Инверсия Дразина

В математике , то обратный Дрэйзина , названный в честь Майкла П. Дрэйзина , является своего рода обобщенной обратной части в матрице .

Пусть A - квадратная матрица. Индекс из А является наименее неотрицательное целое число K такое , что ранг ( ^{к + 1} ) = ранг ( ^к ). Дрэйзина обратное из A является уникальной матрицей ^Д , который удовлетворяет условию

${\ displaystyle A ^ {k + 1} A ^ {\ text {D}} = A ^ {k}, \ quad A ^ {\ text {D}} AA ^ {\ text {D}} = A ^ { \ text {D}}, \ quad AA ^ {\ text {D}} = A ^ {\ text {D}} A.}$

Это не обобщенное обратное в классическом смысле, так как в общем.${\ displaystyle AA ^ {\ text {D}} A \ neq A}$

• Если A обратимо с обратным , то .${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ Displaystyle А ^ {\ текст {D}} = А ^ {- 1}}$
• Обратная матрица Дразина с индексом 0 или 1 называется групповой обратной или {1,2,5} -обратной и обозначается A ^# . Группа обратной может быть определено, что эквивалентно, по свойствам АА ^# A = A , ^# AA ^# = ^# , и АА ^# = ^# A .
• Матрица проекции Р , определяемый как матрица такой , что Р ² = Р , имеет индекс 1 (или 0) и имеет обратную Дрэйзин P ^D = P .
• Если A - нильпотентная матрица (например, матрица сдвига ), то${\ displaystyle A ^ {D} = 0.}$

Последовательность сверхмощности

${\ displaystyle A_ {i + 1}: = A_ {i} + A_ {i} \ left (I-AA_ {i} \ right);}$ для сведения заметим, что ${\ displaystyle A_ {i + j} = A_ {i} \ sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {j} -1} \ left (I-AA_ {i} \ right) ^ {k}.}$

Для или любого обычного с выбранным таким образом, что последовательность стремится к своей инверсии Дразина, ${\displaystyle A_{0}:=\alpha A}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}A=AA_{0}}$${\displaystyle \left\|A_{0}-A_{0}AA_{0}\right\|<\left\|A_{0}\right\|}$

${\displaystyle A_{i}\rightarrow A^{\text{D}}.}$

См. Также [ править ]

• Обобщенное обратное с ограничениями
• Обратный элемент
• Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза

Ссылки [ править ]

• Дразин, депутат (1958). «Псевдообратные в ассоциативных кольцах и полугруппах». Американский математический ежемесячник . 65 (7): 506–514. DOI : 10.2307 / 2308576 . JSTOR  2308576 .
• Чжэн, Бин; Бапат, РБ (2004). «Обобщенное обратное A (2) T, S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычисления . 155 (2): 407. DOI : 10.1016 / S0096-3003 (03) 00786-0 .

Внешние ссылки [ править ]

• Инверсия Дразина в Planet Math
• Групповая инверсия на Planet Math

Эта статья по линейной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e