Случайное блуждание в непрерывном времени

В математике случайное блуждание в непрерывном времени ( CTRW ) - это обобщение случайного блуждания, при котором блуждающая частица ждет случайное время между прыжками. Это стохастический процесс скачка с произвольным распределением длин скачка и времени ожидания. ^{[1] [2] [3] В} более общем плане это можно рассматривать как частный случай процесса марковского восстановления .

Мотивация [ править ]

CTRW был введен Монтроллом и Вейссом ^[4] как обобщение процесса физической диффузии для эффективного описания аномальной диффузии , т. Е. Супер- и субдиффузионных случаев. Эквивалентная формулировка CTRW дается обобщенными основными уравнениями . ^[5] Была установлена ​​связь между CTRW и уравнениями диффузии с дробными производными по времени. ^[6] Аналогично, уравнения фракционной диффузии во времени и пространстве могут рассматриваться как CTRW с непрерывно распределенными скачками или как континуальные приближения CTRW на решетках. ^[7]

Формулировка [ править ]

Простая формулировка CTRW заключается в рассмотрении случайного процесса, определяемого формулой${\ Displaystyle X (т)}$

${\ Displaystyle X (t) = X_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {N (t)} \ Delta X_ {i},}$

чьи приращения представляют собой iid случайные величины, принимающие значения в области, а количество переходов в интервале . Вероятность того, что процесс принимает значение во времени , тогда определяется выражением${\ displaystyle \ Delta X_ {i}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle N (т)}$${\ displaystyle (0, t)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle P (X, t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P (n, t) P_ {n} (X).}$

Вот вероятность того, что процесс принимает значение после скачков, и - это вероятность того, что скачки будут после времени .${\ displaystyle P_ {n} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle P (п, т)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t}$

Формула Монтролла – Вайса [ править ]

Обозначим время ожидания между двумя скачками и его распределением. Преобразование Лапласа от определяется${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle N (т)}$${\ Displaystyle \ пси (\ тау)}$${\ Displaystyle \ пси (\ тау)}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ psi}} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ tau \, e ^ {- \ tau s} \ psi (\ tau).}$

Точно так же характеристическая функция распределения скачка задается его преобразованием Фурье :${\ Displaystyle f (\ Delta X)}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (k) = \ int _ {\ Omega} d (\ Delta X) \, e ^ {ik \ Delta X} f (\ Delta X).}$

Можно показать, что преобразование вероятности Лапласа – Фурье имеет вид${\ Displaystyle P (X, t)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {P}}} (k, s) = {\ frac {1 - {\ tilde {\ psi}} (s)} {s}} {\ frac {1} {1 - {\ tilde {\ psi}} (s) {\ hat {f}} (k)}}.}.$

Вышеизложенное называется формулой Монтролла - Вайсса .

Примеры [ править ]

Однородна точечный процесс Пуассона является время непрерывной случайной прогулки с экспоненциальной раза удерживающими и с каждым приращением детерминировано , равным 1.

Ссылки [ править ]