Хиральная аномалия

В теоретической физике , киральная аномалия является аномальным несохранением из хирального тока. В повседневных терминах это эквивалентно запечатанной коробке, в которой было одинаковое количество левых и правых болтов , но при открытии оказалось, что их больше левых, чем правых, или наоборот.

Ожидается, что такие события будут запрещены в соответствии с классическими законами сохранения , но мы знаем, что должны быть способы их нарушения, потому что у нас есть доказательства несохранения зарядовой четности («нарушение СР») . Возможно, что другие дисбалансы были вызваны нарушением такого закона хиральности . Многие физики подозревают, что тот факт, что наблюдаемая Вселенная содержит больше вещества, чем антивещества , вызван киральной аномалией. ^[1] Исследование законов нарушения киральной симметрии в настоящее время является одним из основных направлений исследований физики элементарных частиц.

Неформальное введение [ править ]

Распад нейтрального пиона, вызванный аномалией. Это однопетлевая диаграмма Фейнмана . Муфта является псевдоскаляр муфты; два фотона соединяются как векторы. Треугольник суммирует по всем поколениям лептонов.${\ displaystyle \ pi ^ {0} \ to \ gamma \ gamma ~.}$${\ displaystyle \ pi ^ {0}}$

Хиральная аномалия первоначально относились к аномальной скорости распада от нейтрального пиона , вычисленные в алгебре токов в хиральной модели . Эти расчеты показали, что распад пиона подавлен, что явно противоречит экспериментальным результатам. Природа аномальных расчетов была впервые объяснена Адлером ^[2] и Беллом и Джекивом. ^[3] Это теперь называется Adler-Bell-Джакив аномалию в квантовой электродинамике . ^{[4] [5]} Это симметрия классической электродинамики, которая нарушается квантовыми поправками.

Аномалия Адлера – Белла – Джекива возникает следующим образом. Если рассматривать классическую (неквантованную) теорию электромагнетизма, связанную с фермионами (электрически заряженные спиноры Дирака, решающие уравнение Дирака ), можно ожидать, что будет не один, а два сохраняющихся тока : обычный электрический ток ( векторный ток ), описанный полем Дирака, а также аксиальным током. Переходя от классической теории к квантовой, можно вычислить квантовые поправки к этим токам; в первом порядке это однопетлевые диаграммы Фейнмана . Они, как известно, расходятся и требуют${\ displaystyle j ^ {\ mu} = {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$ ${\ displaystyle j_ {5} ^ {\ mu} = {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi ~.}$ регуляризация, которая будет применяться, чтобы получить перенормированные амплитуды. Чтобы перенормировка была содержательной, когерентной и непротиворечивой, регуляризованные диаграммы должны подчиняться тем же симметриям, что и нулевые (классические) амплитуды. Это относится к векторному току, но не к осевому току: его нельзя регулировать таким образом, чтобы сохранить осевую симметрию. Осевая симметрия классической электродинамики нарушается квантовыми поправками. Формально тождества Уорда – Такахаши квантовой теории вытекают из калибровочной симметрии электромагнитного поля; соответствующие тождества для осевого тока нарушены.

В то время, когда аномалия Адлера-Белла-Джекива исследовалась в физике, в дифференциальной геометрии произошли связанные с ней разработки, которые, по-видимому, включали такие же выражения. Они никоим образом не были связаны с квантовыми поправками какого-либо рода, а скорее были исследованием глобальной структуры пучков волокон и, в частности, операторов Дирака на спиновых структурах, имеющих форму кривизны, напоминающую форму кривизны электромагнитного тензора , как в четырех и три измерения ( теория Черна – Саймонса ). После долгих размышлений стало ясно, что структуру аномалии можно описать связками с нетривиальнымгомотопическая группа , или, на физическом жаргоне, в терминах инстантонов .

Инстантоны - это форма топологического солитона ; они являются решением классической теории поля, обладая тем свойством, что они устойчивы и не могут распадаться (например, на плоские волны ). Иными словами: традиционная теория поля построена на идее вакуума.- грубо говоря, ровное пустое пространство. Классически это «тривиальное» решение; все поля исчезают. Однако можно также расположить (классические) поля так, чтобы они имели нетривиальную глобальную конфигурацию. Эти нетривиальные конфигурации также являются кандидатами на роль вакуума, пустого пространства; все же они больше не плоские или тривиальные; они содержат твист, инстантон. Квантовая теория способна взаимодействовать с этими конфигурациями; когда это происходит, это проявляется как киральная аномалия.

В математике нетривиальные конфигурации обнаруживаются при изучении операторов Дирака в их полностью обобщенном виде, а именно на римановых многообразиях в произвольной размерности. Математические задачи включают поиск и классификацию структур и конфигураций. Известные результаты включают теорему Атьи – Зингера об индексе для операторов Дирака. Грубо говоря, симметрии пространства-времени Минковского , лоренц-инвариантность , лапласианы , операторы Дирака и расслоения U (1) xSU (2) xSU (3) можно рассматривать как частный случай гораздо более общей ситуации в дифференциальной геометрии.; изучение различных возможностей составляет большую часть волнений в таких теориях, как теория струн ; богатство возможностей объясняет определенное ощущение отсутствия прогресса.

Аномалия Адлера – Белла – Джекива наблюдается экспериментально в том смысле, что она описывает распад нейтрального пиона и, в частности, ширину распада нейтрального пиона на два фотона . Сам нейтральный пион был открыт в 1940-х годах; скорость его распада (ширина) была правильно оценена Дж. Штейнбергером в 1949 году. ^[6] Правильная форма аномальной расходимости аксиального тока получена Швингером в 1951 году в 2D-модели электромагнетизма и безмассовых фермионов. ^[7] То, что распад нейтрального пиона подавляется в текущем алгебраическом анализе киральной модели , было получено Сазерлендом и Велтманом в 1967 году. ^{[8] [9]}Анализ и разрешение этого аномального результата предоставлены Адлером ^[2] и Bell & Jackiw ^[3] в 1969 году. Общая структура аномалий обсуждается Бардином в 1969 году ^[10].

Кварковой модели пиона указывает на то, что это связанное состояние кварка и анти-кварка. Однако квантовые числа , включая четность и угловой момент, которые считаются сохраняющимися, запрещают распад пиона, по крайней мере, в расчетах с нулевым контуром (попросту амплитуды равны нулю). Если кварки считаются массивными, не безмассовый, то допускается распад с нарушением хиральности ; однако он не того размера. (Хиральность не является константой движения массивных спиноров; они будут менять хиральность по мере своего распространения, и поэтому масса сама по себе является термином, нарушающим киральную симметрию. Вклад массы определяется результатом Сазерленда и Велтмана; он называется " PCAC », частично сохраняющийся осевой ток.) Анализ Адлера – Белла – Джекива, проведенный в 1969 г. (а также более ранние формы Штейнбергера и Швингера), действительно дает правильную ширину распада нейтрального пиона.

Помимо объяснения распада пиона, он играет вторую очень важную роль. Амплитуда одной петли включает фактор, который подсчитывает общее количество лептонов, которые могут циркулировать в петле. Чтобы получить правильную ширину распада, нужно иметь ровно три поколения кварков, а не четыре или более. Таким образом, он играет важную роль в ограничении Стандартной модели . Он обеспечивает прямое физическое предсказание количества кварков, которые могут существовать в природе.

Современные исследования сосредоточены на подобных явлениях в различных условиях, включая нетривиальные топологические конфигурации электрослабой теории , то есть сфалероны . Другие приложения включают гипотетическое несохранение барионного числа в GUTS и других теориях.

Общее обсуждение [ править ]

В некоторых теориях фермионов с хиральной симметрией , то квантование может привести к нарушению этого (глобальной) хиральной симметрии. В этом случае заряд, связанный с киральной симметрией, не сохраняется. Несохранение происходит в процессе туннелирования из одного вакуума в другой. Такой процесс называется инстантоном .

В случае симметрии, связанной с сохранением числа фермионных частиц , рождение таких частиц можно понять следующим образом. Определение частицы различается в двух состояниях вакуума, между которыми происходит туннелирование; поэтому состояние отсутствия частиц в одном вакууме соответствует состоянию с некоторыми частицами в другом вакууме. В частности, существует море фермионов Дирака, и когда такое туннелирование происходит, оно вызывает постепенное смещение уровней энергии морских фермионов вверх для частиц и вниз для античастиц, или наоборот. Это означает, что частицы, которые когда-то принадлежали морю Дирака, становятся реальными частицами (положительной энергии), и происходит их создание.

Технически, в пути интегральной формулировке , аномальная симметрия является симметрией действия , но не в мере ц и , следовательно , не из производящего функционала${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ int \! {\ exp (я {\ mathcal {A}} / \ hbar) ~ \ mathrm {d} \ mu}}$

квантованной теории ( ℏ этого действия-кванты Планка, деленные на 2 П ). Мера состоит из части, зависящей от поля фермионов, и части, зависящей от его комплексного сопряжения . Преобразования обеих частей при киральной симметрии в общем случае не сокращаются. Обратите внимание, что если это фермион Дирака , то киральная симметрия может быть записана как где - киральная гамма-матрица, действующая на . Из формулы для одного видит явно , что в классическом пределе , ℏ → 0, аномалии не вступают в игру, так как в этом пределе только экстремумы${\ displaystyle d \ mu}$${\displaystyle [\mathrm {d} \psi ]}$${\displaystyle [\mathrm {d} {\bar {\psi }}]}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi }$${\displaystyle \gamma ^{5}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ остаются актуальными.

Аномалия пропорциональна инстантонному числу калибровочного поля, с которым связаны фермионы. (Обратите внимание, что калибровочная симметрия всегда не аномальна и строго соблюдается, что требуется для согласованности теории.)

Расчет [ править ]

Киральная аномалия может быть точно рассчитана с помощью однопетлевых диаграмм Фейнмана , например «треугольной диаграммы» Штейнбергера, вносящей вклад в распады пионов , и . Амплитуда этого процесса может быть вычислена непосредственно по изменению меры фермионных полей при киральном преобразовании.${\displaystyle \pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma }$

Весс и Зумино разработали набор условий того, как статистическая сумма должна вести себя при калибровочных преобразованиях, которые называются условием согласованности Весса – Зумино .

Фудзикава вывел эту аномалию, используя соответствие между функциональными детерминантами и статистической суммой, используя теорему Атьи – Зингера об индексе . См . Метод Фудзикавы .

Пример: несохранение барионного числа [ править ]

Стандартная модель электрослабых взаимодействий имеет все необходимые ингредиенты для успешного бариогенеза , хотя эти взаимодействия никогда не наблюдались ^[11] и могут быть недостаточными для объяснения полного барионного числа наблюдаемой Вселенной, если начальное барионное число Вселенной в то время Большого взрыва равна нулю. За нарушение зарядового сопряжения и СР - нарушения (заряд + четности), барионного появляется нарушение заряда через Adler-Bell-Джэкивом аномалия в группе.${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CP}$${\displaystyle U(1)}$

Барионы не сохраняются обычными электрослабыми взаимодействиями из-за квантовой киральной аномалии. Классический электрослабый лагранжиан сохраняет барионный заряд. Кварки всегда входят в билинейные комбинации , так что кварк может исчезнуть только при столкновении с антикварком. Другими словами, классический барионный ток сохраняется:${\displaystyle q{\bar {q}}}$${\displaystyle J_{\mu }^{B}}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.}$

Однако квантовые поправки, известные как сфалерон, разрушают этот закон сохранения : вместо нуля в правой части этого уравнения есть ненулевой квантовый член,

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a},}$

где C - числовая постоянная, обращающаяся в нуль при ℏ = 0,

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},}$

а величина калибровочного поля дается выражением${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.}$

Электрослабые сфалероны могут изменять барионное и / или лептонное число только на 3 или кратное 3 (столкновение трех барионов на три лептона / антилептона и наоборот).

Важным фактом является то, что аномальное несохранение тока пропорционально полной производной векторного оператора (это не обращается в нуль из-за инстантонных конфигураций калибровочного поля, которые являются чисто калибровочными на бесконечности), где аномальный ток является${\displaystyle G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }}$${\displaystyle K_{\mu }}$

${\displaystyle K_{\mu }=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),}$

которое является двойственным по Ходжу к 3-форме Черна – Саймонса .

Геометрическая форма [ править ]

На языке дифференциальных форм любой форме самодвойственной кривизны можно сопоставить абелеву 4-форму . Теория Черна – Вейля показывает, что эта 4-форма является локально, но не глобально точной, с потенциалом, задаваемым 3-формой Черна – Саймонса локально:${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle \langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle :=\operatorname {tr} \left(F_{A}\wedge F_{A}\right)}$

${\displaystyle d\mathrm {CS} (A)=\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle }$.

Опять же, это верно только для одного графика и неверно для глобальной формы, если только инстантонное число не обращается в нуль.${\displaystyle \langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$

Для того, чтобы идти дальше, мы придаем «точка в бесконечности» K на доходности , а также использовать конструкцию ремня в системах сцепления , чтобы наметить основные A-связки с одной карты на окрестности к и второй на . Утолщение вокруг k , где эти диаграммы пересекаются, тривиально, поэтому их пересечение существенно . Таким образом, инстантоны классифицируются по третьей гомотопической группе , которая является просто третьей группой 3-сфер .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S^{4}}$${\displaystyle S^{4}-k}$${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(A)}$${\displaystyle A=\mathrm {SU(2)} \cong S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{3})=\mathbb {N} }$

Дивергенция тока барионного числа составляет (без учета числовых констант)

${\displaystyle \mathbf {d} \star j_{b}=\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$,

а инстантонное число равно

${\displaystyle \int _{S^{4}}\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle \in \mathbb {N} }$.

См. Также [ править ]

• Аномалия (физика)
• Глобальная аномалия
• Гравитационная аномалия
• Сильная проблема CP

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Опубликованные статьи [ править ]

• Фрэмптон, PH; Kephart, TW (1983). «Явная оценка аномалий в более высоких измерениях». Письма с физическим обзором . 50 (18): 1343–1346. Bibcode : 1983PhRvL..50.1343F . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.50.1343 .
• Фрэмптон, PH; Kephart, TW (1983). «Анализ аномалий в высших измерениях пространства-времени». Физический обзор . D28 (4): 1010–1023. Bibcode : 1983PhRvD..28.1010F . DOI : 10.1103 / PhysRevD.28.1010 .
• Gozzi, E .; Mauro, D .; Сильвестри, А. (2004). «Хиральные аномалии с помощью классических и квантовых функциональных методов». Международный журнал современной физики А . 20 (20–21): 5009. arXiv : hep-th / 0410129 . Bibcode : 2005IJMPA..20.5009G . DOI : 10.1142 / S0217751X05025085 . S2CID  15616630 .
• Белый, AR (2004). «Электрослабое рассеяние высоких энергий и киральная аномалия». Physical Review D . 69 (9): 096002. arXiv : hep-ph / 0308287 . Bibcode : 2004PhRvD..69i6002W . DOI : 10.1103 / PhysRevD.69.096002 . S2CID  10863873 .
• Ян, Ж.-Ф. (2004). «Следите за аномалиями и киральными тождествами Уорда». Письма китайской физики . 21 (5): 792–794. arXiv : hep-ph / 0403173 . Bibcode : 2004ChPhL..21..792Y . DOI : 10,1088 / 0256-307X / 21/5/008 . S2CID  119021732 .
• Csörg, T .; Vértesi, R .; Шиклай, Дж. (2010). «Косвенное наблюдение уменьшения массы η ′ в среде при √ s _NN = 200 ГэВ столкновениях Au + Au». Письма с физическим обзором . 105 (18): 182301. arXiv : 0912.5526 . Bibcode : 2010PhRvL.105r2301C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.105.182301 . PMID  21231099 . S2CID  9011271 .
• АлМасри, МВ (2019). «Аксиальная аномалия в некоммутативной КЭД и регуляризации Паули – Вилларса». Международный журнал современной физики А . 34 (26). arXiv : 1909.10280 . Bibcode : 2019IJMPA..3450150A . DOI : 10.1142 / S0217751X19501501 . S2CID  202719219 .

Учебники [ править ]

• Fujikawa, K .; Судзуки, Х. (2004). Интегралы по траекториям и квантовые аномалии . Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-852913-2.
• Вайнберг, С. (2001). Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55002-4.

Препринты [ править ]

• Ян, Ж.-Ф. (2003). «Следы и хиральные аномалии в КЭД и лежащая в их основе интерпретация теории». arXiv : hep-ph / 0309311 .