Коэффициент упругости

На скорость химической реакции влияет множество различных факторов, таких как температура, pH , концентрации реагентов и продуктов, а также другие эффекторы. Степень, в которой эти факторы изменяют скорость реакции, описывается коэффициентом эластичности . Этот коэффициент определяется следующим образом:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {S} ^ {v} = {\ frac {\ partial v} {\ partial S}} {\ frac {S} {v}} = {\ frac {\ partial \ ln v} { \ partial \ ln S}}}

куда ${\ displaystyle v}$ обозначает скорость реакции, а ${\ displaystyle S}$ обозначает концентрацию субстрата . Частной производной в определении указывает на то, что эластичность измеряется по отношению к изменениям в фактор - S, сохраняя при этом все другие факторы постоянной. Наиболее распространенные факторы включают субстраты, продукты и эффекторы. Масштабирование коэффициента обеспечивает его безразмерность и независимость от единиц измерения скорости реакции и величины фактора. Коэффициент эластичности является неотъемлемой частью анализа метаболического контроля и был введен в начале 1970-х годов и, возможно, ранее Хенриком Кассером и Бернсом ^[1] в Эдинбурге и Генрихом и Рапопортом ^[2] в Берлине.

Концепция эластичности была также описана другими авторами, в первую очередь Саважо ^[3] в Мичигане и Кларком ^[4] в Эдмонтоне. В конце 1960-х Майкл Сэвиджо ^[3] разработал новаторский подход, названный теорией биохимических систем, который использует степенные разложения для аппроксимации нелинейностей в биохимической кинетике. Теория очень похожа на анализ метаболического контроля и очень успешно и широко использовалась для изучения свойств различных обратных связей и других регуляторных структур в клеточных сетях. В степенных разложениях, используемых в анализе, используются коэффициенты, называемые кинетическими порядками, которые эквивалентны коэффициентам эластичности.

Брюс Кларк ^[4] в начале 1970-х годов разработал сложную теорию анализа динамической устойчивости химических сетей. В рамках своего анализа Кларк также ввел понятие кинетических порядков и аппроксимации степенного закона, которая была чем-то похожа на степенные разложения Саважо. Подход Кларка в значительной степени опирался на определенные структурные характеристики сетей, называемые экстремальными токами (также называемые элементарными режимами в биохимических системах). Кинетические порядки Кларка также эквивалентны эластичности.

Тот факт, что разные группы независимо вводили одну и ту же концепцию, означает, что эластичности или их эквиваленты, кинетические порядки, скорее всего, являются фундаментальной концепцией при анализе сложных биохимических или химических систем.

Расчет коэффициентов эластичности

Коэффициенты упругости можно рассчитать различными способами: численно или алгебраически.

Алгебраический расчет коэффициентов эластичности

Учитывая определение эластичности в терминах частной производной, можно, например, определить эластичность произвольного закона ставок путем дифференцирования закона ставок по независимой переменной и масштабированию. Например, коэффициент эластичности для закона скорости действия массы, такого как:

{\ Displaystyle v = к \ S_ {1} ^ {n_ {1}} S_ {2} ^ {n_ {2}}}

куда ${\ displaystyle v}$ это скорость реакции , ${\ displaystyle k}$ константа скорости реакции , ${\ displaystyle S_ {i}}$ i-й химический элемент, участвующий в реакции, и ${\ displaystyle n_ {i}}$ i-й порядок реакции, затем эластичность, ${\ displaystyle \ varepsilon _ {S_ {1}} ^ {v}}$ можно получить, дифференцируя закон скорости по ${\ displaystyle S_ {1}}$ и масштабирование:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {S_ {1}} ^ {v} = {\ frac {\ partial v} {\ partial S_ {1}}} {\ frac {S_ {1}} {v}} = n_ { 1} \ k \ S_ {1} ^ {n_ {1} -1} S_ {2} ^ {n_ {2}} {\ frac {S_ {1}} {k \ S_ {1} ^ {n_ {1) }} S_ {2} ^ {n_ {2}}}} = n_ {1}}

То есть эластичность закона скорости действия массы равна порядку реакции вида.

Эластичность также может быть получена для более сложных законов скорости, таких как закон скорости Михаэлиса – Ментен . Если

{\ Displaystyle v = {\ гидроразрыва {V _ {\ max} S} {K_ {m} + S}}}

тогда это легко показать, чем

{\ displaystyle \ varepsilon _ {S} ^ {v} = {\ frac {K_ {m}} {K_ {m} + S}}}

Это уравнение иллюстрирует идею о том, что эластичности не обязательно должны быть постоянными (как в случае законов действия массы), но могут быть функцией концентрации реагента. В этом случае эластичность приближается к единице при низкой концентрации реагента (S) и к нулю при высокой концентрации реагента.

Для обратимого закона скорости Михаэлиса – Ментен :

{\ displaystyle v = {\ frac {V _ {\ max} / K_ {m1} (SP / K _ {\ text {eq}})} {1 + S / K_ {m1} + P / K_ {m2}}} }

куда ${\ displaystyle V _ {\ max}}$ нападающий ${\ displaystyle V_ {max}}$ , ${\ displaystyle K_ {m1}}$ форвард ${\ displaystyle K_ {m}}$ , ${\ displaystyle K_ {eq}}$ константа равновесия и ${\ displaystyle K_ {m2}}$ обратное ${\ displaystyle K_ {m}}$ можно рассчитать два коэффициента эластичности: один по S, а другой по P. Таким образом:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {S} ^ {v} = {\ frac {1} {1- \ Gamma / K_ {eq}}} - {\ frac {S / K_ {m1}} {1 + S / K_ {m1} + P / K_ {m2}}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {P} ^ {v} = {\ frac {- \ Gamma / K_ {eq}} {1- \ Gamma / K_ {eq}}} - {\ frac {P / K_ {m2} } {1 + S / K_ {m1} + P / K_ {m2}}}}

куда ${\ displaystyle \ Gamma}$ отношение массы к действию , то есть ${\ Displaystyle \ Gamma = P / S}$ . Обратите внимание, что при P = 0 уравнения сводятся к случаю необратимого закона Михаэлиса – Ментен.

В качестве последнего примера рассмотрим уравнение Хилла :

{\ displaystyle v = {\ frac {V _ {\ max} (S / K_ {s}) ^ {n}} {1+ (S / K_ {s}) ^ {n}}}}

где n - коэффициент Хилла, а ${\ displaystyle K_ {s}}$ - коэффициент половинного насыщения (см. закон скорости Михаэлиса – Ментен ), тогда коэффициент эластичности определяется по формуле:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {S} ^ {v} = {\ frac {n} {1+ (S / K_ {s}) ^ {n}}}}

Обратите внимание, что при низком S эластичность приближается к n . При высоких значениях S эластичность приближается к нулю. Это означает, что эластичность ограничена между нулем и коэффициентом Хилла.

Дифференциация в пространстве журнала

Подход, который поддается алгебраическим вычислениям методами компьютерной алгебры, заключается в дифференцировании в логическом пространстве. Поскольку эластичность можно определить логарифмически, то есть:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {S} ^ {v} = {\ frac {\ partial \ ln v} {\ partial \ ln S}}}

разграничение пространства журнала - очевидный подход. Логарифмическое дифференцирование особенно удобно в программном обеспечении алгебры, таком как Mathematica или Maple, где могут быть определены правила логарифмического дифференцирования. ^[5]

Численный расчет коэффициентов эластичности

Коэффициент эластичности также можно рассчитать численно, что часто делается в программном обеспечении для моделирования.

Матрица упругости

Немасштабированные значения эластичности часто изображаются в матричной форме, называемой матрицей эластичности. Учитывая сеть с m молекулярными видами и n реакциями, матрица упругости определяется как:

{\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial v_ {1}} {\ partial S_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial v_ {1} } {\ partial S_ {m}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial v_ {n}} {\ partial S_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac { \ partial v_ {n}} {\ partial S_ {m}}} \ end {bmatrix}}.}

Ссылки

^ Качер, Хенрик; Бернс, Дж. (1973). «Контроль потока». Симпозиумы Общества экспериментальной биологии . 27 : 65–104.
^ Генрих, Рейнхарт; А. Рапопорт, Том (1974). «Линейная стационарная обработка ферментных цепей: общие свойства, контроль и эффективность». Европейский журнал биохимии . 42 (1): 89–95. DOI : 10.1111 / j.1432-1033.1974.tb03318.x . PMID 4830198 .
^ ^a ^b А. Саважо, Майкл (1976). Биохимический системный анализ . Издательство Эддисон Уэсли Лонгман.
^ ^а ^б Л. Кларк, Брюс (1980). «Устойчивость сложных реакционных сетей». Успехи химической физики . 43 : 1–215. DOI : 10.1002 / 9780470142622.ch1 .
^ Х. Вудс, Джеймс; М. Сауро, Герберт (1997). «Упругости в метаболическом анализе управления: алгебраический вывод упрощенных выражений». Компьютерные приложения в биологических науках . 13 (2): 23–130.

Дальнейшее чтение

Корниш-Боуден, Атель (1995). Основы ферментной кинетики . Портленд Пресс.
Фелл Д. (1997). Понимание контроля метаболизма . Портленд Пресс.
Генрих, Рейнхарт; Шустер, Стефан (1996). Регулирование сотовых систем . Чепмен и Холл.

[Burns-1] Качер, Хенрик; Бернс, Дж. (1973). «Контроль потока». Симпозиумы Общества экспериментальной биологии . 27 : 65–104.

[Rapoport-2] Генрих, Рейнхарт; А. Рапопорт, Том (1974). «Линейная стационарная обработка ферментных цепей: общие свойства, контроль и эффективность». Европейский журнал биохимии . 42 (1): 89–95. DOI : 10.1111 / j.1432-1033.1974.tb03318.x . PMID 4830198 .

[Savageau-3] А. Саважо, Майкл (1976). Биохимический системный анализ . Издательство Эддисон Уэсли Лонгман.

[Clarke-4] а ^б Л. Кларк, Брюс (1980). «Устойчивость сложных реакционных сетей». Успехи химической физики . 43 : 1–215. DOI : 10.1002 / 9780470142622.ch1 .

[5] Х. Вудс, Джеймс; М. Сауро, Герберт (1997). «Упругости в метаболическом анализе управления: алгебраический вывод упрощенных выражений». Компьютерные приложения в биологических науках . 13 (2): 23–130.

[1]