Уловка Александра

Уловка Александра , также известная как уловка Александра , является основным результатом геометрической топологии , названным в честь Дж . В. Александра .

Заявление [ править ]

Два гомеоморфзимов по п - мерный шар , который согласные на границе областей являются изотопными .${\ displaystyle D ^ {n}}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$

Вообще говоря, два гомеоморфизма D ⁿ , изотопные на границе, изотопны.

Доказательство [ править ]

Базовый случай : каждый гомеоморфизм, фиксирующий границу, изотопен тождеству относительно границы.

Если удовлетворяет , то изотопия, соединяющая f с единицей, задается формулой${\ displaystyle f \ двоеточие D ^ {n} \ to D ^ {n}}$${\ displaystyle f (x) = x {\ text {для всех}} x \ in S ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle J (x, t) = {\ begin {case} tf (x / t), & {\ text {if}} 0 \ leq \ | x \ | <t, \\ x, & {\ text {if}} t \ leq \ | x \ | \ leq 1. \ end {case}}}$

Визуально гомеоморфизм «распрямляется» от границы, «стискивая» к началу координат. Уильям Терстон называет это «расчесыванием всех путаниц в одну точку». В исходной 2-страничной статье Дж. В. Александер объясняет, что для каждого преобразования трансформация реплицируется в разном масштабе на диске с радиусом , поэтому разумно ожидать, что это слияние с идентичностью.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle J_ {t}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t \ rightarrow 0}$${\ displaystyle J_ {t}}$

Тонкость состоит в том , что at «исчезает»: зародыш в источнике «прыгает» от бесконечно растянутой версии к тождеству. Каждый из шагов в гомотопии можно было бы сгладить (сгладить переход), но гомотопия (общая карта) имеет особенность при . Это подчеркивает, что трюк Александера - это PL- конструкция, но не гладкая.${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\displaystyle (x,t)=(0,0)}$

Общий случай : изотопия на границе влечет изотопность

Если есть два гомеоморфизма, которые согласуются друг с другом , то тождество включено , так что у нас есть изотопия от тождества к . Тогда карта представляет собой изотопию от до .${\displaystyle f,g\colon D^{n}\to D^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle g^{-1}f}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle g^{-1}f}$${\displaystyle gJ}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

Радиальное расширение [ править ]

Некоторые авторы используют термин Александр уловку для утверждения , что каждый гомеоморфизм из может быть продолжен до гомеоморфизма всего шара .${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle D^{n}}$

Однако это намного легче доказать, чем рассмотренный выше результат: он называется радиальным расширением (или конусом) и также истинен кусочно-линейно , но не гладко.

Конкретно, пусть - гомеоморфизм, тогда${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle F\colon D^{n}\to D^{n}{\text{ with }}F(rx)=rf(x){\text{ for all }}r\in [0,1){\text{ and }}x\in S^{n-1}}$ определяет гомеоморфизм шара.

Экзотические сферы [ править ]

Неудачное радиальное растяжение и успех радиального растяжения ФЛ дают экзотические сферы через скрученные сферы .

См. Также [ править ]

• Сцепление конструкции

Ссылки [ править ]

• Хансен, Ван Лундсгаард (1989). Косы и покрывала: избранные темы . Тексты студентов Лондонского математического общества. 18 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511613098 . ISBN 0-521-38757-4. Руководство по ремонту  1247697 .
• Александр, JW (1923). «О деформации n- клетки» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 9 (12): 406–407. Полномочный код : 1923PNAS .... 9..406A . DOI : 10.1073 / pnas.9.12.406 .