В алгебраической геометрии , F-кристаллы являются объектами , введенных Mazur (1972) , которые захватывают часть структуры кристаллических когомологий групп. Буква F обозначает Фробениуса , указывая на то, что F- кристаллы действуют на них как Фробениус. F-изокристаллы - это кристаллы «до изогении».
F-кристаллы и F-изокристаллы в идеальных полях
Предположим, что k - совершенное поле с кольцом векторов Витта W, и пусть K - поле частных поля W с автоморфизмом Фробениуса σ.
Над полем к , Р -crystal является свободным модулем М конечного ранга над кольцом W векторов Витта к , вместе с а-линейным инъективного эндоморфизм М . Р -isocrystal определяется таким же образом, за исключением того, что М представляет собой модуль для поля частных K из W , а не W .
Классификационная теорема Дьедонне – Манина
Классификационная теорема Дьедонне – Манина была доказана Дьедонне (1955) и Маниным (1963) . Он описывает структуру F -изокристаллов над алгебраически замкнутым полем k . Категория таких F -изокристаллов абелева и полупроста, поэтому каждый F- изокристалл является прямой суммой простых F -изокристаллов. Простые F -изокристаллы - это модули E s / r, где r и s взаимно простые целые числа с r > 0. В F -isocrystal E сек / г имеет базис над К вида V , Fv , F 2 v , ..., Р г -1 v для некоторого элемента V , а Р г V = P сек v . Рациональное число s / r называется наклоном F -изокристалла.
Над неалгебраически замкнутым полем k простые F -изокристаллы труднее описать в явном виде, но F -изокристалл все еще может быть записан как прямая сумма изоклинических субкристаллов, где F- кристалл называется изоклиническим, если над алгебраическим Замыкание k - это сумма F -изокристаллов одного наклона.
Многоугольник Ньютона F -изокристалла.
Многоугольник Ньютона F -изокристалла кодирует размеры частей данного наклона. Если F -изокристалл представляет собой сумму изоклинических частей с наклонами s 1 < s 2 <... и размерами (как модули кольца Витта) d 1 , d 2 , ..., то многоугольник Ньютона имеет вершины (0,0) , ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ... где n- й отрезок, соединяющий вершины, имеет наклон s n = ( y n - y n −1 ) / ( x n - x n −1 ) и проекции на ось x длины d n = x n - x n −1 .
Многоугольник Ходжа F -кристалла
Многоугольник Ходжа F -кристалла M кодирует структуру M / FM, рассматриваемую как модуль над кольцом Витта. Более точно, поскольку кольцо Витта является областью главных идеалов, модуль M / FM может быть записан как прямая сумма неразложимых модулей длины n 1 ≤ n 2 ≤ ... и многоугольник Ходжа тогда имеет вершины (0,0) , (1, n 1 ), (2, n 1 + n 2 ), ...
В то время как многоугольник Ньютона F- кристалла зависит только от соответствующего изокристалла, два F- кристалла, соответствующие одному и тому же F- изокристаллу, могут иметь разные многоугольники Ходжа. У многоугольника Ходжа есть ребра с целыми наклонами, а у многоугольника Ньютона есть ребра с рациональными наклонами.
Изокристаллы по более общим схемам
Предположим , что является полным кольцом дискретного нормирования по характеристике 0 с полем частных к характеристики р > 0 и совершенное. Аффинное расширение схемы X 0 над к состоит из кручения - алгебры B и идеала I из B такой , что B полно в I топологии и образ I нильпотентен в B / рв , вместе с морфизм из Spec ( B / I ) в X 0 . Сходящийся изокристалл над k -схемой X 0 состоит из модуля над B ⊗ Q для каждого аффинного расширения B , совместимого с отображениями между аффинными увеличениями ( Faltings, 1990 ).
F-isocrystal (сокращенно фробениусовая isocrystal) является isocrystal вместе с изоморфизмом к его откату под морфизмом Фробениуса.
Рекомендации
- Бертело, Пьер ; Огуз, Артур (1983), "F-isocrystals и когомологий де Рама I.", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 159-199, DOI : 10.1007 / BF01389319 , ISSN 0020-9910 , MR 0700767
- Крю, Ричард (1987), "F-изокристаллы и p-адические представления" , Алгебраическая геометрия, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика,. 46 , Providence, RI: Американское математическое общество . С. 111-138, DOI : 10,1090 / pspum / 046,2 / 927977 , ISBN 9780821814802, Руководство по ремонту 0927977
- де Шалит, Эхуд (2012), F-изокристаллы (PDF)
- Дьедонне, Жан (1955), "Группы Ли и hyperalgebras Ли над полем характеристики р> 0 IV.", American Journal математики , 77 (3): 429-452, DOI : 10,2307 / 2372633 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372633 , MR 0071718
- Фальтингс, Герд (1990), "F-изокристаллы на открытых многообразиях: результаты и предположения", Grothendieck Festschrift, Vol. II , Прогр. Math., 87 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 219–248, MR 1106900
- Гротендик, А. (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF).
- Манин, Ю. И. (1963), "Теория коммутативных формальных групп над полями конечной характеристики", Академия Наук СССР и Московское математическое общество. Успехи математических наук , 18 (6): 3–90, doi : 10.1070 / RM1963v018n06ABEH001142 , ISSN 0042-1316 , MR 0157972
- Мазур, Б. (1972), "Фробениус и фильтрация Ходжа", Бюл. Амер. Математика. Soc. , 78 (5): 653-667, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1972-12976-8 , МР 0330169
- Огуз, Артур (1984), "F-isocrystals и когомологий де Рама II isocrystals Конвергентные..", Дюк математический журнал , 51 (4): 765-850, DOI : 10,1215 / S0012-7094-84-05136-6 , ISSN 0012-7094 , MR 0771383