Многочлены разности

В математике , в области комплексного анализа , то общие разностные полиномы являются многочленом последовательность , определенный подкласс полиномов Шеффера , которые включают многочлены Ньютона , многочлены А. Сельберга , и Стирлинга интерполяционных полиномов в качестве частных случаев.

Определение [ править ]

Общая разностная полиномиальная последовательность дается формулой

${\ displaystyle p_ {n} (z) = {\ frac {z} {n}} {{z- \ beta n-1} \ choose {n-1}}}$

где - биномиальный коэффициент . В случае порожденные полиномы являются полиномами Ньютона${\displaystyle {z \choose n}}$${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

Случай порождает полиномы Сельберга, а случай порождает интерполяционные полиномы Стирлинга.${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \beta =-1/2}$

Перемещение различий [ править ]

Учитывая аналитическую функцию , определить движущуюся разницу в е как${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

где - оператор прямой разности . Тогда, при условии, что f удовлетворяет некоторым условиям суммируемости, его можно представить в терминах этих многочленов как${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}$

Условия суммируемости (т. Е. Сходимости) этой последовательности - довольно сложная тема; в общем, можно сказать, что необходимым условием является то, чтобы аналитическая функция была не экспоненциального типа . Условия суммируемости подробно обсуждаются в Boas & Buck.

Функция генерации [ править ]

Производящая функция для общих разностных многочленов задаются

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

Эту производящую функцию можно привести к форме обобщенного представления Аппеля.

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

по настройке , , и .${\displaystyle A(w)=1}$${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$${\displaystyle g(w)=t}$${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$

См. Также [ править ]

• Теорема Карлсона
• Многочлены Бернулли второго рода

Ссылки [ править ]

• Ральф П. Боас младший и Р. Крейтон Бак , Полиномиальные разложения аналитических функций (исправлено второе издание) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.