В математической теории представлений , когерентность является свойством наборов символов , что позволяет направить изометрию от степени нуля подпространства пространства символов ко всему пространству. Общее понятие когерентности было развито Фейтом ( 1960 , 1962 ) как обобщение доказательства Фробениуса существования ядра Фробениуса у группы Фробениуса и работ Брауэра и Судзуки об исключительных характерах . Фейт и Томпсон (1963 , глава 3) развили согласованность при доказательстве теоремы Фейта – Томпсона о том, что всегруппы нечетного порядка разрешимы.
Определение
Предположим , что H является подгруппой конечной группы G и S множество неприводимых характеров от H . Напишите I ( S ) для множества целых линейных комбинаций S и I 0 ( S ) для подмножества элементов степени 0 I ( S ). Предположим , что τ изометрия от I 0 ( S ) для виртуальных персонажей степени 0 G . Тогда τ называется когерентным, если его можно продолжить до изометрии от I ( S ) до характеров G и I 0 ( S ) не равно нулю. Хотя, строго говоря, когерентность на самом деле является свойством изометрии τ, обычно говорят, что множество S когерентно, вместо того, чтобы говорить, что τ когерентно.
Теорема Фейта
Фейт доказал несколько теорем, дающих условия, при которых набор характеров согласован. Типичный из них следующий. Предположим, что H - подгруппа группы G с нормализатором N , такая что N - группа Фробениуса с ядром H , и пусть S - неприводимые характеры группы N , в ядре которых нет H. Предположим , что τ есть линейная изометрия от I 0 ( S ) в степени 0 символов G . Тогда τ когерентно, если
- либо H элементарная абелева группа, и N / H действует просто транзитивно на ее неединичных элементах (в этом случае I 0 ( S ) равно нулю)
- или H неабелева p -группа для некоторого простого числа p , порядок абелианизации которого не превосходит 4 | N / H | 2 +1.
Примеры
Если G является простой группы SL 2 ( Р 2 п ) при п > 1 и Н является силовской 2-подгруппой, с т индукции, то когерентность не выполняется для первой причины: Н является элементарной абелевой и Н / Н имеет порядок 2 п –1 и действует на него просто транзитивно.
Если G является простой Сузуки группа порядка (2 п -1) 2 2 п (2 2 п + 1) с п нечетно и п > 1 и Н является силовская 2-подгруппа и τ является индукция, то когерентность терпит неудачу для Вторая причина. Абелианизация H имеет порядок 2 n , а группа N / H имеет порядок 2 n –1.
Примеры
При доказательстве теории Фробениуса о существовании ядра группы Фробениуса G, где подгруппа H - это подгруппа, фиксирующая точку, а S - множество всех неприводимых характеров группы H , изометрия τ на I 0 ( S ) является просто индукция, хотя ее продолжение на I ( S ) не является индукцией.
Аналогично в теории исключительных характеров изометрия τ снова является индукцией.
В более сложных случаях изометрия τ перестает быть индукционной. Например, в теореме Фейта – Томпсона изометрия τ является изометрией Дейда .
Рекомендации
- Фейт, Вальтер (1960), "Об одном классе дважды транзитивных групп перестановок" , штат Иллинойс Журнал математики , 4 (2): 170-186, DOI : 10,1215 / IJM / 1255455862 , ISSN 0019-2082 , МР 0113953
- Фейт, Уолтер (1962), «Групповые персонажи. Исключительные персонажи» , в Холле, Маршалл (ред.), 1960 Институт конечных групп: проходил в Калифорнийском технологическом институте, Пасадена, Калифорния, 1 августа - 28 августа 1960 года , Proc. . Симпозиумы. Чистая математика, VI , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 67–70, ISBN 978-0-8218-1406-2, MR 0132779
- Фейт, Вальтер (1967), Характеры конечных групп , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, ISBN 9780805324341, MR 0219636
- Фейт, Вальтер ; Томпсон, Джон Г. (1963), " О разрешимости групп нечетного порядка" , Тихоокеанский журнал математики , 13 : 775-1029, DOI : 10,2140 / pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730 , МР 0166261