Уровень Ферми

Уровень Ферми из твердотельного тела является термодинамической работой требует , чтобы добавить один электрон к телу. Это термодинамическая величина, обычно обозначаемая для краткости µ или E _F^[1] . Уровень Ферми не включает работу, необходимую для удаления электрона, откуда бы он ни пришел. Точное понимание уровня Ферми - того, как он соотносится с электронной зонной структурой при определении электронных свойств, как он соотносится с напряжением и потоком заряда в электронной схеме, - необходимо для понимания физики твердого тела.

В теории зонной структуры , используемой в физике твердого тела для анализа уровней энергии в твердом теле, уровень Ферми можно рассматривать как гипотетический уровень энергии электрона, так что в термодинамическом равновесии этот уровень энергии будет иметь 50% -ную вероятность быть занятым в любой момент времени . ^{[ требуется пояснение ]} Положение уровня Ферми по отношению к зонным энергетическим уровням является решающим фактором в определении электрических свойств. Уровень Ферми не обязательно соответствует реальному уровню энергии (в диэлектрике уровень Ферми находится в запрещенной зоне), и при этом не требует наличия ленточной структуры. Тем не менее, уровень Ферми является точно определенной термодинамической величиной, и разницу в уровнях Ферми можно просто измерить с помощью вольтметра .

Измерение напряжения [ править ]

А вольтметр измеряет различия в уровне Ферми делится на заряд электрона .

Иногда говорят, что электрические токи вызываются разницей в электростатическом потенциале ( потенциал Гальвани ), но это не совсем так. ^[2] В качестве контрпримера, устройства из нескольких материалов, такие как p – n-переходы, содержат внутренние разности электростатических потенциалов в состоянии равновесия, но без какого-либо сопутствующего чистого тока; если к переходу прикреплен вольтметр, просто измеряется ноль вольт. ^[3] Очевидно, что электростатический потенциал - не единственный фактор, влияющий на поток заряда в материале - отталкивание Паули , градиенты концентрации носителей, электромагнитная индукция и тепловые эффекты также играют важную роль.

Фактически, величина, называемая напряжением, измеряемая в электронной схеме, имеет простую связь с химическим потенциалом электронов (уровнем Ферми). Когда выводы вольтметра присоединены к двум точкам в цепи, отображаемое напряжение является мерой общей работы, передаваемой, когда единичному заряду позволяют перемещаться из одной точки в другую. Если простой провод подключен между двумя точками с разным напряжением (образуя короткое замыкание ), ток будет течь от положительного к отрицательному напряжению, преобразовывая имеющуюся работу в тепло.

Уровень Ферми тела выражает работу, необходимую для добавления к нему электрона, или, в равной степени, работу, полученную при удалении электрона. Следовательно, V _A - V _B , наблюдаемая разница в напряжении между двумя точками, A и B , в электронной схеме точно связана с соответствующей химической разностью потенциалов µ _A - µ _B на уровне Ферми по формуле ^[4]

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {A}} -V _ {\ mathrm {B}} = {\ frac {\ mu _ {\ mathrm {A}} - \ mu _ {\ mathrm {B}}} {- e }}}

где −e - заряд электрона .

Из приведенного выше обсуждения видно, что электроны будут перемещаться от тела с высоким µ (низкое напряжение) к низкому µ (высокое напряжение), если будет обеспечен простой путь. Этот поток электронов вызовет увеличение нижнего µ (из-за зарядки или других эффектов отталкивания) и аналогичным образом приведет к уменьшению более высокого µ . В конце концов, µ станет равным одному и тому же значению в обоих телах. Это приводит к важному факту, касающемуся равновесного (выключенного) состояния электронной схемы:

Электронная схема в термодинамическом равновесии будет иметь постоянный уровень Ферми во всех соединенных частях. ^{[ согласно кому? ]}

Это также означает, что напряжение (измеренное с помощью вольтметра) между любыми двумя точками будет равно нулю в состоянии равновесия. Обратите внимание, что термодинамическое равновесие здесь требует, чтобы цепь была подключена внутри и не содержала никаких батарей или других источников питания, а также каких-либо изменений температуры.

Ленточная структура твердых тел [ править ]

Заполнение электронных состояний в различных типах материалов при равновесии . Здесь высота - это энергия, а ширина - это плотность доступных состояний для определенной энергии в указанном материале. Оттенок соответствует распределению Ферми – Дирака ( черный = все состояния заполнены, белый = состояния не заполнены). В металлах и полуметаллах на уровень Ферми Е _F лежит внутри по меньшей мере одной полосы. В изоляторах и полупроводниках уровень Ферми находится внутри запрещенной зоны ; однако в полупроводниках зоны достаточно близки к уровню Ферми, чтобы их можно было считатьтермически заполнены электронами или дырками .

редактировать

Распределение Ферми-Дирака в зависимости от энергии при μ = 0,55 эВ и для различных температур в диапазоне 50K ≤ T ≤ 375K.

{\ Displaystyle е (\ эпсилон) \}

{\ displaystyle \ epsilon \}

В зонной теории твердых тел, электроны считаются занимает ряд полос , состоящие из энергии собственных состояний одночастичных каждого помеченных е . Хотя это изображение одной частицы является приблизительным, оно значительно упрощает понимание электронного поведения и обычно дает правильные результаты при правильном применении.

Распределение Ферми-Дирака , дает вероятность того, что (при термодинамическом равновесии ) состояние , имеющее энергии е занимаемую электрона: ^[5] ${\ displaystyle f (\ epsilon)}$

f(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}

Здесь, Т представляет собой абсолютную температуру , и к является постоянная Больцмана . Если есть состояние на уровне Ферми ( ϵ = µ ), то это состояние будет иметь 50% шанс быть занятым. Распределение показано на левом рисунке. Чем ближе f к 1, тем выше шанс, что это состояние занято. Чем ближе f к 0, тем выше вероятность, что это состояние пусто.

Расположение µ в ленточной структуре материала важно для определения электрического поведения материала.

В изоляторе , М лежит в пределах большой шириной запрещенной зоны , вдали от каких - либо государств, которые способны проводить ток.
В металле, полуметалле или вырожденном полупроводнике µ находится внутри делокализованной зоны. Большое количество состояний рядом с μ являются термически активными и легко переносят ток.
В собственном или слаболегированном полупроводнике µ достаточно близко к краю зоны, так что рядом с этим краем зоны находится небольшое количество термически возбужденных носителей.

В полупроводниках и полуметаллах положение µ относительно зонной структуры обычно можно в значительной степени контролировать с помощью легирования или стробирования. Эти элементы управления не изменяют µ, который фиксируется электродами, а заставляют всю структуру полосы перемещаться вверх и вниз (иногда также изменяя форму структуры полосы). Для получения дополнительной информации об уровнях Ферми полупроводников см. (Например) Sze. ^[6]

Ссылка на локальную зону проводимости, внутренний химический потенциал и параметр ζ [ править ]

Если символ ℰ используется для обозначения уровня энергии электронов , измеренный по отношению к энергии края его заключающей группы, е _С , то в общем случае мы имеем E эл = е - е _C . Мы можем определить параметр ζ ^[7], который ссылается на уровень Ферми по отношению к краю зоны:

\zeta =\mu -\epsilon _{\rm {C}}.

Отсюда следует, что функцию распределения Ферми – Дирака можно записать как

f({\mathcal {E}})={\frac {1}{e^{({\mathcal {E}}-\zeta )/kT}+1}}.

Зонная теория металлов первоначально была разработана Зоммерфельда, с 1927 года, который уделял большое внимание нижележащих термодинамики и статистической механики. Что сбивает с толку, в некоторых контекстах величина ζ, относящаяся к полосе, может называться уровнем Ферми , химическим потенциалом или электрохимическим потенциалом , что приводит к неоднозначности с глобальным уровнем Ферми. В этой статье для обозначения ζ используются термины « уровень Ферми - зона проводимости» или « внутренний химический потенциал» .

Пример изменения края зоны проводимости E _C на зонной диаграмме транзистора с высокой подвижностью электронов на основе гетероперехода GaAs / AlGaAs .

ζ напрямую связано с количеством активных носителей заряда, а также с их типичной кинетической энергией и, следовательно, напрямую участвует в определении локальных свойств материала (таких как электропроводность ). По этой причине принято обращать внимание на значение ζ, когда концентрируют внимание на свойствах электронов в одном однородном проводящем материале. По аналогии с энергетическими состояниями свободного электрона ℰ состояния является кинетической энергией этого состояния и ε _C является его потенциальной энергией . Имея это в виду, параметр ζ можно также назвать кинетической энергией Ферми .

В отличии от ц , параметра, z , , не является постоянная в равновесии, а скорее зависит от места к месту в материале из - за изменения в е _С , которая определяется такими факторами, как качество материала и примеси / присадки. Вблизи поверхности полупроводника или полуметалла ζ может сильно контролироваться внешними электрическими полями, как это делается в полевом транзисторе . В многополосном материале ζ может даже принимать несколько значений в одном месте. Например, в куске металлического алюминия есть две зоны проводимости, пересекающие уровень Ферми (даже больше зон в других материалах); ^[8] каждая полоса имеет различную краевую энергию,ϵ _C и другой ζ .

Значение ζ при нулевой температуре широко известно как энергия Ферми , иногда обозначаемая как ζ ₀ . Как ни странно (опять же), название энергия Ферми иногда используется для обозначения ζ при ненулевой температуре.

Температура выходит из равновесия [ править ]

Уровень Ферми μ и температура T являются четко определенными константами для твердотельного устройства в ситуации термодинамического равновесия, например, когда оно сидит на полке и ничего не делает. Когда устройство выводится из состояния равновесия и вводится в эксплуатацию, тогда, строго говоря, уровень Ферми и температура перестают быть четко определенными. К счастью, часто можно определить квазиуровень Ферми и квазитемпературу для данного местоположения, которые точно описывают заполнение состояний с точки зрения теплового распределения. Говорят, что устройство находится в квазиравновесном состоянии, когда и где такое описание возможно.

Квазиравновесный подход позволяет построить простую картину некоторых неравновесных эффектов, таких как электрическая проводимость куска металла (как результат градиента μ ) или его теплопроводность (как результат градиента T ). Квази- μ и квази- T могут изменяться (или не существовать вообще) в любой неравновесной ситуации, например:

Если в системе присутствует химический дисбаланс (как в батарее ).
Если система подвергается воздействию изменяющихся электромагнитных полей (например, конденсаторов , катушек индуктивности и трансформаторов ).
При освещении от источника света с другой температурой, например, солнца (как в солнечных батареях ),
Когда температура внутри устройства не постоянна (как в термопарах ),
Когда устройство было изменено, но у него не было достаточно времени для восстановления равновесия (как в пьезоэлектрических или пироэлектрических веществах).

В некоторых ситуациях, например, сразу после того, как на материал воздействует лазерный импульс высокой энергии, распределение электронов не может быть описано каким-либо тепловым распределением. В этом случае нельзя определить квазиуровень Ферми или квазитемпературу; электроны просто называют нетермализованными . В менее драматических ситуациях, например, в солнечном элементе при постоянном освещении, квазиравновесное описание может быть возможным, но требует присвоения различных значений μ и T различным полосам (зона проводимости по сравнению с валентной зоной). Даже в этом случае значения μ и T могут скачкообразно перескакивать через границу раздела материалов (например, p – n-переход) при подаче тока, и быть некорректно определенным на самом интерфейсе.

Технические характеристики [ править ]

Проблемы с терминологией [ править ]

Термин « уровень Ферми» в основном используется при обсуждении физики твердого тела электронов в полупроводниках , и точное использование этого термина необходимо для описания зонных диаграмм в устройствах, содержащих различные материалы с разными уровнями легирования. В этих условиях, однако, можно также видеть уровень Ферми используется неточно для обозначения диапазона ссылки уровня Ферми , ц - ε _C , называется ζ выше. Обычно ученые и инженеры ссылаются на «управление», « закрепление » или «настройку» уровня Ферми внутри проводника, хотя на самом деле они описывают изменения ϵ _C из-залегирование или полевой эффект . Фактически, термодинамическое равновесие гарантирует, что уровень Ферми в проводнике всегда фиксируется так, чтобы быть в точности равным уровню Ферми электродов; только зонная структура (не уровень Ферми) может быть изменена за счет легирования или полевого эффекта (см. также зонную диаграмму ). Аналогична неоднозначность существует между терминами, химическим потенциалом и электрохимическим потенциалом .

Также важно отметить, что уровень Ферми не обязательно то же самое, что энергия Ферми . В более широком контексте квантовой механики термин энергия Ферми обычно относится к максимальной кинетической энергии фермиона в идеализированном невзаимодействующем, свободном от беспорядка, ферми-газе с нулевой температурой . Эта концепция является очень теоретической (нет такого понятия, как невзаимодействующий ферми-газ, а нулевую температуру достичь невозможно). Однако он находит некоторое применение при приближенном описании белых карликов , нейтронных звезд , атомных ядер и электронов в металле.. С другой стороны, в области физики полупроводников и техники энергия Ферми часто используется для обозначения уровня Ферми, описанного в этой статье. ^[9]

Ссылка на уровень Ферми и расположение нулевого уровня Ферми [ править ]

Подобно выбору начала координат в системе координат, нулевая точка энергии может быть определена произвольно. Наблюдаемые явления зависят только от разницы энергий. Однако при сравнении отдельных тел важно, чтобы все они были последовательны в выборе местоположения нулевой энергии, иначе будут получены бессмысленные результаты. Поэтому может быть полезно явно указать общую точку, чтобы убедиться, что разные компоненты согласуются. С другой стороны, если контрольная точка по своей сути неоднозначна (например, «вакуум», см. Ниже), она вместо этого вызовет больше проблем.

Практичный и хорошо обоснованный выбор общей точки - это громоздкий физический проводник, такой как заземление или заземление. Такой проводник можно считать находящимся в хорошем термодинамическом равновесии, и поэтому его µ хорошо определено. Он обеспечивает резервуар для заряда, так что большое количество электронов может быть добавлено или удалено без возникновения эффектов зарядки. Он также имеет то преимущество, что он доступен, так что уровень Ферми любого другого объекта можно просто измерить с помощью вольтметра.

Почему не рекомендуется использовать «энергию в вакууме» в качестве опорного нуля [ править ]

Когда два изображенных здесь металла находятся в термодинамическом равновесии, как показано (равные уровни Ферми E _F ), электростатический потенциал вакуума ϕ не является плоским из-за разницы в работе выхода .

В принципе, можно было бы рассмотреть использование состояния неподвижного электрона в вакууме в качестве точки отсчета для энергий. Этот подход не рекомендуется, если только не нужно точно определить, где находится вакуум . ^[10] Проблема в том, что не все точки в вакууме эквивалентны.

При термодинамическом равновесии в вакууме обычно существует разность электрических потенциалов порядка 1 В ( потенциалы Вольта ). Источником этого изменения вакуумного потенциала является изменение работы выхода между различными проводящими материалами, подвергающимися воздействию вакуума. Электростатический потенциал вне проводника сильно зависит от материала, а также от выбранной поверхности (ориентации кристаллов, загрязнения и других деталей).

Параметр, который дает наилучшее приближение к универсальности, - это предложенный выше уровень Ферми с привязкой к Земле. Это также имеет то преимущество, что его можно измерить с помощью вольтметра.

Эффекты дискретной зарядки в небольших системах [ править ]

В случаях, когда «эффектами зарядки», обусловленными одним электроном, нельзя пренебречь, приведенные выше определения следует уточнить. Например, рассмотрим конденсатор, состоящий из двух одинаковых параллельных пластин. Если конденсатор не заряжен, уровень Ферми одинаков с обеих сторон, поэтому можно подумать, что для перемещения электрона с одной пластины на другую не требуется энергии. Но когда электрон перемещается, конденсатор становится (слегка) заряженным, поэтому на это требуется небольшое количество энергии. В обычном конденсаторе этим можно пренебречь, но в конденсаторе нанометрового размера это может быть более важным.

В этом случае необходимо уточнить термодинамическое определение химического потенциала, а также состояние устройства: электрически оно изолировано или подключено к электроду?

Когда тело способно обмениваться электронами и энергией с электродом (резервуаром), оно описывается большим каноническим ансамблем . Можно сказать, что величина химического потенциала $µ$ фиксируется электродом, а количество электронов $N$ на теле может колебаться. В этом случае химический потенциал тела - это бесконечно малое количество работы, необходимое для увеличения среднего числа электронов на бесконечно малую величину (даже если количество электронов в любой момент является целым числом, среднее число постоянно изменяется):
$\mu (\left\langle N\right\rangle ,T)=\left({\frac {\partial F}{\partial \left\langle N\right\rangle }}\right)_{T},$
где $F (N, T)$ - функция свободной энергии большого канонического ансамбля.
Если количество электронов в теле фиксировано (но тело по-прежнему термически связано с термостатом), то оно находится в каноническом ансамбле . Мы можем определить «химический потенциал» в этом случае буквально как работу, необходимую для добавления одного электрона к телу, которое уже имеет ровно $N$ электронов, ^[11]
$\mu '(N,T)=F(N+1,T)-F(N,T),$
где $F (N, T)$ - функция свободной энергии канонического ансамбля, альтернативно,
$\mu ''(N,T)=F(N,T)-F(N-1,T)=\mu '(N-1,T).$

Эти химические потенциалы не эквивалентны, $µ \neq µ ' \neq µ' '$ , за исключением термодинамического предела . Это различие важно для небольших систем, таких как те, которые демонстрируют кулоновскую блокаду . ^[12] Параметр $µ$ (т. Е. В случае, когда количество электронов может колебаться) остается точно связанным с напряжением вольтметра даже в небольших системах. Если быть точным, то уровень Ферми определяется не детерминированным событием зарядки одним зарядом электрона, а скорее статистическим событием зарядки бесконечно малой долей электрона.

Сноски и ссылки [ править ]

^ Киттель, Чарльз . Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Вайли.
^ Рисс, I (1997). «Что измеряет вольтметр?». Ионика твердого тела . 95 (3–4): 327–328. DOI : 10.1016 / S0167-2738 (96) 00542-5 .
^ С, Чжи-Tang (1991). Основы твердотельной электроники . World Scientific. п. 404 . ISBN 978-9810206376.
^ Датта, Supriyo (2005). Квантовый транспорт: от атома к транзистору . Издательство Кембриджского университета. п. 7. ISBN 9780521631457.
^ Киттель, Чарльз ; Герберт Кремер (1980-01-15). Теплофизика (2-е издание) . WH Freeman. п. 357. ISBN. 978-0-7167-1088-2.
^ Зи, С. М. (1964). Физика полупроводниковых приборов . Вайли. ISBN 978-0-471-05661-4.
^ Зоммерфельд, Арнольд (1964). Термодинамика и статистическая механика . Академическая пресса.
^ "3D сайт поверхности Ферми" . Phys.ufl.edu. 1998-05-27 . Проверено 22 апреля 2013 .
^ Например: D. Chattopadhyay (2006). Электроника (основы и приложения) . ISBN 978-81-224-1780-7.и Балкански и Уоллис (1 сентября 2000 г.). Физика полупроводников и приложения . ISBN 978-0-19-851740-5.
^ Технически можно рассматривать вакуум как изолятор, и фактически его уровень Ферми определяется, если его окружение находится в равновесии. Однако обычно уровень Ферми на два-пять электрон-вольт ниже электростатической потенциальной энергии вакуума, в зависимости от работы выхода соседнего материала стенки вакуума. Только при высоких температурах равновесный вакуум будет заселен значительным количеством электронов (это основа термоэлектронной эмиссии ).
^ Shegelski, Марк Р. (май 2004). «Химический потенциал идеального внутреннего полупроводника» . Американский журнал физики . 72 (5): 676–678. Bibcode : 2004AmJPh..72..676S . DOI : 10.1119 / 1.1629090 . Архивировано из оригинала на 2013-07-03.
^ Beenakker, CWJ (1991). «Теория кулоновских осцилляций проводимости квантовой точки» (PDF) . Physical Review B . 44 (4): 1646–1656. Bibcode : 1991PhRvB..44.1646B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.44.1646 . ЛВП : 1887/3358 . PMID 9999698 .

[1] Киттель, Чарльз . Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Вайли.

[2] Рисс, I (1997). «Что измеряет вольтметр?». Ионика твердого тела . 95 (3–4): 327–328. DOI : 10.1016 / S0167-2738 (96) 00542-5 .

[3] С, Чжи-Tang (1991). Основы твердотельной электроники . World Scientific. п. 404 . ISBN 978-9810206376.

[4] Датта, Supriyo (2005). Квантовый транспорт: от атома к транзистору . Издательство Кембриджского университета. п. 7. ISBN 9780521631457.

[Kittel1980-5] Киттель, Чарльз ; Герберт Кремер (1980-01-15). Теплофизика (2-е издание) . WH Freeman. п. 357. ISBN. 978-0-7167-1088-2.

[6] Зи, С. М. (1964). Физика полупроводниковых приборов . Вайли. ISBN 978-0-471-05661-4.

[7] Зоммерфельд, Арнольд (1964). Термодинамика и статистическая механика . Академическая пресса.

[8] "3D сайт поверхности Ферми" . Phys.ufl.edu. 1998-05-27 . Проверено 22 апреля 2013 .

[9] Например: D. Chattopadhyay (2006). Электроника (основы и приложения) . ISBN 978-81-224-1780-7.и Балкански и Уоллис (1 сентября 2000 г.). Физика полупроводников и приложения . ISBN 978-0-19-851740-5.

[10] Технически можно рассматривать вакуум как изолятор, и фактически его уровень Ферми определяется, если его окружение находится в равновесии. Однако обычно уровень Ферми на два-пять электрон-вольт ниже электростатической потенциальной энергии вакуума, в зависимости от работы выхода соседнего материала стенки вакуума. Только при высоких температурах равновесный вакуум будет заселен значительным количеством электронов (это основа термоэлектронной эмиссии ).

[11] Shegelski, Марк Р. (май 2004). «Химический потенциал идеального внутреннего полупроводника» . Американский журнал физики . 72 (5): 676–678. Bibcode : 2004AmJPh..72..676S . DOI : 10.1119 / 1.1629090 . Архивировано из оригинала на 2013-07-03.

[12] Beenakker, CWJ (1991). «Теория кулоновских осцилляций проводимости квантовой точки» (PDF) . Physical Review B . 44 (4): 1646–1656. Bibcode : 1991PhRvB..44.1646B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.44.1646 . ЛВП : 1887/3358 . PMID 9999698 .

[1]