Электронная подвижность

В физике твердого тела , то подвижность электронов характеризует как быстро электрон может перемещаться через металл или полупроводник , когда тянул с электрическим полем . Для дырок существует аналогичная величина , называемая подвижностью дырок . Термин подвижность носителей в целом относится как к подвижности электронов, так и дырок.

Электрон и подвижность дырок являются частными случаями из электрической подвижности заряженных частиц в жидкости под приложенным электрическим полем.

Когда электрическое поле Е наносится поперек куска материала, то электроны реагируют путем перемещения со средней скоростью называется скорость дрейфа , . Тогда подвижность электронов μ определяется как${\ displaystyle \, v_ {d}}$

${\ Displaystyle \, v_ {d} = \ mu E}$.

Подвижность электронов почти всегда задается в единицах см ² / ( В ⋅ с ). Это отличается от SI единицы мобильности, м ² / ( В ⋅ с ). Они связаны соотношением 1 м ² / (В · с) = 10 ⁴ см ² / (В · с).

Электропроводность пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого количества электронов с высокой подвижностью для каждого или от большого количества электронов с небольшой подвижностью для каждого. Для металлов обычно не имеет значения, какой из них имеет место, поскольку большинство электрических свойств металлов зависит только от проводимости. Поэтому в физике металлов мобильность относительно не важна. С другой стороны, для полупроводников поведение транзисторови другие устройства могут сильно отличаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность - очень важный параметр для полупроводниковых материалов. Почти всегда более высокая мобильность приводит к лучшей производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводников зависит от концентраций примесей (включая концентрации доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры и концентраций электронов и дырок. Это также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда происходит насыщение скорости . Это может быть определено эффектом Холла или выведено из поведения транзистора.

Введение [ править ]

Скорость дрейфа в электрическом поле [ править ]

В твердом теле без приложенного электрического поля электроны и дырки перемещаются беспорядочно . Следовательно, в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо конкретном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряется электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы разгонялся до постоянно увеличивающейся скорости (так называемый баллистический перенос ). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивается на дефектах кристалла , фононах , примесях и т. Д., Так что он теряет некоторую энергию и меняет направление. В конечном итоге электрон движется с конечной средней скоростью, называемой дрейфовой скоростью . Это чистое движение электронов обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электрон и дырка, обычно имеют разные скорости дрейфа для одного и того же электрического поля.

Квазибаллистический перенос возможен в твердых телах, если электроны ускоряются на очень малое расстояние (такое маленькое, как длина свободного пробега ) или в течение очень короткого времени (такое короткое, как среднее время свободного пробега ). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения [ править ]

Подвижность электронов определяется уравнением:

${\ displaystyle \, v_ {d} = - \ mu _ {e} E}$.

куда:

Е представляет собой величину от электрического поля применяется к материалу,

v _d - величина дрейфовой скорости электронов (другими словами, дрейфовая скорость электронов ), вызванная электрическим полем, и

µ _e - подвижность электронов.

Подвижность дырок определяется аналогичным уравнением:

${\ Displaystyle \, v_ {d} = \ mu _ {h} E}$.

Подвижности электронов и дырок по определению положительны.

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, что означает, что подвижность электронов постоянна (не зависит от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица измерения скорости в системе СИ - м / с , а единица измерения электрического поля в системе СИ - В / м . Следовательно, единица измерения мобильности в системе СИ равна (м / с) / (В / м) = м 2 / ( В · с ). Однако гораздо чаще подвижность выражается в см ² / (В · с) = 10 ^-4 м ² / (В · с).

Подвижность обычно сильно зависит от примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения мобильности обычно представлены в виде таблицы или диаграммы. Подвижность также различна для электронов и дырок в данном материале.

Вывод [ править ]

Начиная со Второго закона Ньютона :

${\ Displaystyle \, а = F / m_ {e} ^ {*}}$

куда:

а - ускорение между столкновениями.

F - электрическая сила, действующая со стороны электрического поля, а

${\ displaystyle m_ {e} ^ {*}}$- эффективная масса электрона.

Поскольку сила, действующая на электрон, равна -eE:

${\ displaystyle \, a = - {\ frac {eE} {m_ {e} ^ {*}}}}$

Это ускорение электрона между столкновениями. Таким образом, скорость дрейфа равна:

${\ displaystyle \, v_ {d} = a \ tau _ {c} = - {\ frac {e \ tau _ {c}} {m_ {e} ^ {*}}} E}$, Где это среднее время свободного пробега${\ Displaystyle \, \ тау _ {с}}$

Поскольку нас интересует только изменение скорости дрейфа в зависимости от электрического поля, мы объединяем общие термины вместе, чтобы получить

${\ displaystyle \, v_ {d} = - \ mu _ {e} E}$, куда ${\ displaystyle \, \ mu _ {e} = {\ frac {e \ tau _ {c}} {m_ {e} ^ {*}}}}$

Аналогично для дырок имеем

${\ Displaystyle \, v_ {d} = \ mu _ {h} E}$, куда ${\ displaystyle \, \ mu _ {h} = {\ frac {e \ tau _ {c}} {m_ {h} ^ {*}}}}$

Обратите внимание, что подвижность электронов и дырок положительны. Знак минус добавлен для скорости дрейфа электронов, чтобы учесть отрицательный заряд.

Отношение к плотности тока [ править ]

Плотность дрейфового тока, возникающего в результате электрического поля, можно рассчитать по скорости дрейфа. Рассмотрим образец с площадью поперечного сечения A, длиной l и концентрацией электронов n. Ток, переносимый каждым электроном, должен быть таким, чтобы общая плотность тока, обусловленного электронами, определялась как:${\ displaystyle -ev_ {d}}$

${\ displaystyle J_ {e} = {\ frac {I_ {n}} {A}} = - env_ {d}}$

Использование выражения для дает${\ displaystyle v_ {d}}$

${\ displaystyle J_ {e} = en \ mu _ {e} E}$

Аналогичная система уравнений применяется к отверстиям (с учетом того, что заряд на отверстии положительный). Следовательно, плотность тока из-за дырок определяется выражением

${\ displaystyle J_ {h} = ep \ mu _ {h} E}$

где p - концентрация дырок и их подвижность.${\ displaystyle \ mu _ {h}}$

Полная плотность тока складывается из электронной и дырочной составляющих:

${\ displaystyle J = J_ {e} + J_ {h} = (en \ mu _ {e} + ep \ mu _ {h}) E}$

Отношение к проводимости [ править ]

Ранее мы вывели связь между подвижностью электронов и плотностью тока

${\ displaystyle J = J_ {e} + J_ {h} = (en \ mu _ {e} + ep \ mu _ {h}) E}$

Теперь закон Ома можно записать в виде

${\ Displaystyle J = \ sigma E}$

где определяется как проводимость. Поэтому мы можем записать:${\ displaystyle \ sigma}$

${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$

который может быть разложен на

${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$

Связь с диффузией электронов [ править ]

В области, где n и p изменяются с расстоянием, диффузионный ток накладывается на ток из-за проводимости. Этот диффузионный ток регулируется законом Фика :

${\displaystyle F=-D_{e}\nabla n}$

куда:

F - поток.

D _e - коэффициент диффузии или коэффициент диффузии.

${\displaystyle \nabla n}$ - градиент концентрации электронов

Коэффициент диффузии для носителя заряда связан с его подвижностью соотношением Эйнштейна :

${\displaystyle D_{e}={\frac {\mu _{e}k_{B}T}{e}}}$

куда:

k _B - постоянная Больцмана

T - абсолютная температура

е - электрический заряд электрона

Примеры [ править ]

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 К) в таких металлах, как золото , медь и серебро, составляет 30–50 см ² / (В · с). Подвижность носителей в полупроводниках зависит от легирования. В кремнии (Si) подвижность электронов составляет порядка 1000, в германии - около 4000, а в арсениде галлия - до 10 000 см ² / (В · с). Подвижность дырок обычно ниже и колеблется от примерно 100 см ² / (В · с) в арсениде галлия до 450 в кремнии и 2000 в германии. ^[1]

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, таких как двумерные электронные газы ( 2DEG ) (35 000 000 см ² / (В · с) при низкой температуре), ^[2] углеродные нанотрубки (100 000 см ² / ( V⋅s) при комнатной температуре) ^[3] и автономный графен (200 000 см ² / V⋅s при низкой температуре). ^[4] Органические полупроводники ( полимеры , олигомеры ), разработанные к настоящему времени, имеют подвижность носителей ниже 50 см ² / (В · с), а обычно ниже 1, а для хорошо работающих материалов измеряется ниже 10. ^[5]

Зависимость от электрического поля и насыщение скорости [ править ]

В малых полях скорость дрейфа v _d пропорциональна электрическому полю E , поэтому подвижность μ постоянна. Это значение μ называется подвижностью в слабом поле .

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителя увеличивается сублинейно и асимптотически до максимально возможного значения, называемого скоростью насыщения v _sat . Например, значение v _sat составляет порядка 1 × 10 ⁷ см / с как для электронов, так и для дырок в Si. Для Ge она составляет порядка 6 · 10 ⁶ см / с. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от уровня легирования или примесей и температуры. Это одно из ключевых свойств материала и полупроводникового устройства, которое определяет такое устройство, как конечный предел скорости отклика и частоты транзистора.

Это явление насыщения скорости является результатом процесса, называемого рассеянием оптических фононов . В сильных полях носители ускоряются достаточно, чтобы получить достаточную кинетическую энергию между столкновениями для испускания оптического фонона, и они делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряться. Скорость, которую достигает электрон, прежде чем испустить фонон, равна:

${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{emit}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{phonon(opt.)}}$

где ω _{фонон (опт.)} - угловая частота оптического фонона, а m * - эффективная масса носителя в направлении электрического поля. Значение E- _{фонона (опт.)} Составляет 0,063 эВ для Si и 0,034 эВ для GaAs и Ge. Скорость насыщения составляет лишь половину от v _emit , потому что электрон начинает с нулевой скорости и ускоряется до v _emit в каждом цикле. ^[11] (Это несколько упрощенное описание. ^[11] )

Насыщение скорости - не единственное возможное поведение сильного поля. Другой - эффект Ганна , когда достаточно сильное электрическое поле может вызывать межпространственный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивает скорость дрейфа или оставляет ее неизменной. Результат - отрицательное дифференциальное сопротивление .

В режиме насыщения скорости (или других эффектов сильного поля) подвижность сильно зависит от электрического поля. Это означает, что мобильность - несколько менее полезное понятие по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью [ править ]

Напомним, что по определению подвижность зависит от скорости дрейфа. Основным фактором, определяющим скорость дрейфа (кроме эффективной массы ), является время рассеяния , то есть время, в течение которого носитель баллистически ускоряется электрическим полем, пока не рассеется (столкнется) с чем-то, что меняет свое направление и / или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемыми ниже, являются рассеяние на ионизованных примесях и рассеяние акустических фононов (также называемое рассеянием на решетке). В некоторых случаях могут быть важны другие источники рассеяния, такие как рассеяние на нейтральных примесях, рассеяние оптических фононов, поверхностное рассеяние и рассеяние на дефектах . ^[12]

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время рассеяния. Некоторые процессы упругого рассеяния - это рассеяние на акустических фононах, примесное рассеяние, пьезоэлектрическое рассеяние и т. Д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния k в k ' , испуская или поглощая фонон волнового вектора q . Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги в энергетических зонах. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, создается отклонениями полос из-за этих малых переходов из замороженных положений решетки. ^[13]

Ионизированное примесное рассеяние [ править ]

Полупроводники легированы донорами и / или акцепторами, которые обычно ионизируются и, таким образом, заряжаются. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку от ионизированной примеси. Это известно как рассеяние на ионизованных примесях . Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность столкновения носителя с ионом в заданное время, меньше время свободного пробега между столкновениями и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители приводят к значительному сокращению диапазона взаимодействия с носителями по сравнению с голым кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся вблизи границы раздела, сложность проблемы возрастает из-за наличия дефектов и нарушений кристалла. Центры захвата заряда, которые рассеивают свободные носители, во многих случаях образуются из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеяние происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на границе раздела, уменьшенная размерность носителей отличает случай от случая объемного примесного рассеяния, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость поверхности раздела также вызывает рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. ^[13]

Решеточное (фононное) рассеяние [ править ]

При любой температуре выше абсолютного нуля колеблющиеся атомы создают в кристалле (акустические) волны давления, которые называются фононами . Как и электроны, фононы можно рассматривать как частицы. Фонон может взаимодействовать (сталкиваться) с электроном (или дыркой) и рассеивать его. При более высокой температуре фононов больше, и, следовательно, увеличивается рассеяние электронов, что снижает подвижность.

Пьезоэлектрическое рассеяние [ править ]

Пьезоэлектрический эффект может возникать только в сложных полупроводниках из-за их полярной природы. В большинстве полупроводников он невелик, но может приводить к локальным электрическим полям, которые вызывают рассеяние носителей за счет их отклонения; этот эффект важен в основном при низких температурах, где другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения основной элементарной ячейки, когда в решетке прикладывается деформация в определенных направлениях. ^[13]

Рассеяние шероховатости поверхности [ править ]

Рассеяние на шероховатости поверхности, вызванное межфазным беспорядком, - это рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. Из просвечивающих электронных микрофотографий с высоким разрешением было определено, что граница раздела не является резкой на атомном уровне, но фактическое положение межфазной плоскости изменяется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти вариации случайны и вызывают флуктуации уровней энергии на границе раздела, что затем вызывает рассеяние. ^[13]

Рассеивание сплава [ править ]

В составных полупроводниках (сплавах), которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное возмущением кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих видов атомов в соответствующей подрешетке, известно как рассеяние сплава. Это может произойти только в тройных или более высоких сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешеток) кристаллической структуры. Обычно это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах обычно не учитывается межфазное рассеяние. ^{[13] [14] [15] [16] [17]}

Неупругое рассеяние [ править ]

Во время процессов неупругого рассеяния происходит значительный энергообмен. Как и в случае с упругим рассеянием фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных колебаниями атомов. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые могут иметь энергию порядка 10 мэВ. В процессе рассеяния наблюдается значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать межполосное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной. ^[13]

Электрон-электронное рассеяние [ править ]

В соответствии с принципом исключения Паули электроны можно считать невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 10 ¹⁶ ~ 10 ¹⁷ см ^-3 или значения электрического поля 10 ³ В / см. Однако значительно выше этих пределов электрон-электронное рассеяние начинает преобладать. Большой радиус действия и нелинейность кулоновского потенциала, определяющего взаимодействия между электронами, затрудняют рассмотрение этих взаимодействий. ^{[13] [14] [15]}

Связь между подвижностью и временем рассеяния [ править ]

Простая модель дает приблизительную связь между временем рассеяния (среднее время между событиями рассеяния) и подвижностью. Предполагается, что после каждого события рассеяния движение носителя рандомизируется, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. Результирующая средняя дрейфовая подвижность составляет: ^[18]

${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$

где q - заряд элемента , m * - эффективная масса носителя , τ - среднее время рассеяния.

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), m * - это эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена [ править ]

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например как примеси, так и решеточные фононы. Обычно очень хорошее приближение - объединить их влияния с помощью «Правила Маттиссена» (разработанного на основе работы Августа Маттиссена в 1864 году):

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}}$.

где µ - фактическая подвижность, это подвижность, которую материал имел бы при наличии примесного рассеяния, но без другого источника рассеяния, и - подвижность, которую имел бы материал, если бы было рассеяние на решеточных фононах, но не было другого источника рассеяния. Для других источников рассеяния могут быть добавлены другие члены, например${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots }$.

Правило Маттиссена также можно сформулировать в терминах времени рассеяния:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots }$.

где τ - истинное среднее время рассеяния, а τ _{примеси} - время рассеяния, если было рассеяние на _{примесях,} но не было другого источника рассеяния и т. д.

Правило Маттиссена является приблизительным и не универсально. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на мобильность, зависят друг от друга, поскольку индивидуальные вероятности рассеяния нельзя суммировать, если они не независимы друг от друга. ^[17] Среднее время свободного полета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорциональны вероятности рассеяния. ^{[13] [14] [16]} Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, изменяет тенденцию к рассеиванию на примесях. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты. ^[19]

Температурная зависимость подвижности [ править ]

С повышением температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает усиленное рассеяние. Таким образом, рассеяние на решетке все больше снижает подвижность носителей при более высоких температурах. Теоретические расчеты показывают, что в подвижности неполярных полупроводников, таких как кремний и германий, преобладает взаимодействие акустических фононов . Ожидается, что результирующая подвижность будет пропорциональна T  ^−3/2 , в то время как подвижность, обусловленная только рассеянием оптических фононов, будет пропорциональна T  ^−1/2 . Экспериментально значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице. ^[20]

Поскольку , где - сечение рассеяния электронов и дырок на рассеивающем центре, а - термическое среднее (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней зоне проводимости или верхней валентной зоне, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: количество частиц, рассеянных на телесный угол dΩ в единицу времени, деленное на количество частиц на площадь за время (интенсивность падения), что исходит из классической механики. Поскольку статистика Больцмана действительна для полупроводников .${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$

Для рассеяния на акустических фононах при температурах, значительно превышающих температуру Дебая, оценочное сечение Σ _ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона, пропорционального T. Рассеяние на заряженных дефектах (ионизированных донорах или акцепторах) приводит к к поперечному сечению . Эта формула представляет собой сечение рассеяния для «резерфордовского рассеяния», когда точечный заряд (носитель) движется мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывающего кулоновское взаимодействие.${\displaystyle {\Sigma }_{def}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках могут быть определены путем объединения формул для τ, Σ и для рассеяния на акустических фононах и заряженных дефектах . ^{[14] [16]}${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$${\displaystyle {\mu }_{def}\sim T^{3/2}}$

Однако эффект рассеяния ионизованной примеси уменьшается с повышением температуры, поскольку увеличиваются средние тепловые скорости носителей. ^[12] Таким образом, носители проводят меньше времени рядом с ионизированной примесью при прохождении, и, таким образом, эффект рассеяния ионов уменьшается.

Эти два эффекта действуют одновременно на носителей в соответствии с правилом Маттиссена. При более низких температурах доминирует рассеяние на ионизованных примесях, а при более высоких температурах доминирует рассеяние на фононах, а фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Измерение подвижности полупроводников [ править ]

Подвижность зала [ править ]

Подвижность носителей чаще всего измеряется с помощью эффекта Холла . Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, полученная на основе измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим образец полупроводника с прямоугольным поперечным сечением, как показано на рисунках, ток течет в направлении оси x, а магнитное поле прикладывается в направлении оси z . Результирующая сила Лоренца будет ускорять электроны ( материалы n- типа) или дырки ( материалы p- типа) в направлении (- y ) в соответствии с правилом правой руки и создавать электрическое поле ξ _y . В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить с помощью высокоомного вольтметра. Это напряжение V _H называется напряжением Холла .V _H отрицательно для материала n- типа и положительно для материала p- типа.

Математически сила Лоренца, действующая на заряд q , определяется выражением

Для электронов:

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{Hn}=-q({\overrightarrow {v}}_{n}\times {\overrightarrow {B}}_{z})}$

Для отверстий:

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{Hp}=+q({\overrightarrow {v}}_{p}\times {\overrightarrow {B}}_{z})}$

В установившемся состоянии эта сила уравновешивается силой, создаваемой напряжением Холла, так что нет результирующей силы на носители в направлении y . Для электрона

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{y}=(-q){\overrightarrow {\xi }}_{y}+(-q)[{\overrightarrow {v}}_{n}\times {\overrightarrow {B}}_{z}]=0}$

${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$

${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$

Для электронов поле указывает в направлении - y , а для дырок - в направлении + y .

Электронный ток I дается . Подставим v _x в выражение для ξ _y ,${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$

${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$

где R _Hn - коэффициент Холла для электрона и определяется как

${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$

С ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$

${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$

Аналогично для дырок

${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$

Из коэффициента Холла мы можем получить подвижность носителей следующим образом:

${\displaystyle \mu _{n}=(-nq)\mu _{n}(-{\frac {1}{nq}})=-\sigma _{n}R_{Hn}}$

${\displaystyle =-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}}$

По аналогии,

${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$

Здесь значения V _Hp (напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) могут быть измерены напрямую, а проводимости σ _n или σ _p либо известны, либо могут быть получены путем измерения удельное сопротивление.

Мобильность с полевым эффектом [ править ]

Подвижность также можно измерить с помощью полевого транзистора (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, полученная в результате измерения полевого эффекта»).

Измерение может работать двумя способами: на основе измерений в режиме насыщения или измерений в линейной области. ^[21] (См. Описание различных режимов или областей работы в MOSFET .)

Использование режима насыщенности [ править ]

В этом методе ^[21] для каждого фиксированного напряжения V _GS на затворе напряжение V _DS сток-исток увеличивается до тех пор, пока ток I _{D не} достигнет насыщения. Затем квадратный корень из этого тока насыщения строится в зависимости от напряжения затвора и измеряется наклон m _sat . Тогда подвижность равна:

${\displaystyle \mu =m_{sat}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$

где L и W - длина и ширина канала, а C _i - емкость изолятора затвора на единицу площади. Это уравнение происходит из приближенного уравнения для полевого МОП-транзистора в режиме насыщения:

${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$

где V _th - пороговое напряжение. Это приближение , помимо прочего, игнорирует эффект Early (модуляция длины канала). На практике этот метод может недооценивать истинную мобильность. ^[22]

Использование линейной области [ править ]

В этом методе ^[21] транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где V _DS мало и с крутизной m _lin . Тогда подвижность равна:${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$

${\displaystyle \mu =m_{lin}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}}$.

Это уравнение происходит из приближенного уравнения для полевого МОП-транзистора в линейной области:

${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)}$

На практике этот метод может переоценить истинную подвижность, потому что, если V _DS недостаточно мал, а V _G недостаточно велик, полевой МОП-транзистор может не оставаться в линейной области. ^[22]

Оптическая мобильность [ править ]

Подвижность электронов может быть определена из бесконтактных измерений светового отражения лазера . По мере того, как образец проходит через фокусировку, выполняется серия измерений фотоотражения. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются путем регрессионного подбора данных. Затем соотношение Эйнштейна используется для расчета подвижности. ^{[23] [24]}

Терагерцовая подвижность [ править ]

Подвижность электронов может быть рассчитана на основе измерений терагерцового зонда с временным разрешением . ^{[25] [26]} Фемтосекундные лазерные импульсы возбуждают полупроводник, и результирующая фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения в терагерцовом электрическом поле. ^[27]

Зависимость от концентрации легирования в сильнолегированном кремнии [ править ]

В носителей заряда в полупроводниках являются электроны и дырки. Их количество определяется концентрацией примесных элементов, т. Е. Концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования имеет большое влияние на подвижность носителей.

Хотя существует значительный разброс экспериментальных данных для некомпенсированного материала (без встречного легирования) для сильно легированных подложек (т.е. и выше), подвижность в кремнии часто характеризуется эмпирическим соотношением : ^[28]${\displaystyle 10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}}$

${\displaystyle \mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+({\frac {N}{N_{\text{ref}}}})^{\alpha }}}}$

где N - концентрация легирования ( N _D или N _A ), а N _ref и α - подгоночные параметры. При комнатной температуре приведенное выше уравнение принимает следующий вид:

Основные операторы: ^[29]

${\displaystyle \mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}})^{0.72}}}}$

${\displaystyle \mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}})^{0.76}}}}$

Несовершеннолетние носители: ^[30]

${\displaystyle \mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}})^{0.9}}}}$

${\displaystyle \mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}})^{1.25}}}}$

Эти уравнения применимы только к кремнию и только в слабом поле.

См. Также [ править ]

• Скорость электричества

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Словарь терминов по полупроводникам, посвященный мобильности электронов
• Калькулятор удельного сопротивления и подвижности из чистой комнаты BYU
• Онлайн-лекция - Мобильность с атомистической точки зрения