Эллипсограф является механизмом , который генерирует форму с эллипсом . [1] Он состоит из двух челноков, которые ограничены («утоптаны») в перпендикулярных каналах или рельсах, и стержня, который прикреплен к челнокам с помощью шарниров в фиксированных положениях вдоль стержня.
Когда челноки движутся вперед и назад, каждый по своему каналу, все точки на стержне перемещаются по эллиптическим траекториям. Движение стержня называется эллиптическим движением. Полуоси a и b эллипсов имеют длину, равную расстояниям от точки на стержне до каждого из двух шарниров.
Прямые линии, описываемые осями, являются частными случаями эллипса, где длина одной оси в два раза больше расстояния между осями, а длина другой равна нулю. Все точки на окружности с диаметром, определяемым двумя шарнирами, совершают возвратно-поступательное движение по таким прямым линиям. Этот круг соответствует меньшему кругу в паре Туси .
Точка на полпути между опорами вращается по кругу вокруг точки пересечения каналов. Этот круг также является частным случаем эллипса. Здесь оси одинаковой длины. Диаметр круга равен расстоянию между стержнями. Направление движения по орбите противоположно направлению вращения трамвая. Таким образом, если кривошип, центрированный в точке пересечения каналов, используется для включения трамвая в средней точке, чтобы приводить его в движение, вращение шатуна и трамплина будет равным и противоположным, что в практических приложениях приводит к дополнительному трению и ускорению. носить. Это усугубляется высокими усилиями из-за короткого хода рукоятки, составляющего всего 1/4 хода шарниров.
Ellipsograph является эллипсограф намеревался рисовать, вырезать, или машинные эллипсы, например , в лесу или других листовых материалов. К стержню эллипсографа прикреплен соответствующий инструмент (карандаш, нож, фрезерный станок и т. Д.). Обычно расстояния a и b регулируются, так что размер и форму эллипса можно изменять.
История таких эллипсографов неизвестна, но считается, что они восходят к Проклу и, возможно, даже ко времени Архимеда . [2]
Деревянные версии трамвая Архимеда производились также в качестве игрушек или новинок и продавались под маркой « Кентукки« бездельники » ,« ничего не шлифовальные машины » ,« ничего не делающие машины » ,« коптильные дробилки » или« мельницы для ерунды » . В этих игрушках вытяжной инструмент заменен на кривошипную ручку, а положение выдвижных челноков обычно фиксировано.
Математика
Траммель Архимеда в виде эллипсографа
Диаграмма
Локусы некоторых точек вдоль и за пределами трамвая Архимеда, зеленый кружок является локусом его средней точки - в файле SVG наведите указатель на диаграмму, чтобы переместить трамвай.
Трамвай Архимеда с тремя ползунками
Пусть C - внешний конец стержня, а A , B - оси ползунов. Пусть p и q - расстояния от A до B и от B до C соответственно. Предположим, что ползунки A и B перемещаются по осям координат y и x соответственно. Когда стержень образует угол θ с осью x , координаты точки C задаются выражением
Они имеют форму стандартных параметрических уравнений для эллипса в каноническом положении. Дальнейшее уравнение
также немедленно.
Трамвай Архимеда является примером четырехзвенного рычага с двумя ползунками и двумя шарнирами и является частным случаем более общего наклонного трамплина. Оси, ограничивающие шарниры, не обязательно должны быть перпендикулярными, а точки A , B и C могут образовывать треугольник. Результирующее геометрическое место C по-прежнему является эллипсом. [2]
Деревянный эллипсограф (ок. 1900 г.) сейчас находится в Смитсоновском институте .
Эллипсограф на выставке в Музее науки де ла Вилль де Женев .
Смотрите также
Заметки
- ^ Шварцман, Стивен (1996). Слова математики . Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-511-9.( ограниченная копия в Интернете , стр. 223, в Google Книгах )
- ^ а б Ветцель, Джон Э. (февраль 2010 г.). «Древний эллиптический локус». Американский математический ежемесячник . 117 (2): 161–167. DOI : 10.4169 / 000298910x476068 . JSTOR 10 .
Рекомендации
- Дж. У. Даунс: Практические конические сечения: геометрические свойства эллипсов, парабол и гипербол . Курьер Дувр 2003, ISBN 978-0-486-42876-5 , стр. 4–5 ( ограниченная копия в Интернете , стр. 4, в Google Книгах )
- И. И. Артоболевский Механизмы генерации плоских кривых . Pergamon Press 1964 г., ISBN 978-1483120003 .
Внешние ссылки
- Видео различных конструкций трамваев в действии
- Вырезание эллипсов в дереве
- Фотография бездельника в Кентукки
- Инструкции о том, как построить Kentucky Do-Nothing
- Видео из ничегонеделания сделанные из Lego кирпича
- "Удивительный трамвай Архимеда" Исследование обобщенного трамвая.
- Патент США 4306598 на эллиптическую направляющую для резки, позволяющую создавать небольшие эллипсы.
- Видео на YouTube Secrets of the Nothing Grinder от Mathologer