Поверхность (топология)
В той части математики, которая называется топологией , поверхность представляет собой двумерное многообразие . Некоторые поверхности возникают как границы трехмерных тел; например, сфера является границей сплошного шара. Другие поверхности возникают как графики функций двух переменных; см. рисунок справа. Однако поверхности также могут быть определены абстрактно, без привязки к какому-либо окружающему пространству. Например, бутылка Клейна — это поверхность, которую нельзя вложить в трехмерное евклидово пространство .
Топологические поверхности иногда снабжены дополнительной информацией, такой как риманова метрика или сложная структура, которая связывает их с другими дисциплинами математики, такими как дифференциальная геометрия и комплексный анализ . Различные математические понятия поверхности могут использоваться для моделирования поверхностей в физическом мире.
В математике поверхность — это геометрическая фигура , напоминающая деформированную плоскость . Наиболее знакомые примеры возникают как границы твердых объектов в обычном трехмерном евклидовом пространстве R 3 , таких как сферы . Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Как правило, в алгебраической геометрии поверхность может пересекаться (и может иметь другие особенности ), а в топологии и дифференциальной геометрии - нет.
Поверхность — это двумерное пространство ; это означает, что движущаяся точка на поверхности может двигаться в двух направлениях (у нее две степени свободы ). Другими словами, почти вокруг каждой точки есть координатный участок , на котором задана двумерная система координат . Например, поверхность Земли напоминает (в идеале) двумерную сферу , а широта и долгота дают на ней двумерные координаты (кроме полюсов и по 180-му меридиану ).
Понятие поверхности широко используется в физике , технике , компьютерной графике и многих других дисциплинах, прежде всего при представлении поверхностей физических объектов. Например, при анализе аэродинамических свойств самолета основное внимание уделяется потоку воздуха вдоль его поверхности.
( Топологическая ) поверхность — это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную некоторому открытому подмножеству евклидовой плоскости E 2 . Такая окрестность вместе с соответствующим гомеоморфизмом известна как (координатная) карта . Именно через эту карту окрестность наследует стандартные координаты на евклидовой плоскости. Эти координаты известны как локальные координаты , и эти гомеоморфизмы приводят нас к описанию поверхностей как локально евклидовых .
