Экзотическая сфера

В области математики, называемой дифференциальной топологией , экзотическая сфера — это дифференцируемое многообразие M , которое гомеоморфно , но не диффеоморфно стандартной евклидовой n -сфере . То есть М есть сфера с точки зрения всех ее топологических свойств, но несущая не привычную намгладкую структуру (отсюда и название «экзотическая»).

Первые экзотические сферы были построены Джоном Милнором ( 1956 ) в размерности as - расслоений над . Он показал, что на 7-сфере существует не менее 7 дифференцируемых структур. В любой размерности Милнор (1959) показал, что классы диффеоморфизмов ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелева моноида относительно связной суммы, который является конечной абелевой группой , если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер Мишеля Кервер и Милнор ( 1963 ) показали, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами ${\ Displaystyle п = 7}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle S ^ {4}}$ циклическая группа порядка 28 по операции связной суммы .

Единица n -сфера, , это множество всех ( n +1)-наборов действительных чисел, таких, что сумма . Например, это круг, а это поверхность обычного шара радиуса один в 3 измерениях. Топологи считают пространство X n-сферой, если между ними существует гомеоморфизм , т. е. каждая точка в X может быть поставлена в соответствие ровно одной точке единичной n -сферы в бинепрерывной (т. е. непрерывной и обратимой с непрерывным обратным ) манера. Например, точка x на n -сфере радиуса r ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ Displaystyle (х_ {1}, х_ {2}, \ ldots, х_ {п + 1})}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ можно сопоставить с точкой на единичной n -сфере, изменив ее расстояние от начала координат на . Точно так же n -куб любого радиуса можно непрерывно преобразовать в n -сферу. ${\ Displaystyle 1 / г}$