Сцепление конструкции

В топологии , разделе математики, конструкция сцепления - это способ построения расслоений, в частности векторных расслоений на сферах.

Определение [ править ]

Рассмотрим сферу как объединение верхнего и нижнего полушарий, а вдоль их пересечения - экватор, ан .${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle D _ {+} ^ {n}}$${\ displaystyle D _ {-} ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {п-1}}$

Для тривиальных расслоений со слоем и структурной группой над двумя полушариями, а затем для карты (называемой сжимающей картой ) склейте два тривиальных расслоения вместе с помощью f .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f \ двоеточие S ^ {n-1} \ to G}$

Формально это уравнитель включений через и : склейте два пучка вместе на границе с поворотом.${\ displaystyle S ^ {n-1} \ times F \ to D _ {+} ^ {n} \ times F \ coprod D _ {-} ^ {n} \ times F}$${\ Displaystyle (х, v) \ mapsto (х, v) \ в D _ {+} ^ {n} \ раз F}$${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,f(x)(v))\in D_{-}^{n}\times F}$

Таким образом, у нас есть карта : сжатие информации на экваторе дает пучок волокон на всем пространстве.${\displaystyle \pi _{n-1}G\to {\text{Fib}}_{F}(S^{n})}$

В случае векторных расслоений это дает , и действительно, это отображение является изоморфизмом (при соединении суммы сфер справа).${\displaystyle \pi _{n-1}O(k)\to {\text{Vect}}_{k}(S^{n})}$

Обобщение [ править ]

Выше , могут быть обобщены путем замены и с любой замкнутой триады , то есть пространство , X , вместе с двумя замкнутых подмножеств A и B , объединение которых Х . Тогда сжимая карту на дает векторное расслоение на X .${\displaystyle D_{\pm }^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle A\cap B}$

Построение классификационной карты [ править ]

Пусть - расслоение со слоем . Позвольте быть набор пар , что является локальной тривиализацией над . Кроме того, мы требуем, чтобы объединение всех множеств является (то есть коллекция Атлас тривиализаций ). ${\displaystyle p\colon M\to N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (U_{i},q_{i})}$${\displaystyle q_{i}\colon p^{-1}(U_{i})\to N\times F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U_{i}\subset N}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}=N}$

Рассмотрим пространство по модулю, отношение эквивалентности эквивалентно тогда и только тогда, когда и . По замыслу, локальные тривиализации дают послойную эквивалентность между этим фактор-пространством и расслоением .${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times F}$${\displaystyle (u_{i},f_{i})\in U_{i}\times F}$${\displaystyle (u_{j},f_{j})\in U_{j}\times F}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j},f_{j})=(u_{i},f_{i})}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p}$

Рассмотрим пространство по модулю отношения эквивалентности, эквивалентное тому и только тогда, когда и рассматриваем его как отображение, тогда мы требуем этого . То есть, при реконструкции слоя мы заменяем слой топологической группой гомеоморфизмов слоя . Если известно, что структурная группа пакета сокращается, вы можете заменить ее сокращенной структурной группой. Это расслоение поверх слоя и является главным расслоением. Обозначим его . Отношение к предыдущему пучка индуцируется из главного расслоения: . ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle (u_{i},h_{i})\in U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle (u_{j},h_{j})\in U_{j}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}}$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}:U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j})(h_{j})=h_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle p\colon M_{p}\to N}$${\displaystyle (M_{p}\times F)/\operatorname {Homeo} (F)=M}$

Итак, у нас есть основная связка . Теория классифицирующих пространств дает нам индуцированное прямое расслоение, где - классифицирующее пространство . Вот схема:${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)\to M_{p}\to N}$${\displaystyle M_{p}\to N\to B(\operatorname {Homeo} (F))}$${\displaystyle B(Homeo(F))}$${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$

Дано -главное расслоение , рассмотрим пространство . Это пространство представляет собой расслоение двумя способами:${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG}$

1) Проект на первый множитель: . Слой в данном случае - это стягиваемое пространство по определению классифицирующего пространства. ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to M_{p}/G=N}$${\displaystyle EG}$

2) Проект на второй фактор: . Волокно в данном случае есть . ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to EG/G=BG}$${\displaystyle M_{p}}$

Таким образом, у нас есть расслоение . Это отображение называется классифицирующим отображением расслоения, поскольку 1) основное расслоение является обратным направлением расслоения вдоль классифицирующего отображения и 2) расслоение индуцируется из главного расслоения, как указано выше.${\displaystyle M_{p}\to N\simeq M_{p}\times _{G}EG\to BG}$${\displaystyle p\colon M\to N}$${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$${\displaystyle G\to EG\to BG}$${\displaystyle p}$

Контраст со скрученными сферами [ править ]

Скрученные сферы иногда называют конструкцией "сцепляющего типа", но это вводит в заблуждение: конструкция сцепления правильно связана с пучками волокон.

• В скрученных сферах вы склеиваете две половинки по их границе. Половинки априори отождествляются (со стандартным шаром ), а точки на граничной сфере, как правило, не переходят в соответствующие им точки на другой граничной сфере. Это карта : склейка в базе нетривиальна.${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$
• В конструкции сцепления вы склеиваете два пучка вместе по границе их базовых полусфер. Граничные сферы склеиваются посредством стандартной идентификации: каждая точка переходит в соответствующую, но каждое волокно имеет изгиб. Это карта : склейка тривиальна в основе, но не в слоях.${\displaystyle S^{n-1}\to G}$

Примеры [ править ]

Конструкция сцепления используется для формирования хиральной аномалии путем склеивания пары форм самодвойственной кривизны. Такие формы локально точны на каждом полушарии, так как являются дифференциалами 3-формы Черна-Саймонса ; склеивая их вместе, форма кривизны больше не является точной в глобальном масштабе (и, следовательно, имеет нетривиальную гомотопическую группу )${\displaystyle \pi _{3}.}$

Подобные конструкции можно найти для различных инстантонов , включая модель Весса – Зумино – Виттена .

См. Также [ править ]

• Александр трюк

Ссылки [ править ]

• Незавершенная книга Аллена Хэтчера Vector Bundles & K-Theory version 2.0, p. 22.