Метод конечных объемов для нестационарного потока

Нестационарные потоки характеризуются как потоки, в которых свойства жидкости зависят от времени. Это отражается в определяющих уравнениях, поскольку производная от свойств по времени отсутствует. Для изучения метода конечных объемов нестационарного течения существует несколько основных уравнений ^[1] >

Управляющее уравнение [ править ]

Уравнение сохранения для переноса скаляра в нестационарном потоке имеет общий вид ^[2]

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho \ phi} {\ partial t}} + \ operatorname {div} \ left (\ rho \ phi \ upsilon \ right) = \ operatorname {div} \ left (\ Gamma \ имя оператора {град} \ phi \ right) + S _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ rho}$это плотность и консервативная форма всего потока жидкости, это коэффициент диффузии и является источником. - чистая скорость истечения из жидкого элемента ( конвекция ), - скорость увеличения за счет диффузии , - скорость увеличения за счет источников.${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)}$${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle \operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)}$${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle S_{\phi }}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}}$- Скорость нарастания жидкого элемента (переходная),${\displaystyle \phi }$

Первый член уравнения отражает нестационарность течения и отсутствует в случае стационарных течений. Интегрирование в конечном объеме основного уравнения выполняется по контрольному объему, а также с конечным шагом по времени ∆t.

${\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n.{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}$

Объем контроля интеграции установившемся части уравнения похожа на стационарном состоянии интеграции основного уравнения в. Нам нужно сосредоточиться на интегрировании нестационарной составляющей уравнения. Чтобы получить представление о технике интегрирования, обратимся к одномерному нестационарному уравнению теплопроводности . ^[3]

${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial {\frac {k\partial T}{\partial x}}}{\partial x}}+S}$

${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\partial {\frac {k\partial T}{\partial x}}}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{e}-\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{w}\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}$

Теперь, если предположить, что температура в узле преобладает во всем контрольном объеме, левая часть уравнения может быть записана как ^[4]

${\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{O}\right)\Delta V}$

Используя схему обратного дифференцирования первого порядка , мы можем записать правую часть уравнения как

${\displaystyle \rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}$

Теперь, чтобы оценить правую часть уравнения, мы используем весовой параметр от 0 до 1 и записываем интегрирование${\displaystyle \theta }$${\displaystyle T_{P}}$

${\displaystyle I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}-\left(1-\theta \right){T_{P}}^{0}\right]\Delta t}$

Теперь точная форма окончательного дискретизированного уравнения зависит от значения . Поскольку дисперсия 0 << 1, схема, которая будет использоваться для расчета, зависит от значения${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle T_{P}}$${\displaystyle \Theta }$

Различные схемы [ править ]

1. Явная схема В явной схеме исходный член линеаризуется как . Мы заменяем, чтобы получить явную дискретизацию, например: ^[5]${\displaystyle b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}}$${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\left[{a_{P}}^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\right)\right]{T_{P}}^{0}+S_{u}}$

где . Стоит отметить, что правая часть содержит значения на старом временном шаге, и, следовательно, левая часть может быть вычислена путем прямого сопоставления по времени. Схема основана на обратном дифференцировании, и ее ошибка усечения ряда Тейлора имеет первый порядок по времени. Все коэффициенты должны быть положительными. Для постоянного k и равномерного шага сетки это условие можно записать как${\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}}$${\displaystyle \delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x}$

${\displaystyle \rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}}$

Это неравенство устанавливает жесткое условие для максимального временного шага, который может быть использован, и представляет собой серьезное ограничение для схемы. Повышение пространственной точности становится очень дорогостоящим, поскольку необходимо уменьшить максимально возможный временной шаг как квадрат ^[6]${\displaystyle \Delta x}$

2. Кривошипная схема Николсона : кривошипная схема Николсона является результатом настройки . Дискретизированное нестационарное уравнение теплопроводности принимает вид${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\right]+a_{W}\left[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\right]+\left[{a_{P}}^{0}-{\frac {a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\right]{T_{P}}^{0}+b}$

Где ${\displaystyle a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2}}}$

Поскольку в уравнении присутствует более одного неизвестного значения T на новом временном уровне, метод является неявным, и одновременные уравнения для всех узловых точек необходимо решать на каждом временном шаге. Хотя схемы, включающие схему Кранка-Николсона, безусловно стабильны для всех значений временного шага, более важно гарантировать, что все коэффициенты положительны для физически реалистичных и ограниченных результатов. Это так, если коэффициент при удовлетворяет следующему условию${\displaystyle {\frac {1}{2}}<\theta <1}$${\displaystyle {T_{P}}^{0}}$

${\displaystyle {a_{P}}^{0}=\left[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\right]}$

что приводит к

${\displaystyle \Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}}$

Кривошип Николсона основан на центральной разности и, следовательно, имеет второй порядок точности по времени. Общая точность вычислений зависит также от практики пространственного дифференцирования, поэтому схема Кранка-Николсона обычно используется в сочетании с пространственным центральным дифференцированием.

3. Полностью неявная схема, когда значение Ѳ установлено в 1, мы получаем полностью неявную схему. Дискретизированное уравнение: ^[7]

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0}+S_{u}}$

${\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}}$

Обе части уравнения содержат температуры на новом временном шаге, и система алгебраических уравнений должна быть решена на каждом временном уровне. Процедура временного марша начинается с заданного начального поля температур . Система уравнений решается после выбора временного шага . Далее решение присваивается${\displaystyle T^{0}}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{0}}$и процедура повторяется, чтобы продвинуть решение на следующий временной шаг. Видно, что все коэффициенты положительны, что делает неявную схему безусловно устойчивой для любого размера временного шага. Поскольку точность схемы только первого порядка по времени, требуются небольшие временные шаги для обеспечения точности результатов. Неявный метод рекомендуется для расчетов переходных процессов общего назначения из-за его надежности и безусловной устойчивости.

Ссылки [ править ]