В математике , особенно в линейной алгебре , нулевая матрица или нулевая матрица - это матрица, все элементы которой равны нулю . Он также служит в качестве аддитивной идентичности в аддитивной группе из матриц, и обозначается символом или - за которыми следуют нижние индексы, соответствующие размеру матрицы в зависимости от контекста. [1] [2] [3] [4] Некоторые примеры нулевых матриц:
Свойства
Набор матрицы с элементами кольца K образует кольцо. Нулевая матрица в матрица, все элементы которой равны , куда - аддитивное тождество в K.
Нулевая матрица - это аддитивная единица в . [5] То есть для всех он удовлетворяет уравнению
Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на нулевую матрицу. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается 0 без нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.
Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отправляет все векторы в нулевой вектор . [6] Он идемпотентен , что означает, что когда он умножается сам на себя, результатом становится он сам.
Нулевая матрица - единственная матрица, ранг которой равен 0.
События
Проблема матрицы смертных - это проблема определения, учитывая конечный набор матриц размера n × n с целочисленными элементами, можно ли их перемножить в некотором порядке, возможно, с повторением, чтобы получить нулевую матрицу. Это, как известно, неразрешимо для набора из шести или более матриц 3 × 3 или набора из двух матриц 15 × 15. [7]
В обычной регрессии методом наименьших квадратов , если данные идеально подходят, аннигиляторная матрица является нулевой матрицей.
См. Также
- Матрица идентичности , мультипликативная идентичность для матриц
- Матрица единиц , матрица, в которой все элементы являются одним
- Нильпотентная матрица
- Матрица с одним элементом, матрица , в которой все элементы, кроме одного, равны нулю.
Ссылки
- ^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 13 августа 2020 .
- ^ Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Тексты для бакалавров по математике , Springer, стр. 25, ISBN 9780387964126,
У нас есть нулевая матрица, в которой a ij = 0 для всех i , j . ... Мы будем писать это O .
- ^ "Введение в нулевые матрицы (статья) | Матрицы" . Ханская академия . Проверено 13 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Нулевая матрица» . mathworld.wolfram.com . Проверено 13 августа 2020 .
- ^ Уорнер, Сет (1990), Современная алгебра , Courier Dover Publications, стр. 291, ISBN 9780486663418,
Нейтральный элемент для сложения называется нулевой матрицей, поскольку все ее элементы равны нулю.
- ^ Бронсон, Ричард; Коста, Габриэль Б. (2007), Линейная алгебра: Введение , Academic Press, стр. 377, ISBN 9780120887842,
Нулевая матрица представляет нулевое преобразование 0 , обладающее тем свойством , 0 ( v ) = 0 для любого вектора об ∈ V .
- ^ Кассень, Жюльен; Халава, Веса; Харью, Теро; Николя, Франсуа (2014). «Более жесткие границы неразрешимости для матричной смертности, проблемы с нулевым углом и многое другое». arXiv : 1404.0644 [ cs.DM ].