Матрица сдвига

В математике , А матрица сдвига является бинарной матрицей с единицами только на от диагонали или поддиагонального и нулей в других местах. Матрица сдвига U с единицами на наддиагонали является верхней матрицей сдвига . Альтернативная субдиагональная матрица L неудивительно известна как матрица нижнего сдвига . Компоненты ( i , j ): th U и L равны

{\ Displaystyle U_ {ij} = \ delta _ {i + 1, j}, \ quad L_ {ij} = \ delta _ {i, j + 1},}

где - символ Кронекера . ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Например, матрицы сдвига 5 × 5 :

{\ Displaystyle U_ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ quad L_ {5\ & 0 & 0 & 0 & 0} = {\ begin & 0 & 0 & 0 & 0} = {\ begin & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} = {\ begin & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Ясно, что транспонирование нижней матрицы сдвига является верхней матрицей сдвига и наоборот.

В качестве линейного преобразования нижняя матрица сдвига сдвигает компоненты вектора-столбца на одну позицию вниз, при этом ноль появляется в первой позиции. Верхняя матрица сдвига сдвигает компоненты вектора-столбца на одну позицию вверх, при этом ноль появляется в последней позиции. ^[1]

Предварительное умножение матрицы A на более низкую матрицу сдвига приводит к тому, что элементы A сдвигаются вниз на одну позицию, а нули появляются в верхней строке. Постумножение на более низкую матрицу сдвига приводит к сдвигу влево. Подобные операции с использованием верхней матрицы сдвига приводят к противоположному сдвигу.

Ясно, что все конечномерные матрицы сдвига нильпотентны ; п по п сдвиг матрицы S становится матрицей нуля , когда возведенный в степень его размерность п .

Матрицы сдвига действуют на пространства сдвига . Бесконечномерные матрицы сдвига особенно важны для изучения эргодических систем . Важными примерами бесконечномерных сдвигов являются сдвиг Бернулли , который действует как сдвиг в пространстве Кантора , и отображение Гаусса , которое действует как сдвиг в пространстве непрерывных дробей (то есть в пространстве Бэра ).

Свойства [ править ]

Пусть L и U - матрицы нижнего и верхнего сдвига n на n соответственно. Следующие свойства справедливы и для U и L . Поэтому давайте перечислим только свойства для U :

det ( U ) = 0
след ( U ) = 0
ранг ( U ) = n - 1
Эти характеристические многочлены из U является
${\ displaystyle p_ {U} (\ lambda) = (- 1) ^ {n} \ lambda ^ {n}.}$
U ⁿ = 0. Это следует из предыдущего свойства теоремы Кэли – Гамильтона .
Перманентный из U является 0 .

Следующие свойства показывают, как связаны U и L :

L ^T = U ; U ^T = L
В нуль - пространства из U и L являются
$N(U)=\operatorname {span} \left\{(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}\right\},$
$N(L)=\operatorname {span} \left\{(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}\right\}.$
Спектр из U и L является . Алгебраическая кратность от 0 является п , а его геометрическая кратность составляет 1 . Из выражений для нулевых пространств следует, что (с точностью до масштабирования) единственным собственным вектором для U является , а единственным собственным вектором для L является . $\{0\}$ $(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}$ $(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}$
Для LU и UL мы имеем
$UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),$
$LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).$
Эти матрицы являются идемпотентными, симметричными и имеют тот же ранг, что и U и L
L ^n-a U ^n-a + L ^a U ^a = U ^n-a L ^n-a + U ^a L ^a = I ( единичная матрица ) для любого целого числа a от 0 до n включительно.

Если N является любой нильпотентной матрицей , то Н является похож на блочно - диагональную матрицу вида

{\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}

где каждый из блоков S ₁ , S ₂ , ..., S _r представляет собой матрицу сдвига (возможно, различных размеров). ^[2]^[3]

Примеры [ править ]

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.

Потом,

SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.

Ясно, что существует множество возможных перестановок . Например, равна матрице A, сдвинутой вверх и влево по главной диагонали. $S^{\mathsf {T}}AS$

S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312)
^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312313)
^ Херстейн (1964 , стр. 250)

Ссылки [ править ]

Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016

Внешние ссылки [ править ]

Матрица сдвига - запись в Справочном руководстве по матрице

[1] Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312)

[2] Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 312313)

[3] Херстейн (1964 , стр. 250)

[1]