса отскакивает примерно на 23 см при падении с высоты 30 см. ^[46] Это примерно соответствует COR около 0,876 по отношению к игровой поверхности. ^{[заметка 3]}
NBA : регулирует манометрическое давление баскетбольного мяча в диапазоне от 7,5 до 8,5 фунтов на квадратный дюйм (от 51,7 до 58,6 кПа). ^[47]
NFL : регулирует манометрическое давление в американском футболе в диапазоне от 12,5 до 13,5 фунтов на квадратный дюйм (от 86 до 93 кПа). ^[48]
R&A / USGA : напрямую ограничивает COR мяча для гольфа , который не должен превышать 0,83 против клюшки . ^[49]

Давление американского футбола было в центре разногласий по поводу дефлаттерации . ^[50]^[51] Некоторые виды спорта не регулируют прыгающие свойства мячей напрямую, а вместо этого определяют метод конструкции. В бейсболе появление мяча на основе пробки помогло положить конец эре мертвого мяча и запустить эру живого мяча . ^[52]^[53]

См. Также [ править ]

Прыгучий мяч
Список игр с мячом

Примечания [ править ]

^ Здесь v и u - это не только величина скорости, но и их направление ( знак ).
^ Поскольку подразумевает сохранение механической энергии, топропорционально. $\textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}$ $\textstyle H_{\text{f}}$ $v_{\text{f}}^{2}$
^ a b c Рассчитано с использованием и (если применимо) диаметра шара. Расчет предполагает, что сопротивление воздуха незначительно. $\textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}$

Ссылки [ править ]

^ Уиттингтон, EM, изд. (2001). Спорт жизни и смерти: мезоамериканская игра в мяч . Темза и Гудзон . ISBN 0-500-05108-9.
^ а б Бранкацио, П.Дж. (1985). «Траектория полета мяча». Учитель физики . 23 (1): 20–23. Bibcode : 1985PhTea..23 ... 20B . DOI : 10.1119 / 1.2341702 .
^ Уокер, Дж. (2014). Основы физики (10-е расширенное изд.). Джон Вили и сыновья . Рисунок 4-8, стр. 70. ISBN 978-1-118-23072-5.
^ Б Буш, JWM (2013). «Аэродинамика красивой игры» (PDF) . В Clanet, К. (ред.). Спортивная физика . Les Éditions de l'École Polytechnique . п. 171. hdl : 1721.1 / 87576 . ISBN 978-2-7302-1615-9.
^ Хирт, C .; Claessens, S .; Fecher, T .; Kuhn, M .; Pail, R .; Рексер, М. (2013). «Новый снимок гравитационного поля Земли в сверхвысоком разрешении» . Письма о геофизических исследованиях . 40 (16): 4279–4283. Bibcode : 2013GeoRL..40.4279H . DOI : 10.1002 / grl.50838 .
^ a b Неф, Р. "Траектории" . Гиперфизика . Проверено 27 января 2017 .
^ "Свойства сухого воздуха" . Инженерный инструментарий . Проверено 11 февраля 2017 .
^ Southard, J. (Fall 2006). «Глава 3: Обтекание сферы II: закон Стокса, уравнение Бернулли, турбулентность, пограничные слои, отрыв потока» (PDF) . Специальные темы: Введение в движения жидкости, перенос отложений и создаваемые токами осадочные структуры . Массачусетский технологический институт . С. 35–82. Архивировано из оригинального (PDF) 05 февраля 2017 года.
^ Metha, RD (2008). «Аэродинамика спортивного мяча». В Nørstrud, H. (ed.). Спортивная аэродинамика . Международный центр механических наук CISM. 506 . Springer . С. 229–331. DOI : 10.1007 / 978-3-211-89297-8_12 . ISBN 978-3-211-89296-1.
^ "Перетаскивание шара" . НАСА .
^ "Идеальный подъем вращающегося шара" . НАСА . Проверено 2 февраля 2017 .
^ a b Натан, AM (2008). «Влияние вращения на полет бейсбольного мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 76 (2): 119–124. arXiv : физика / 0605041 . Bibcode : 2008AmJPh..76..119N . DOI : 10.1119 / 1.2805242 . S2CID 15494386 .
^ Ким, J .; Парк, H .; Choi, H .; Ю, JY (2011). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере» (PDF) . 64-е ежегодное собрание отдела гидродинамики APS . Американское физическое общество . Bibcode : 2011APS..DFD.A7008K .
^ Ким, J .; Choi, H .; Парк, H .; Ю, JY (2014). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере: когда и почему». Журнал гидромеханики . 754 : R2. Bibcode : 2014JFM ... 754r ... 2K . DOI : 10,1017 / jfm.2014.428 .
^ "Эффект Магнуса" . HumanKinetics.com . 2008-11-11 . Проверено 27 января 2017 .
^ ДеФорест, C. (1997). "Почему у мячей для гольфа ямочки?" . Оригинальный FAQ по физике Usenet . Архивировано из оригинала на 2019-07-23 . Проверено 27 января 2017 .
^ Clanet, С. (2015). «Спортивная баллистика» (PDF) . Ежегодный обзор гидромеханики . 47 : 455–478. Bibcode : 2015AnRFM..47..455C . DOI : 10.1146 / annurev-fluid-010313-141255 .
^ «Инзамам обвиняется МУС» . Хранитель . 21 августа 2006 . Проверено 28 января 2017 .
^ Okrent, D .; Вульф, С. (1989). Бейсбольные анекдоты . Издательство Оксфордского университета . п. 89. ISBN 978-0-19-504396-9.
^ a b Пост, S. (2010). Прикладная и вычислительная механика жидкости . Джонс и Бартлетт Издательство . С. 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6.
^ а б Кросс, Р. (1999). «Отскок мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (3): 222–227. Bibcode : 1999AmJPh..67..222C . DOI : 10.1119 / 1.19229 .
^ a b c d e f g Georgallas, A .; Ландри, Г. (2016). «Коэффициент восстановления шаров под давлением: механистическая модель» . Канадский журнал физики . 94 (1): 42. Bibcode : 2016CaJPh..94 ... 42G . DOI : 10,1139 / CJP-2015-0378 . hdl : 1807/69855 .
^ «Коэффициент реституции» . RacquetResearch.com . Архивировано из оригинала на 2016-11-23 . Проверено 27 января 2017 .
^ Кросс, R .; Натан, AM (2006). «Разброс бейсбольного мяча битой». Американский журнал физики . 74 (10): 896–904. arXiv : физика / 0605040 . Bibcode : 2006AmJPh..74..896C . DOI : 10.1119 / 1.2209246 . S2CID 15488042 .
^ а б Харон, А .; Исмаил, К.А. (2012). «Коэффициент возврата спортивных мячей: нормальное испытание на падение» . Серия конференций IOP: Материаловедение и инженерия . 36 (1): 012038. Bibcode : 2012MS & E ... 36a2038H . DOI : 10,1088 / 1757-899X / 36/1/012038 .
^ а б Кросс, Р. (2000). «Коэффициент восстановления для столкновения счастливых мячей, несчастливых мячей и теннисных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 68 (11): 1025–1031. Bibcode : 2000AmJPh..68.1025C . DOI : 10.1119 / 1.1285945 .
^ Кросс, Р. (2002). «Поведение прыгающего мяча при захвате-проскальзывании» (PDF) . Американский журнал физики . 70 (11): 1093–1102. Bibcode : 2002AmJPh..70.1093C . DOI : 10.1119 / 1.1507792 .
^ а б Чжан, X .; Ву-Куок, Л. (2002). «Моделирование зависимости коэффициента восстановления от скорости удара при упругопластических столкновениях». Международный журнал ударной инженерии . 27 (3): 317–341. DOI : 10.1016 / S0734-743X (01) 00052-5 .
^ Hesser-Нолл, М. (2014). «Вращение мяча при отскоке» . Физика тенниса . Университет Аляски в Фэрбенксе . Проверено 1 февраля 2017 .
↑ Линдси, К. (апрель 2004 г.). «Следуй за прыгающим мячом» . Теннисная индустрия . Проверено 1 февраля 2017 .
^ Аллен, Т .; Haake, S .; Гудвилл, С. (2010). «Влияние трения на удары теннисного мяча» . Труды Института инженеров - механиков, часть P . 224 (3): 229–236. DOI : 10.1243 / 17543371JSET66 .
^ a b c Кросс, Р. (2005). «Отскок вращающегося шара вблизи нормального падения» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (10): 914–920. Bibcode : 2005AmJPh..73..914C . DOI : 10.1119 / 1.2008299 .
^ Аллен, Т. (2012). «Мяч в твоей стороне» (PDF) . ANSYS Advantage (эксклюзивно для Интернета). Архивировано из оригинального (PDF) 05 февраля 2017 года.
^ Jafri, SMM (2004). Моделирование динамики удара теннисного мяча о плоскую поверхность (PDF) (Диссертация). Техасский университет A&M . ЛВП : 1969,1 / 2441 .
^ Кросс, Р. (2011). «Отскок футбольного мяча овальной формы» (PDF) . Спортивная техника . 3 (3): 168–180. DOI : 10.1080 / 19346182.2011.564283 . S2CID 108409393 .
^ а б в г Huebner, JS; Смит, Т.Л. (1992). «Столкновения нескольких шаров» . Учитель физики . 30 (1): 46. Bibcode : 1992PhTea..30 ... 46H . DOI : 10.1119 / 1.2343467 .
^ a b c d Кросс, Р. (2007). «Вертикальный отскок двух вертикально расположенных шаров» (PDF) . Американский журнал физики . 75 (11): 1009–1016. Bibcode : 2007AmJPh..75.1009C . DOI : 10.1119 / 1.2772286 .
^ Хартер, WG (1971). «Увеличение скорости в экспериментах по столкновению с супершарами» (PDF) . Американский журнал физики . 39 (6): 656–663. Bibcode : 1971AmJPh..39..656H . DOI : 10.1119 / 1.1986253 .
^ Нейв, Р. "Двойное падение шара" . Гиперфизика . Проверено 28 января 2017 .
^ Законы австралийского футбола 2017 (PDF) . AFL . 2017. с. 15 . Проверено 19 января 2018 .
^ Официальные правила баскетбола 2014 Баскетбольное оборудование (PDF) . ФИБА . 2014. с. 12.
^ Законы игры: 2014-15 (PDF) . ФИФА . 2014. с. 15.
^ Официальные правила волейбола: 2017–2020 (PDF) . ФИВБ . 2016. с. 16.
^ Официальные правила пляжного волейбола: 2017–2020 (PDF) . ФИВБ . 2017. с. 15.
^ Утвержденные ITF теннисные мячи, классифицированные поверхности и признанные корты (PDF) . ITF . 2016. С. 4–5.
^ Справочник Международной федерации настольного тенниса (PDF) . ITTF . 2017. с. 24. Архивировано из оригинального (PDF) 24 апреля 2018 года . Проверено 20 октября 2017 .
^ Официальные правила Национальной баскетбольной ассоциации: 2013–2014 (PDF) . НБА . 2013. с. 10.
^ Официальные правила игры Национальной футбольной лиги (PDF) . НФЛ . 2016. с. 3.
Перейти ↑ Rubenstein, L. (11 мая 2002 г.). «Наконец-то попал в COR игры» . Глобус и почта . Проверено 27 января 2017 .
^ Botelho, G .; Кастильо, М. (11 мая 2015 г.). « ' Deflategate: ' Дисквалификация на 4 игры для Тома Брэди» . CNN . Проверено 27 января 2017 .
^ Ну, младший, телевидение; Карп, Б.С.; Рейснер, LL (2015). Отчет о расследовании в отношении футбольных мячей, использованных во время игры чемпионата AFC 18 января 2015 г. (PDF) . Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP .
^ «Эволюция мяча» . Baseball Digest : 67. июль 1963 г.
^ Соуэлл, Т. (2011). «Мертвый мяч против живого мяча» . Читатель Томаса Соуэлла . Основные книги . ISBN 9780465022502.

Дальнейшее чтение [ править ]

Бриггс, LJ (1945). «Методы измерения коэффициента восстановления и вращения мяча» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . 34 (1): 1–23. DOI : 10,6028 / jres.034.001 .
Кросс, Р. (2011). Физика бейсбола и софтбола . Springer . ISBN 978-1-4419-8112-7.
Кросс, Р. (июнь 2014 г.). «Физика отскока» . Сиднейский университет .
Кросс, Р. (2015). «Поведение прыгающего мяча». Физическое образование . 50 (3): 335–341. Bibcode : 2015PhyEd..50..335C . DOI : 10.1088 / 0031-9120 / 50/3/335 .
Стронге, WJ (2004). Механика удара . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-60289-1.
Эрлихсон, Герман (1983). «Максимальная дальность полета снаряда с сопротивлением и подъемной силой, особенно применительно к гольфу». Американский журнал физики . 51 (4): 357–362. Bibcode : 1983AmJPh..51..357E . DOI : 10.1119 / 1.13248 . Краткое содержание - Forbes.com (29 апреля 2013 г.).

[v-sign-24] Здесь v и u - это не только величина скорости, но и их направление ( знак ).

[40] Поскольку подразумевает сохранение механической энергии, топропорционально. $\textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}$ $\textstyle H_{\text{f}}$ $v_{\text{f}}^{2}$

[calc-44] Рассчитано с использованием и (если применимо) диаметра шара. Расчет предполагает, что сопротивление воздуха незначительно. $\textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}$

[Whittington2001-1] Уиттингтон, EM, изд. (2001). Спорт жизни и смерти: мезоамериканская игра в мяч . Темза и Гудзон . ISBN 0-500-05108-9.

[Brancazio1985-2] а б Бранкацио, П.Дж. (1985). «Траектория полета мяча». Учитель физики . 23 (1): 20–23. Bibcode : 1985PhTea..23 ... 20B . DOI : 10.1119 / 1.2341702 .

[Walker2014-3] Уокер, Дж. (2014). Основы физики (10-е расширенное изд.). Джон Вили и сыновья . Рисунок 4-8, стр. 70. ISBN 978-1-118-23072-5.

[Bush2013-4] Б Буш, JWM (2013). «Аэродинамика красивой игры» (PDF) . В Clanet, К. (ред.). Спортивная физика . Les Éditions de l'École Polytechnique . п. 171. hdl : 1721.1 / 87576 . ISBN 978-2-7302-1615-9.

[Hirt2013-5] Хирт, C .; Claessens, S .; Fecher, T .; Kuhn, M .; Pail, R .; Рексер, М. (2013). «Новый снимок гравитационного поля Земли в сверхвысоком разрешении» . Письма о геофизических исследованиях . 40 (16): 4279–4283. Bibcode : 2013GeoRL..40.4279H . DOI : 10.1002 / grl.50838 .

[HyperPhysicsTrajectories-6] Неф, Р. "Траектории" . Гиперфизика . Проверено 27 января 2017 .

[EngineeringToolbox-7] "Свойства сухого воздуха" . Инженерный инструментарий . Проверено 11 февраля 2017 .

[Southard2006-8] Southard, J. (Fall 2006). «Глава 3: Обтекание сферы II: закон Стокса, уравнение Бернулли, турбулентность, пограничные слои, отрыв потока» (PDF) . Специальные темы: Введение в движения жидкости, перенос отложений и создаваемые токами осадочные структуры . Массачусетский технологический институт . С. 35–82. Архивировано из оригинального (PDF) 05 февраля 2017 года.

[Metha2008-9] Metha, RD (2008). «Аэродинамика спортивного мяча». В Nørstrud, H. (ed.). Спортивная аэродинамика . Международный центр механических наук CISM. 506 . Springer . С. 229–331. DOI : 10.1007 / 978-3-211-89297-8_12 . ISBN 978-3-211-89296-1.

[NASADragSphere-10] "Перетаскивание шара" . НАСА .

[NASAIdealLift-11] "Идеальный подъем вращающегося шара" . НАСА . Проверено 2 февраля 2017 .

[Nathan2008-12] Натан, AM (2008). «Влияние вращения на полет бейсбольного мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 76 (2): 119–124. arXiv : физика / 0605041 . Bibcode : 2008AmJPh..76..119N . DOI : 10.1119 / 1.2805242 . S2CID 15494386 .

[Kim2011-13] Ким, J .; Парк, H .; Choi, H .; Ю, JY (2011). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере» (PDF) . 64-е ежегодное собрание отдела гидродинамики APS . Американское физическое общество . Bibcode : 2011APS..DFD.A7008K .

[Kim2014-14] Ким, J .; Choi, H .; Парк, H .; Ю, JY (2014). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере: когда и почему». Журнал гидромеханики . 754 : R2. Bibcode : 2014JFM ... 754r ... 2K . DOI : 10,1017 / jfm.2014.428 .

[HumanKinetics-15] "Эффект Магнуса" . HumanKinetics.com . 2008-11-11 . Проверено 27 января 2017 .

[DeForest1997-16] ДеФорест, C. (1997). "Почему у мячей для гольфа ямочки?" . Оригинальный FAQ по физике Usenet . Архивировано из оригинала на 2019-07-23 . Проверено 27 января 2017 .

[Clanet2015-17] Clanet, С. (2015). «Спортивная баллистика» (PDF) . Ежегодный обзор гидромеханики . 47 : 455–478. Bibcode : 2015AnRFM..47..455C . DOI : 10.1146 / annurev-fluid-010313-141255 .

[GuardianInzamam-18] «Инзамам обвиняется МУС» . Хранитель . 21 августа 2006 . Проверено 28 января 2017 .

[Okrent1989-19] Okrent, D .; Вульф, С. (1989). Бейсбольные анекдоты . Издательство Оксфордского университета . п. 89. ISBN 978-0-19-504396-9.

[Post2010-20] Пост, S. (2010). Прикладная и вычислительная механика жидкости . Джонс и Бартлетт Издательство . С. 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6.

[Cross1999-21] а б Кросс, Р. (1999). «Отскок мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (3): 222–227. Bibcode : 1999AmJPh..67..222C . DOI : 10.1119 / 1.19229 .

[Georgallas2016-22] Georgallas, A .; Ландри, Г. (2016). «Коэффициент восстановления шаров под давлением: механистическая модель» . Канадский журнал физики . 94 (1): 42. Bibcode : 2016CaJPh..94 ... 42G . DOI : 10,1139 / CJP-2015-0378 . hdl : 1807/69855 .

[RacquetResearch-23] «Коэффициент реституции» . RacquetResearch.com . Архивировано из оригинала на 2016-11-23 . Проверено 27 января 2017 .

[Cross2006-25] Кросс, R .; Натан, AM (2006). «Разброс бейсбольного мяча битой». Американский журнал физики . 74 (10): 896–904. arXiv : физика / 0605040 . Bibcode : 2006AmJPh..74..896C . DOI : 10.1119 / 1.2209246 . S2CID 15488042 .

[Haron2012-26] а б Харон, А .; Исмаил, К.А. (2012). «Коэффициент возврата спортивных мячей: нормальное испытание на падение» . Серия конференций IOP: Материаловедение и инженерия . 36 (1): 012038. Bibcode : 2012MS & E ... 36a2038H . DOI : 10,1088 / 1757-899X / 36/1/012038 .

[Cross2000-27] а б Кросс, Р. (2000). «Коэффициент восстановления для столкновения счастливых мячей, несчастливых мячей и теннисных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 68 (11): 1025–1031. Bibcode : 2000AmJPh..68.1025C . DOI : 10.1119 / 1.1285945 .

[Cross2002-28] Кросс, Р. (2002). «Поведение прыгающего мяча при захвате-проскальзывании» (PDF) . Американский журнал физики . 70 (11): 1093–1102. Bibcode : 2002AmJPh..70.1093C . DOI : 10.1119 / 1.1507792 .

[Zhang2002-29] а б Чжан, X .; Ву-Куок, Л. (2002). «Моделирование зависимости коэффициента восстановления от скорости удара при упругопластических столкновениях». Международный журнал ударной инженерии . 27 (3): 317–341. DOI : 10.1016 / S0734-743X (01) 00052-5 .

[Hesser-Knoll2014-30] Hesser-Нолл, М. (2014). «Вращение мяча при отскоке» . Физика тенниса . Университет Аляски в Фэрбенксе . Проверено 1 февраля 2017 .

[Lindsey2004-31] Линдси, К. (апрель 2004 г.). «Следуй за прыгающим мячом» . Теннисная индустрия . Проверено 1 февраля 2017 .

[Allen2010-32] Аллен, Т .; Haake, S .; Гудвилл, С. (2010). «Влияние трения на удары теннисного мяча» . Труды Института инженеров - механиков, часть P . 224 (3): 229–236. DOI : 10.1243 / 17543371JSET66 .

[Cross2005-33] Кросс, Р. (2005). «Отскок вращающегося шара вблизи нормального падения» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (10): 914–920. Bibcode : 2005AmJPh..73..914C . DOI : 10.1119 / 1.2008299 .

[Allen2012-34] Аллен, Т. (2012). «Мяч в твоей стороне» (PDF) . ANSYS Advantage (эксклюзивно для Интернета). Архивировано из оригинального (PDF) 05 февраля 2017 года.

[Jaffri2004-35] Jafri, SMM (2004). Моделирование динамики удара теннисного мяча о плоскую поверхность (PDF) (Диссертация). Техасский университет A&M . ЛВП : 1969,1 / 2441 .

[Cross2011-36] Кросс, Р. (2011). «Отскок футбольного мяча овальной формы» (PDF) . Спортивная техника . 3 (3): 168–180. DOI : 10.1080 / 19346182.2011.564283 . S2CID 108409393 .

[Huebner1992-37] а б в г Huebner, JS; Смит, Т.Л. (1992). «Столкновения нескольких шаров» . Учитель физики . 30 (1): 46. Bibcode : 1992PhTea..30 ... 46H . DOI : 10.1119 / 1.2343467 .

[Cross2007-38] Кросс, Р. (2007). «Вертикальный отскок двух вертикально расположенных шаров» (PDF) . Американский журнал физики . 75 (11): 1009–1016. Bibcode : 2007AmJPh..75.1009C . DOI : 10.1119 / 1.2772286 .

[Hartner1971-39] Хартер, WG (1971). «Увеличение скорости в экспериментах по столкновению с супершарами» (PDF) . Американский журнал физики . 39 (6): 656–663. Bibcode : 1971AmJPh..39..656H . DOI : 10.1119 / 1.1986253 .

[HyperphysicsDoubleBallDrop-41] Нейв, Р. "Двойное падение шара" . Гиперфизика . Проверено 28 января 2017 .

[AFL-42] Законы австралийского футбола 2017 (PDF) . AFL . 2017. с. 15 . Проверено 19 января 2018 .

[FIBA-43] Официальные правила баскетбола 2014 Баскетбольное оборудование (PDF) . ФИБА . 2014. с. 12.

[FIFA-45] Законы игры: 2014-15 (PDF) . ФИФА . 2014. с. 15.

[FIVB-Indoor-46] Официальные правила волейбола: 2017–2020 (PDF) . ФИВБ . 2016. с. 16.

[FIVB-Beach-47] Официальные правила пляжного волейбола: 2017–2020 (PDF) . ФИВБ . 2017. с. 15.

[ITF-48] Утвержденные ITF теннисные мячи, классифицированные поверхности и признанные корты (PDF) . ITF . 2016. С. 4–5.

[ITTF-49] Справочник Международной федерации настольного тенниса (PDF) . ITTF . 2017. с. 24. Архивировано из оригинального (PDF) 24 апреля 2018 года . Проверено 20 октября 2017 .

[NBA-50] Официальные правила Национальной баскетбольной ассоциации: 2013–2014 (PDF) . НБА . 2013. с. 10.

[NFL-51] Официальные правила игры Национальной футбольной лиги (PDF) . НФЛ . 2016. с. 3.

[RA-USGA-52] Перейти ↑ Rubenstein, L. (11 мая 2002 г.). «Наконец-то попал в COR игры» . Глобус и почта . Проверено 27 января 2017 .

[Botelho2015-53] Botelho, G .; Кастильо, М. (11 мая 2015 г.). « ' Deflategate: ' Дисквалификация на 4 игры для Тома Брэди» . CNN . Проверено 27 января 2017 .

[Well2015-54] Ну, младший, телевидение; Карп, Б.С.; Рейснер, LL (2015). Отчет о расследовании в отношении футбольных мячей, использованных во время игры чемпионата AFC 18 января 2015 г. (PDF) . Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP .

[BaseballDigest1963-55] «Эволюция мяча» . Baseball Digest : 67. июль 1963 г.

[Sowell2011-56] Соуэлл, Т. (2011). «Мертвый мяч против живого мяча» . Читатель Томаса Соуэлла . Основные книги . ISBN 9780465022502.

[1]