В математике , А процесс Детерминантной точки является стохастическим точечным процессом , то распределение вероятностей из которых характеризуются как детерминант некоторой функции. Такие процессы возникают в качестве важных инструментов в случайной матричной теории, комбинаторики , физике , [1] и моделирование беспроводной сети. [2] [3] [4]
Определение
Позволять быть локально компактным польским пространством ибыть мерой Радона на. Также рассмотрим измеримую функцию K : Λ 2 → ℂ.
Мы говорим что является детерминантный точечный процесс на с ядром если это простой точечный процесс нас совместной интенсивностью или корреляционной функцией (которая является плотностью ее факторной меры момента ), заданной формулой
для любых n ≥ 1 и x 1 ,. . . , x n ∈ Λ. [5]
Характеристики
Существование
Следующие два условия необходимы и достаточны для существования детерминантного случайного точечного процесса с интенсивностями ρ k .
- Симметрия: ρ k инвариантно относительно действия симметрической группы S k . Таким образом:
- Позитивность: Для любого N и любого набора измеримых, ограниченных функций ф к : Л к → ℝ, к = 1 ,. . . , N с компактной опорой :
- Если
- потом
Уникальность
Достаточным условием единственности детерминантного случайного процесса с совместными интенсивностями ρ k является
для любого ограниченного Бореля A ⊆ Λ . [6]
Примеры
Гауссовский унитарный ансамбль
Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера m × m, взятой из гауссовского унитарного ансамбля (GUE), образуют детерминантный точечный процесс на с ядром
где это волновая функция осциллятора определяется как
а также это -й полином Эрмита . [7]
Пуассонизированная мера Планшереля
Пуассонизированная мера Планшереля на разбиениях целых чисел (и, следовательно, на диаграммах Юнга ) играет важную роль в изучении самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Точечный процесс, соответствующий случайной диаграмме Юнга, выраженной в модифицированных координатах Фробениуса, является детерминантным точечным процессом на ℤ [ требуется пояснение ] + 1 ⁄ 2 с дискретным ядром Бесселя, задаваемым формулой:
где
Для J в функции Бесселя первого рода, а θ среднего используется в poissonization. [8]
Это служит примером четко определенного детерминантного точечного процесса с неэрмитовым ядром (хотя его ограничение на положительную и отрицательную полуоси является эрмитовым). [6]
Равномерные остовные деревья
Пусть G конечный, неориентированный, подключенный граф с множеством ребер E . Определите I e : E → ℓ 2 (E) следующим образом: сначала выберите произвольный набор ориентаций для ребер E, и для каждого полученного ориентированного ребра e определите I e как проекцию единичного потока вдоль e на подпространство ℓ 2 (Е) , натянутое звезда потоков. [9] Тогда равномерно случайное остовное дерево группы G является детерминантным точечным процессом на E с ядром
- . [5]
Рекомендации
- ^ Вершик Анатолий М. (2003). Асимптотическая комбинаторика с приложениями к математической физике европейской летней математической школы проходили в институте Эйлера, Санкт - Петербурге, России, 9-20 июле 2001 года . Берлин [и др.]: Springer. п. 151. ISBN. 978-3-540-44890-7.
- ^ Миёси, Наото; Шираи, Томоюки (2016). «Модель сотовой сети с базовыми станциями, настроенными Ginibre» . Достижения в прикладной теории вероятностей . 46 (3): 832–845. DOI : 10.1239 / ААР / 1409319562 . ISSN 0001-8678 .
- ^ Торризи, Джованни Лука; Леонарди, Эмилио (2014). «Большие отклонения интерференции в модели сети Жинибре» (PDF) . Стохастические системы . 4 (1): 173–205. DOI : 10.1287 / 13-SSY109 . ISSN 1946-5238 .
- ^ Н. Дэн, В. Чжоу и М. Хэнгги. Точечный процесс Ginibre как модель беспроводных сетей с отталкиванием. IEEE Transactions on Wireless Communications , vol. 14, стр. 107-121, январь 2015 г.
- ^ a b Хаф Дж. Б., Кришнапур М., Перес Ю. и Вираг Б., Нули гауссовских аналитических функций и детерминантные точечные процессы. Серия лекций в университете, 51. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2009.
- ^ a b c А. Сошников, Детерминантные поля случайных точек. Русская математика. Обзоры , 2000, 55 (5), 923–975.
- ^ Б. Валко. Случайные матрицы, лекции 14–15 . Конспект лекций, Университет Висконсин-Мэдисон .
- ^ А. Бородин, А. Окуньков и Г. Ольшанский, Об асимптотике мер Планшереля для симметрических групп, доступно через arXiv : math / 9905032 .
- ^ Лайонс, Р., Перес, Ю., Вероятность на деревьях и сетях. Издательство Кембриджского университета, в стадии подготовки. Текущая версия доступна на http://mypage.iu.edu/~rdlyons/