Теория возмущений

В математике и прикладной математике теория возмущений включает методы поиска приближенного решения проблемы, начиная с точного решения связанной, более простой задачи. ^[1]^[2] Важнейшей особенностью метода является промежуточный шаг, который разбивает проблему на «разрешимую» и «пертурбативную» части. ^[3] В теории возмущений решение выражается в виде степенного ряда по малому параметру . ^[1]^[2] Первый член – это известное решение решаемой задачи. Последовательные члены ряда при более высоких степенях ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ обычно становятся меньше. Приближенное «решение возмущения» получается путем усечения ряда, обычно путем сохранения только первых двух членов, решения известной задачи и поправки возмущения «первого порядка».

Теория возмущений используется в самых разных областях и достигает своих наиболее сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля . Теория возмущений (квантовая механика) описывает использование этого метода в квантовой механике . Эта область в целом остается активно и активно исследуется в нескольких дисциплинах.

Теория возмущений развивает выражение для желаемого решения в терминах формального степенного ряда, известного как ряд возмущений по некоторому «малому» параметру, который количественно определяет отклонение от точно решаемой задачи. Главный член в этом степенном ряду представляет собой решение точно решаемой задачи, а последующие члены описывают отклонение в решении из-за отклонения от исходной задачи. Формально у нас есть для приближения к полному решению $A$ ряд по малому параметру (называемый здесь $ε$ ), подобный следующему:

В этом примере $A 0$ будет известным решением точно решаемой исходной задачи, а $A 1, A 2, ...$ представляют собой члены первого порядка , второго порядка и более высокого порядка , которые могут быть найдены итеративно механистическим методом. процедура. При малых $ε$ эти высшие члены ряда обычно (но не всегда) становятся последовательно меньшими. Приближенное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто за счет сохранения только первых двух членов, выражая окончательное решение как сумму начального (точного) решения и пертурбативной поправки «первого порядка».

Некоторые авторы используют нотацию с большой буквой O, чтобы указать порядок ошибки в приближенном решении: . ^[2] ${\ displaystyle A = A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} + O \ left (\ varepsilon ^ {2} \ right)}$