Модель Эренфеста

Модель Эренфеста (или модель собака-блоха ^[1] ) диффузии была предложена Татьяной и Полем Эренфестами для объяснения второго закона термодинамики . Модель рассматривает N частиц в двух контейнерах. Частицы самостоятельно меняют контейнер со скоростью λ . Если X ( t ) = i определяется как количество частиц в одном контейнере в момент времени t , то это процесс рождения-смерти с переходной скоростью

${\ Displaystyle д_ {я, я-1} = я \, \ лямбда}$ для i = 1, 2, ..., N
${\ Displaystyle Q_ {я, я + 1} = (Ni \,) \ лямбда}$ для i = 0, 1, ..., N - 1

и равновесное распределение . ${\ Displaystyle \ pi _ {я} = 2 ^ {- N} {\ tbinom {N} {я}}}$

Марк Кац доказал в 1947 году, что если начальное состояние системы не является равновесным, то энтропия , определяемая формулой

H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),

монотонно возрастает ( H-теорема ). Это следствие сходимости к равновесному распределению.

Интерпретация результатов [ править ]

Учтите, что вначале все частицы находятся в одной из емкостей. Ожидается, что со временем количество частиц в этом контейнере приблизится и стабилизируется около этого состояния (в контейнерах будет примерно такое же количество частиц). Однако с математической точки зрения возврат к исходному состоянию возможен (даже почти наверняка). Из теоремы о возвращении в среднем следует, что даже ожидаемое время возврата в начальное состояние конечно, и это так . Используя приближение Стирлинга, можно обнаружить, что если мы начнем с состояния равновесия (равное количество частиц в контейнерах), ожидаемое время возврата в состояние равновесия будет асимптотически равно . Если предположить, что частицы меняют контейнеры со скоростью один за секунду, в частном случае $N/2$ $2^{N}$ $\textstyle {\sqrt {\pi N/2}}$ $N=100$ Ожидается, что частицы, начиная с состояния равновесия, возвращаются к равновесию за секунды, а начиная с конфигурации в одном из контейнеров, в другом, возврат в это состояние, как ожидается, займет годы. Это предполагает, что, хотя теоретически это верно, возврат к исходному крайне непропорциональному состоянию вряд ли будет наблюдаться. $13$ $100$ $0$ $4\cdot 10^{22}$

Ссылки [ править ]

^ Науэнберга, М. (2004). «Эволюция излучения к тепловому равновесию: разрешимая модель, которая иллюстрирует основы статистической механики». Американский журнал физики . 72 (3): 313–323. arXiv : cond-mat / 0305219 . Bibcode : 2004AmJPh..72..313N . DOI : 10.1119 / 1.1632488 .

Обратимость Ф. П. Келли и стохастические сети (Wiley, Chichester, 1979) ISBN 0-471-27601-4 [1] стр. 17–20
«Модель диффузии Эренфеста». Британская энциклопедия (2008)
Пол и Татьяна Эренфест. Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift, vol. 8 (1907), стр. 311–314.

[1] Науэнберга, М. (2004). «Эволюция излучения к тепловому равновесию: разрешимая модель, которая иллюстрирует основы статистической механики». Американский журнал физики . 72 (3): 313–323. arXiv : cond-mat / 0305219 . Bibcode : 2004AmJPh..72..313N . DOI : 10.1119 / 1.1632488 .

[1]