Проблема вложения Конна

Проблема вложения Конна , сформулированная Аленом Конном в 1970-х годах, является основной проблемой теории алгебр фон Неймана . За это время проблема была переформулирована в нескольких различных областях математики. Дэн Войкулеску, развивая свою теорию свободной энтропии, обнаружил, что проблема вложения Конна связана с существованием микросостояний. Некоторые результаты теории алгебр фон Неймана могут быть получены в предположении положительного решения проблемы. Проблема связана с некоторыми основными вопросами квантовой теории, которые привели к осознанию того, что она также имеет важное значение в информатике.

Задача допускает ряд эквивалентных постановок. ^[1] Примечательно, что это эквивалентно следующим давним проблемам:

Гипотеза Кирхберга о QWEP в теории C * -алгебр
Проблема Цирельсона в квантовой теории информации
Предвойство любой (сепарабельной) алгебры фон Неймана конечно представимо в классе следов.

В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэн объявили о результате квантовой теории сложности ^[2], который подразумевает отрицательный ответ на проблему вложения Конна. ^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

Заявление [ править ]

Пусть - свободный ультрафильтр на натуральных числах и пусть R - гиперконечный фактор типа II ₁ со следом . Ультрастепень можно построить следующим образом: пусть - алгебра фон Неймана ограниченных по норме последовательностей и пусть . Фактор оказывается фактором II ₁ со следом , где - любая репрезентативная последовательность . $\omega$ $\tau$ $R^{\omega }$ $l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}$ $I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}$ $R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }$ $\tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })$ $(x_{n})_{n}$ $x$

Проблема вложения Конна спрашивает, может ли каждый фактор типа II ₁ на сепарабельном гильбертовом пространстве быть вложен в некоторый . $R^{\omega }$

Положительное решение проблемы будет означать, что инвариантные подпространства существуют для большого класса операторов в II-1-факторах ( Уффе Хаагеруп ); все счетные дискретные группы гиперлинейны . Положительное решение проблемы будет подразумеваться равенством между свободной энтропией и свободной энтропией, определяемой микросостоянием ( Дэн Войкулеску ). В январе 2020 года группа исследователей ^[2] заявила, что решила проблему отрицательно, т. Е. Существуют факторы фон Неймана типа II _1, которые не входят в сверхмощность фактора гиперконечного II ₁ . $\chi ^{*}$ $R^{\omega }$

Класс изоморфизма не зависит от ультрафильтра тогда и только тогда, когда гипотеза континуума верна (Ге-Хадвин и Фара-Харт-Шерман), но такое свойство вложения не зависит от ультрафильтра, поскольку алгебры фон Неймана, действующие на сепарабельных гильбертовых пространствах грубо говоря, очень маленькие. $R^{\omega }$

Задача допускает ряд эквивалентных постановок. ^[1]

Конференции, посвященные проблеме вложения Конна [ править ]

Проблема вложения Конна и семинар по квантовой теории информации; Университет Вандербильта в Нэшвилле, Теннесси; 1-7 мая 2020 г. ( отложено; уточняется )
Многогранная проблема вложения Конна; BIRS, Канада; 14-19 июля 2019 г.
Зимняя школа: проблема вложения Конна и квантовая теория информации; Университет Осло, 7-11 января 2019 г.
Практикум по софическим и гиперлинейным группам и гипотезе Конна вложения; UFSC Флорианополис, Бразилия; 10-21 июня 2018 г.
Аппроксимационные свойства в операторных алгебрах и эргодическая теория; UCLA; 30 апреля - 5 мая 2018 г.
Операторные алгебры и квантовая теория информации; Институт Анри Пуанкаре, Париж; Декабрь 2017 г.
Практикум по операторным пространствам, гармоническому анализу и квантовой вероятности; ICMAT, Мадрид; 20 мая - 14 июня 2013 г.
Полевой семинар по проблеме вложения Конна - Университет Оттавы, 16–18 мая 2008 г.

Ссылки [ править ]

^ ^а б Хэдвин, Дон (2001). «Проблема некоммутативных моментов» . Труды Американского математического общества . 129 (6): 1785–1791. DOI : 10.1090 / S0002-9939-01-05772-0 . JSTOR 2669132 .
^ а б Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (2020). «MIP * = RE». arXiv : 2001.04383 . Bibcode : 2020arXiv200104383J . Cite journal requires |journal= (help)
Перейти ↑ Castelvecchi, Davide (2020). «Насколько« жуткая »квантовая физика? Ответ может быть непредсказуемым» . Природа . 577 (7791): 461–462. DOI : 10.1038 / d41586-020-00120-6 .
^ Калай, Gil (2020-01-17). «Удивительно: Чжэнфэн Цзи, Ананд Натараджан, Томас Видик, Джон Райт и Генри Юэн доказали, что MIP * = RE и таким образом опровергли гипотезу о вложении Конна 1976 года, и дали отрицательный ответ на проблему Цирельсона» . Комбинаторика и многое другое . Проверено 6 марта 2020 .
^ Barak, Боаз (2020-01-14). «MIP * = RE, опровергая гипотезу Конна о вложении» . Окна по теории . Проверено 6 марта 2020 .
↑ Ааронсон, Скотт (16 января 2020 г.). «MIP * = RE» . Штетл-Оптимизированный . Проверено 6 марта 2020 .
^ Regan, Kenneth W. (2020-01-15). «Остановка - это квантовая доказуемость поливремени» . Потерянное письмо Гёделя и P = NP . Проверено 6 марта 2020 .
^ Видик, Томас (2020-01-14). «Мастерский проект» . MyCQstate . Проверено 6 марта 2020 .
^ Хартнетт, Кевин. «Достопримечательности компьютерных наук, доказывающие, что они проходят через физику и математику» . Журнал Quanta . Проверено 9 марта 2020 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Капраро, Валерио (2010). "Обзор по гипотезе Конна вложения". arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
Farah, I .; Hart, B .; Шерман, Д. (2013). «Модельная теория операторных алгебр I: устойчивость». Бюллетень Лондонского математического общества . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . DOI : 10.1112 / БЛМ / bdt014 .
Ge; Хэдвин (2001). «Ультрапроизведения C * -алгебр». Опер. Теория Adv. Прил . 127 : 305–326. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-8374-0_17 .
Коллинз, Бенуа; Дайкема, Кен (2008). «Линеаризация проблемы вложения Конна» (PDF) . Нью-Йоркский математический журнал . 14 : 617–641.
Шерман, Дэвид (2008). "Заметки об автоморфизмах сверхспособностей факторов II 1 " (PDF) . Департамент математики Университета Вирджинии. arXiv : 0809.4439 . Cite journal requires |journal= (help)
Пизье, Жиль . «Тензорные произведения C * -алгебр и операторных пространств: проблема Конна-Кирхберга» (PDF) . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[cep-1] а б Хэдвин, Дон (2001). «Проблема некоммутативных моментов» . Труды Американского математического общества . 129 (6): 1785–1791. DOI : 10.1090 / S0002-9939-01-05772-0 . JSTOR 2669132 .

[Videck-2] а б Цзи, Чжэнфэн; Натараджан, Ананд; Видик, Томас; Райт, Джон; Юэнь, Генри (2020). «MIP * = RE». arXiv : 2001.04383 . Bibcode : 2020arXiv200104383J . Cite journal requires |journal= (help)

[3] Перейти ↑ Castelvecchi, Davide (2020). «Насколько« жуткая »квантовая физика? Ответ может быть непредсказуемым» . Природа . 577 (7791): 461–462. DOI : 10.1038 / d41586-020-00120-6 .

[4] Калай, Gil (2020-01-17). «Удивительно: Чжэнфэн Цзи, Ананд Натараджан, Томас Видик, Джон Райт и Генри Юэн доказали, что MIP * = RE и таким образом опровергли гипотезу о вложении Конна 1976 года, и дали отрицательный ответ на проблему Цирельсона» . Комбинаторика и многое другое . Проверено 6 марта 2020 .

[5] Barak, Боаз (2020-01-14). «MIP * = RE, опровергая гипотезу Конна о вложении» . Окна по теории . Проверено 6 марта 2020 .

[6] Ааронсон, Скотт (16 января 2020 г.). «MIP * = RE» . Штетл-Оптимизированный . Проверено 6 марта 2020 .

[7] Regan, Kenneth W. (2020-01-15). «Остановка - это квантовая доказуемость поливремени» . Потерянное письмо Гёделя и P = NP . Проверено 6 марта 2020 .

[8] Видик, Томас (2020-01-14). «Мастерский проект» . MyCQstate . Проверено 6 марта 2020 .

[9] Хартнетт, Кевин. «Достопримечательности компьютерных наук, доказывающие, что они проходят через физику и математику» . Журнал Quanta . Проверено 9 марта 2020 .

[1]