Конформная сварка

В математике , конформные сварки ( швейная или склейка ) является процессом , в геометрической теории функций для получения риманова поверхности пути соединения вместе два поверхности Римана, каждый с диском удален, вдоль их граничных окружностей. Эта проблема может быть сведена к задаче поиска однолистных голоморфных отображений f , g единичного круга и его дополнения в расширенную комплексную плоскость, допускающих непрерывные расширения до замыкания своих областей, таких, что изображения являются дополнительными жордановыми областями и такими, что на единичной окружности они отличаются заданным квазисимметричным гомеоморфизмом. Несколько доказательств известно с использованием различных методик, в том числе уравнения Бельтров , ^[1] преобразование Гильберта на окружности ^[2] и элементарных методах аппроксимации. ^[3] Шэрон и Мамфорд (2006) описывают первые два метода конформной сварки, а также предоставляют численные расчеты и приложения для анализа форм на плоскости.

Сварка по уравнению Бельтрами [ править ]

Этот метод был впервые предложен Пфлюгером (1960) .

Если f - диффеоморфизм окружности, расширение Александера дает способ расширения f до диффеоморфизма единичного круга D :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F (г, \ тета) = р \ ехр [я \ пси (г) г (\ тета) + я (1- \ пси (г)) \ тета],}}$

где ψ - гладкая функция со значениями в [0,1], равными 0 около 0 и 1 около 1, и

${\ Displaystyle \ Displaystyle {е (е ^ {я \ тета}) = е ^ {ig (\ тета)},}}$

с g (θ + 2π) = g (θ) + 2π.

Расширение F можно продолжить на любой диск большего размера | z | < R с R > 1. Соответственно в блоке диска

${\ displaystyle \ displaystyle {\ | \ mu \ | _ {\ infty} <1, \, \, \, \ mu (z) = F _ {\ overline {z}} / F_ ​​{z}.}}$

Теперь расширим μ до коэффициента Бельтрами на всем C , установив его равным 0 для | z | ≥ 1. Пусть G - соответствующее решение уравнения Бельтрами:

${\displaystyle \displaystyle {G_{\overline {z}}=\mu G_{z}.}}$

Пусть F ₁ ( z ) = G ∘ F ⁻¹ ( z ) для | z | ≤ 1 и F ₂ ( z ) = G ( z ) для | z | ≥ 1. Таким образом, F ₁ и F ₂ - однолистные голоморфные отображения | z | <1 и | z | > 1 внутри и снаружи жордановой кривой. Они непрерывно продолжаются до гомеоморфизмов f _i единичной окружности на жорданову кривую на границе. По конструкции они подходят для конформной сварки. условие:

${\displaystyle \displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}}$

Сварка с использованием преобразования Гильберта на окружности [ править ]

Использование преобразования Гильберта для установления конформной сварки было впервые предложено грузинскими математиками Д.Г. Манджавидзе и Б.В. Хведелидзе в 1958 году. Подробное изложение было тогда же сделано Ф.Д. Гаховым и представлено в его классической монографии ( Гахов, 1990 ).

Пусть е _п (θ) = е ^{в θ} быть стандартным ортонормированный базис L ² ( Т ). Пусть H ² ( T ) быть Hardy пространство , замкнутое подпространство , натянутое на е _н с п ≥ 0. Пусть P быть ортогональной проекции на пространство Харди и установить T = 2 P - I . Оператор H = iT является преобразованием Гильберта на окружности и может быть записан как сингулярный интегральный оператор .

Для диффеоморфизма f единичной окружности задача состоит в том, чтобы определить две однолистные голоморфные функции

${\displaystyle \displaystyle {f_{-}(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots ,\,\,\,\,\,f_{+}(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots ,}}$

определено в | z | <1 и | z | > 1 и оба плавно продолжаются на единичную окружность, отображаясь на жордановую область и ее дополнение, так что

${\displaystyle \displaystyle {f_{-}(e^{i\theta })=f_{+}(f(e^{i\theta })).}}$

Пусть F - ограничение f ₊ на единичную окружность. Затем

${\displaystyle \displaystyle {TF=-F+2e^{i\theta }}}$

и

${\displaystyle \displaystyle {TF\circ f=F\circ f.}}$

Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {T(F\circ f)\circ f^{-1}-T(F)=2F-2e^{i\theta }.}}$

Если V ( е ) обозначает ограниченный обратимый оператор на L ² , индуцированный диффеоморфизм F , то оператор

${\displaystyle \displaystyle {K_{f}=V(f)PV(f)^{-1}-P}}$

компактно, действительно, оно задается оператором с гладким ядром, поскольку P и T задаются сингулярными интегральными операторами. Приведенное выше уравнение сводится к

${\displaystyle \displaystyle {(I-K_{f})F=e^{i\theta }.}}$

Оператор I - K _f является фредгольмовым оператором нулевого индекса. Он имеет нулевое ядро ​​и поэтому обратим. Фактически элемент в ядре будет состоять из пары голоморфных функций на D и D ^c, которые имеют гладкие граничные значения на окружности, связанные с помощью f . Поскольку голоморфная функция на D ^c обращается в нуль на ∞, положительные степени этой пары также дают решения, которые являются линейно независимыми, что противоречит тому факту, что I - K _f является фредгольмовым оператором. Таким образом, указанное выше уравнение имеет единственное решение Fкоторая является гладкой и по которой f _± может быть восстановлена, выполнив указанные выше шаги в обратном порядке. Действительно, глядя на уравнение, которому удовлетворяет логарифм производной F , следует, что F не имеет нулевой производной на единичной окружности. Более того, F взаимно однозначно на окружности, поскольку, если он принимает значение a в разных точках z ₁ и z _2, то логарифм R ( z ) = ( F ( z ) - a ) / ( z - z ₁ ) ( г -z ₂ ) удовлетворял бы интегральному уравнению, которое, как известно, не имеет ненулевых решений. С учетом этих свойств на единичной окружности требуемые свойства f _± вытекают из принципа аргумента . ^[4]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Pfluger, A. (1960), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc. , 24 : 401–412
• Lehto, O .; Виртанен К.И. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости , Springer-Verlag, p. 92
• Лехто О. (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера , Springer-Verlag, стр. 100–101, ISBN. 0-387-96310-3
• Sharon, E .; Мамфорд Д. (2006), "2-D анализ с помощью конформного отображения" (PDF) , Международный журнал Computer Vision , 70 : 55-75, DOI : 10.1007 / s11263-006-6121-г , в архиве с оригиналом ( PDF) на 03.08.2012 , дата обращения 01.07.2012.
• Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 0198533497