В математике полный набор инвариантов для задачи классификации представляет собой набор отображений
(где - это совокупность классифицируемых объектов с точностью до некоторого отношения эквивалентности , а - некоторые множества), так что тогда и только тогда, когда для всех . На словах, такие, что два объекта эквивалентны тогда и только тогда, когда все инварианты равны. [1]
Символически полный набор инвариантов - это набор карт, таких что
является инъективным .
Поскольку инварианты по определению равны на эквивалентных объектах, равенство инвариантов является необходимым условием эквивалентности; полный набор инвариантов является такое множество, что равенство из них является также достаточным для эквивалентности. В контексте действия группы это можно сформулировать так: инварианты - это функции коинвариантов (классы эквивалентности, орбиты), а полный набор инвариантов характеризует коинварианты (представляет собой набор определяющих уравнений для коинвариантов).
Примеры [ править ]
- В классификации двумерных замкнутых многообразий , эйлерова характеристика (или род ) и ориентируемость представляют собой полный набор инвариантов.
- Жорданова нормальная форма матрицы является полным инвариантом для матриц с точностью до сопряжения, но собственные значения (с кратностями) - нет.
Реализуемость инвариантов [ править ]
Полный набор инвариантов не сразу дает классификационную теорему : не все комбинации инвариантов могут быть реализованы. Символически необходимо также определить образ
Ссылки [ править ]
- ^ Фатикони, Теодор Г. (2006), «Модули и точечные топологические пространства», абелевы группы, кольца, модули и гомологическая алгебра , Lect. Примечания Pure Appl. . Математика, 249 , Chapman & Hall / CRC, Бока - Ратон, штат Флорида, с 87-105,. Дои : 10,1201 / 9781420010763.ch10 , MR 2229105. См., В частности, стр. 97 .