Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( март 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Непрерывная игра является математическим понятием, используемым в теории игр , которая обобщает идею обычной игры , как крестики-нолики (крестики) и кресты или шашки (шашки). Другими словами, он расширяет понятие дискретной игры, в которой игроки выбирают из конечного набора чистых стратегий. Концепция непрерывных игр позволяет играм включать в себя более общие наборы чистых стратегий, которые могут быть несчетно бесконечными .
В общем, игра с бесчисленным множеством наборов стратегий не обязательно будет иметь равновесное решение по Нэшу . Если, однако, требуется, чтобы наборы стратегий были компактными, а функции полезности непрерывными , то равновесие по Нэшу будет гарантировано; это сделано в результате обобщения Гликсбергом теоремы Какутани о неподвижной точке . По этой причине класс непрерывных игр обычно определяется и изучается как подмножество более широкого класса бесконечных игр (т. Е. Игр с бесконечными множествами стратегий), в которых множества стратегий компактны, а функции полезности непрерывны.
Формальное определение [ править ]
Определите непрерывную игру с n игроками, где
- это набор игроков,
- где каждый представляет собой компактное множество в метрическом пространстве , соответствующее набору чистых стратегий -го игрока,
- где - функция полезности игрока
- Мы определяем множество борелевских вероятностных мер на , что дает нам пространство смешанных стратегий игрока i .
- Определите профиль стратегии, где
Позвольте быть стратегическим профилем всех игроков, кроме игрока . Как и дискретными игры, мы можем определить лучший ответ корреспонденцию для игрока , . представляет собой отношение из набора всех распределений вероятностей по профилям игроков-оппонентов к набору стратегий игрока , так что каждый элемент
лучший ответ на . Определять
- .
Профиль стратегии является равновесием по Нэшу тогда и только тогда, когда существование равновесия по Нэшу для любой непрерывной игры с непрерывными функциями полезности может быть доказано с помощью обобщения Ирвинга Гликсберга теоремы о неподвижной точке Какутани . [1] В общем, решения может не быть, если мы разрешаем пространства стратегий, которые не являются компактными, или если мы разрешаем прерывистые функции полезности.
Раздельные игры [ править ]
Разъемная игра представляет собой непрерывная игру , где для любого г, функция полезности может быть выражена в виде сумм из побочных продуктов:
- , Где , , , и функции непрерывны.
Полином игра является разъемной игрой , где каждый представляет собой компактный отрезок и каждая функция полезности может быть записана в виде многомерный многочлена.
В общем, смешанные равновесия по Нэшу в разделимых играх легче вычислить, чем в неразделимых играх, как следует из следующей теоремы:
- Для любой отделимой игры существует по крайней мере одно равновесие по Нэшу, в котором игрок i смешивает не более чистых стратегий. [2]
В то время как стратегия равновесия для неотделимой игры может потребовать несчетно бесконечной поддержки , отделимая игра гарантированно будет иметь по крайней мере одно равновесие по Нэшу со смешанными стратегиями с конечным носителем .
Примеры [ править ]
Раздельные игры [ править ]
Полиномиальная игра [ править ]
Рассмотрим игру двух игроков с нулевой суммой между игроками X и Y с . Обозначим элементы и как и соответственно. Определите служебные функции, где
- .
Отношения наилучшего отклика в чистой стратегии:
и не пересекаются, значит, есть
нет чистой стратегии равновесия по Нэшу. Однако должно быть равновесие смешанной стратегии. Чтобы найти его, выразите ожидаемое значение как линейную комбинацию первого и второго моментов распределений вероятностей X и Y :
(где и аналогично для Y ).
Ограничения на и (с аналогичными ограничениями для y ,) даны Хаусдорфом как:
Каждая пара ограничений определяет компактное выпуклое подмножество на плоскости. Поскольку линейно, любые экстремумы по отношению к первым двум моментам игрока будут лежать на границе этого подмножества. Стратегия равновесия игрока i будет лежать на
Обратите внимание, что первое уравнение допускает только смеси 0 и 1, тогда как второе уравнение допускает только чистые стратегии. Более того, если лучший ответ в определенной точке для игрока i лежит на всей строке, то лучшим ответом будет как 0, так и 1. просто дает чистую стратегию , поэтому никогда не даст и 0, и 1. Однако дает и 0, и 1, когда y = 1/2. Равновесие по Нэшу существует, когда:
Это определяет одно уникальное равновесие, в котором Игрок X играет случайную смесь 0 1/2 времени и 1 1/2 времени. Игрок Y разыгрывает чистую стратегию 1/2. Ценность игры - 1/4.
Неразделимые игры [ править ]
Функция рациональной выплаты [ править ]
Рассмотрим игру двух игроков с нулевой суммой между игроками X и Y с . Обозначим элементы и как и соответственно. Определите служебные функции, где
В этой игре нет чистой стратегии равновесия по Нэшу. Можно показать [3], что существует единственная смешанная стратегия равновесия по Нэшу со следующей парой функций плотности вероятности :
Ценность игры .
Требуется дистрибутив Cantor [ править ]
Рассмотрим игру двух игроков с нулевой суммой между игроками X и Y с . Обозначим элементы и как и соответственно. Определите служебные функции, где
- .
Эта игра имеет уникальное равновесие смешанной стратегии, где каждый игрок играет смешанную стратегию с сингулярной функцией кантора в качестве кумулятивной функции распределения . [4]
Дальнейшее чтение [ править ]
- HW Kuhn и AW Tucker, ред. (1950). Вклад в теорию игр: Vol. II. Анналы математических исследований 28 . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-07935-8 .
См. Также [ править ]
- График непрерывный
Ссылки [ править ]
- ^ IL Glicksberg. Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с применением к точкам равновесия по Нэшу. Труды Американского математического общества, 3 (1): 170–174, февраль 1952 г.
- ^ Н. Штейн, А. Оздаглар и П.А. Паррило. «Разделимые и непрерывные игры низкого ранга». Международный журнал теории игр , 37 (4): 475–504, декабрь 2008 г. https://arxiv.org/abs/0707.3462
- ^ Гликсберг, I. & Gross, О. (1950). «Записки об играх над площадью». Kuhn, HW & Tucker, AW, ред. Вклад в теорию игр: Том II. Анналы математических исследований 28 , с.173–183. Издательство Принстонского университета.
- Перейти ↑ Gross, O. (1952). «Рациональная характеристика распределения Кантора». Технический отчет D-1349, Корпорация РЭНД.