В логике первого порядка теория первого порядка задается набором аксиом на некотором языке. В этой записи перечислены некоторые из наиболее распространенных примеров, используемых в теории моделей, и некоторые их свойства.
Для каждой естественной математической структуры существует сигнатура σ, в которой перечислены константы, функции и отношения теории вместе с их арностями , так что объект, естественно, является σ-структурой . Для данной сигнатуры σ существует уникальный язык первого порядка L σ , который можно использовать для фиксации выразимых фактов первого порядка об σ-структуре.
Одним из немногих интересных свойств, которые можно сформулировать на языке чистой теории тождества, является бесконечность. Это дается бесконечным набором аксиом, утверждающих, что существует как минимум 2 элемента, существует как минимум 3 элемента и так далее:
Противоположное свойство конечности не может быть сформулировано в логике первого порядка для любой теории, которая имеет сколь угодно большие конечные модели: фактически любая такая теория имеет бесконечные модели по теореме компактности . В общем, если свойство может быть сформулировано конечным числом предложений логики первого порядка, то противоположное свойство также может быть сформулировано в логике первого порядка, но если свойство требует бесконечного числа предложений, то его противоположное свойство не может быть сформулировано. в логике первого порядка.
Любое утверждение чистой теории тождества эквивалентно либо σ( N ), либо ¬σ( N ) для некоторого конечного подмножества N неотрицательных целых чисел , где σ( N ) — утверждение о том, что количество элементов находится в N . Можно даже описать все возможные теории на этом языке следующим образом. Любая теория является либо теорией всех множеств мощности в N для некоторого конечного подмножества N неотрицательных целых чисел, либо теорией всех множеств, мощность которых не принадлежит N , для некоторого конечного или бесконечного подмножества Nнеотрицательных целых чисел. (Не существует теорий, модели которых являются в точности множествами мощности N , если N — бесконечное подмножество целых чисел.) Полные теории — это теории множеств мощности n для некоторого конечного n и теория бесконечных множеств.
Одним из частных случаев этого является противоречивая теория , определяемая аксиомой ∃ x ¬ x = x . Это совершенно хорошая теория со многими хорошими свойствами: она полна, разрешима, конечно аксиоматизируема и так далее. Единственная проблема в том, что у него вообще нет моделей. По теореме Гёделя о полноте это единственная теория (для любого данного языка), не имеющая моделей. [1] Это не то же самое, что теория пустого множества (в версиях логики первого порядка, которые допускают пустость модели): теория пустого множества имеет ровно одну модель, в которой нет элементов.