В математике , в diffiety ( / d ə е aɪ ə ˌ т я / ) представляет собой геометрический объект введен Александр Михайлович Виноградов (см Виноградов (1984а) ) играет ту же роль в современной теории дифференциальных уравнений в частных , как алгебраические многообразия играют для алгебраических уравнений.
Определение
Чтобы определить различие, нам нужно использовать геометрический подход к описанию дифференциальных уравнений и их решений. Для этого необходимы понятия струйных пространств, продолжения и распределения Картана, которые будут введены ниже. Читатель, знакомый с этими понятиями, может сразу перейти к определению .
Jet Spaces
Позволять быть -мерное гладкое многообразие. Два -мерные подмногообразия из говорят, что у них то же самое Джет-го порядка в если они касаются порядка . (Чтобы касаться порядка означает, что если локально описать подмногообразия как образы сечений, то производные этих сечений согласуются с точностью до порядка .) | ![]() а также иметь такую же 1-струю, пока а также есть же 3-х струйные. |
Можно показать , что будучи касательной до порядкаявляется координатно-инвариантное понятие и отношение эквивалентности (см Сондерс (1989) например). Следовательно, джет - это класс эквивалентности. Мы можем использовать струи для определения струйных пространств.
Можно показать, что пространства струй естественным образом наделены структурой гладкого многообразия (см. Saunders (1989)) очередной раз).
Замечание относительно взаимосвязи Jet Spaces и Jet Bundle. Вместо того, чтобы рассматривать струи подмногообразий, как описано выше, часто достаточно определить струи сечений расслоенного многообразия . В этом случае можно описать те подмногообразия, которые горизонтальны проекции как изображения разделов расслоенного многообразия. Струя секций тогда является классом эквивалентности секций, которые касаются до порядка в какой-то момент . Это дает начало определению Jet Bundle, который является немного менее общей конструкцией, чем Jet Space. Для получения дополнительной информации посетите страницу Википедии о пакетах Jet .
Дифференциальные уравнения
Если определить решения, как показано ниже, то это геометрическое определение УЧП в локальных координатах приводит к выражениям, которые обычно используются для определения УЧП и их решений в математическом анализе .
Продление
Кроме того, можно определить продолжения уравнений, т.е. подмногообразий пространств Джетов. Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение. Хотелось бы-е продолжение уравнения порядка быть уравнением порядка , т.е. подмногообразие пространства джетов . Для этого сначала строится реактивное пространство над -мерные подмногообразия . В виде встроен в , всегда можно естественным образом встроить в . Но поскольку последнее является пространством повторяющихся струй подмногообразий, также всегда можно вставить в . В результате при рассмотрении обоих а также как подпространства , их пересечение четко определено. Это используется для определения продолжения.
Заметим, однако, что такое пересечение не обязательно снова является многообразием (т.е. не всегда существует в категории гладких многообразий). Поэтому обычно требуется быть достаточно красивым, чтобы по крайней мере его первое продолжение действительно было подмногообразием .
Также можно показать, что это определение все еще имеет смысл, даже если уходит в бесконечность.
Распределение Картана
Обратите внимание, что ниже распределение не понимается в смысле обобщенных функций, но считается подрасслоением касательного расслоения, как это обычно делается при рассмотрении распределений в дифференциальной геометрии .
Распределение Картана важно в алгебро-геометрическом подходе к дифференциальным уравнениям, поскольку оно позволяет определять обобщенные решения дифференциальных уравнений в чисто геометрических терминах.
Можно также посмотреть на распределение Картана подмногообразия без необходимости рассматривать это внутри . Для этого определяется ограничение Распределения на подмногообразие следующим образом.
В этом смысле пара кодирует информацию о (обобщенных) решениях дифференциального уравнения .
Определение различия
В алгебраической геометрии основными объектами изучения являются разновидности, включающие в себя все алгебраические следствия системы алгебраических уравнений. Например, если рассматривать нулевое геометрическое место набора многочленов, то применение алгебраических операций к этому набору (например, сложение этих многочленов друг с другом или умножение их на любой другой многочлен) приведет к тому же нулевому пространству, то есть можно фактически рассмотрим множество нулей алгебраического идеала исходного множества многочленов.
Теперь в случае дифференциальных уравнений, помимо применения алгебраических операций, есть дополнительная возможность дифференцировать. Следовательно, дифференциальный аналог разновидности должен быть подобен дифференциальному идеалу и должен включать в себя все дифференциальные последствия . Естественный объект, который включает дифференциальные следствия уравнения это его бесконечное продолжение . В общем, он может быть бесконечным. Кроме того, хотелось бы обратить внимание на геометрическую структуру распределения Картана, определенную выше. Следовательно, параопределяется как элементарный дифф дифференциал вар iety , или, для краткости, как элементарный diffiety .
Обратите внимание, что при рассмотрении дифференциального уравнения , то можно показать, что распределение Картана точно -мерное отличие от конечного числа продолжений.
Элементарные диффузии - это геометрические объекты, которые играют ту же роль в теории уравнений в частных производных, что и аффинные алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Подобно тому, как разновидности или схемы состоят из неприводимых аффинных разновидностей или аффинных схем , можно также определить (неэлементарное) различие как объект, который локально выглядит как элементарное различие.
Карты, которые, как говорят, сохраняют распределение Картана, являются гладкими картами которые таковы, что продвижение в действует следующим образом:
Многообразия вместе с отображениями, сохраняющими распределение Картана, являются объектами и морфизмами Категории дифференциальных уравнений, определенных Виноградовым. Подробное введение в тему дано Виноградовым (2001). .
Приложения
Виноградовская последовательность
Виноградов-спектральная последовательность (или, для краткости, последовательность Виноградова ) - это спектральная последовательность, относящаяся к распределению Картанаизобретенный Виноградовым (см. Виноградов (1978)) ) для вычисления некоторых свойств формального пространства решений дифференциального уравнения. Чтобы сформулировать это, можно использовать различные варианты.
Предположить, что это различие. Теперь определим
быть алгеброй дифференциальных форм над . Рассмотрим соответствующий комплекс де Рама:
Его группы когомологий содержат некоторую структурную информацию о PDE. Однако по лемме Пуанкаре все они локально обращаются в нуль. Таким образом, чтобы извлечь гораздо больше и даже локальную информацию, необходимо принять во внимание распределение Картана. Именно этому поможет последовательность Виноградова. С этой целью пусть
- подмодуль дифференциальных форм над ограничение на распределение исчезает. Это означает
На самом деле это так называемый дифференциальный идеал, поскольку он устойчив по отношению к дифференциалу де Рама, т. Е. .
Теперь позвольте быть его -й степени, т.е. линейное подпространство создан . Тогда получается фильтрация
и так как все идеалы устойчивы, эта фильтрация полностью определяет спектральную последовательность. (Для получения дополнительной информации о том, как работают спектральные последовательности, см. Спектральную последовательность .) Мы обозначаем эту последовательность как
Приведенная выше фильтрация конечна в каждой степени, что означает
Если фильтрация в этом смысле конечна, то спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама (о различиях). Следовательно, теперь можно анализировать члены спектральной последовательности по порядку. Это сделано, например, в главе 5 Красильщика (1999). . Здесь будет лишь кратко изложено, какая информация содержится в последовательности Виноградова.
- соответствует функционалам действия, ограниченным PDE и для , соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид .
- соответствует законам сохранения для решений .
- интерпретируется как характеристические классы бордизмов решений .
- Есть еще много терминов, ожидающих своего толкования.
Замечание о вариационном бикомплексе. Если вместо реактивного пространства рассматривать струйный пучок, то вместо -спектральная последовательность, получается несколько менее общий вариационный бикомплекс . (Любой бикомплекс определяет две спектральные последовательности. Одна из двух спектральных последовательностей, определяемых вариационным бикомплексом, - это в точности последовательность Виноградова.-спектральная последовательность. Однако вариационный бикомплекс также был разработан независимо от последовательности Виноградова.)
Подобно членам спектральной последовательности, многим из ее членов можно дать физическую интерпретацию, если учесть различие (то есть, грубо говоря, пространство решений УЧП) классической теории поля . Например, можно получить классы когомологий, соответствующие функционалам действия, сохраняющимся токам, калибровочным зарядам и другим важным понятиям в единой организованной схеме.
Поскольку статья в Википедии о вариационном бикомплексе в настоящее время довольно короткая, читатель может вместо этого обратиться к статье nLab для получения дополнительной информации.
Вторичное исчисление
Виноградов разработал теорию, известную как вторичное исчисление (см. Виноградов (1984b) , Виноградов (1998) , Виноградов (2001) ), формализующая в когомологических терминах идею дифференциального исчисления на пространстве решений данной системы уравнений в частных производных, или, что примерно то же самое, на пространстве интегральных многообразий данного различия. Другими словами, вторичное исчисление обеспечивает замену векторным полям, дифференциальным формам, дифференциальным операторам и т. Д. В (в общем случае) очень сингулярном пространстве, где эти объекты нельзя определить обычным (гладким) способом. (Это резюме было взято из введения Vitagliano (2014) .)
В Витальяно (2009) анализируется взаимосвязь между вторичным исчислением и ковариантным фазовым пространством (которое является пространством решений уравнений Эйлера-Лагранжа, связанных с лагранжевой теорией поля ).
Смотрите также
- Вторичное исчисление и когомологическая физика
- Уравнения с частными производными на расслоениях струй
- Дифференциальный идеал
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
Другой способ обобщения идей алгебраической геометрии - это дифференциальная алгебраическая геометрия .
Рекомендации
- Виноградов А.М. (1978) "Спектральная последовательность, связанная с нелинейным дифференциальным уравнением и алгебро-геометрическими основами лагранжевой теории поля со связями", Изв. Докл. , 19 : 144–148
- Виноградов, А. М. (1984а), "Локальные симметрии и законы сохранения", Acta Applicandae Mathematicae , 2 (1): 21-78, DOI : 10.1007 / BF01405491 , MR 0736872
- Виноградов, AM (1984b), "C-спектральная последовательность, лагранжев формализм и законы сохранения I, II", J. Math. Анальный. Прил. , 100 : 1-129, DOI : 10.1016 / 0022-247X (84) 90071-4
- Сондерс, ди-джей (1989). Геометрия струйных пучков . Серия лекций Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета.
- Виноградов, AM (1998), "Введение во вторичное исчисление", в M. Henneaux; Красильщик И.С. А. М. Виноградов (ред.), Вторичное исчисление и когомологическая физика , Современная математика, 219 , Американское математическое общество, стр. 241–272, ISBN 978-0-8218-0828-3
- Красильщик И.С.; Виноградов АМ; Бочаров, А.В.; Четвериков В.Н.; Дужин, С.В.; Хорькова Н.Г .; Самохин, А.В.; Торхов Ю.Н. Вербовецкий А.М. (1999). Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики . Переводы математических монографий. Американское математическое общество.
- Виноградов, Александр Михайлович (2001), Когомологический анализ уравнений в частных производных и вторичное исчисление , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2922-6
- Витальяно, Лука (2009), «Вторичное исчисление и ковариантное фазовое пространство», Журнал геометрии и физики , 59 (4): 426–447, arXiv : 0809.4164 , Bibcode : 2009JGP .... 59..426V , doi : 10.1016 / j.geomphys.2008.12.001
- Vitagliano, Лука (2014), "О сильном Сташефа-Райнхарт алгебры слоения", Связь в современной математике , 16 (6): 1450007, Arxiv : 1204,2467 , DOI : 10,1142 / S0219199714500072
Внешние ссылки
- The Diffiety Institute (заморожен с 2010 г., но содержит полезные материалы по теме)
- Институт Леви-Чивита (преемник указанного выше сайта с актуальной информацией о различных школах)
- Геометрия дифференциальных уравнений.