В статистике , Фишер консистенция , названный в честь Рональда Фишера , является желательным свойством оценки утверждающего , что если оценщик были рассчитаны с использованием всего населения , а не образец , можно было бы получить истинное значение оцениваемого параметра. [1]
Определение
Предположим, у нас есть статистическая выборка X 1 , ..., X n, где каждый X i следует кумулятивному распределению F θ, которое зависит от неизвестного параметра θ . Если оценку θ на основе выборки можно представить как функционал от эмпирической функции распределения F̂ n :
оценщик называется согласованным по Фишеру, если:
Пока X i являются взаимозаменяемыми , оценщик T, определенный в терминах X i, может быть преобразован в оценщик T ', который может быть определен в терминах F̂ n путем усреднения T по всем перестановкам данных. В результате оценки будет иметь тот же ожидаемое значение , как T и ее дисперсия не будет больше , чем у Т .
Если можно применить усиленный закон больших чисел , эмпирические функции распределения F̂ n поточечно сходятся к F θ , что позволяет нам выразить согласованность Фишера как предел - оценка согласована по Фишеру, если
Пример конечного населения
Предположим, что наша выборка получена из конечной совокупности Z 1 , ..., Z m . Мы можем представить нашу выборку размера n с точки зрения доли выборки n i / n, принимающей каждое значение в генеральной совокупности. Записывая нашу оценку θ как T ( n 1 / n , ..., n m / n ), популяционным аналогом оценки является T ( p 1 , ..., p m ), где p i = P ( X = Z i ). Таким образом, мы имеем согласованность Фишера, если T ( p 1 , ..., p m ) = θ.
Предположим, что интересующий параметр - это ожидаемое значение μ, а оценка - это выборочное среднее , которое можно записать
где I - индикаторная функция . Популяционным аналогом этого выражения является
так что у нас есть последовательность Фишера.
Роль в оценке максимального правдоподобия
Максимизация функции правдоподобия L дает оценку, согласованную по Фишеру для параметра b, если
Связь с асимптотической непротиворечивостью и беспристрастностью
Термин согласованность в статистике обычно относится к асимптотически согласованной оценке . Последовательность Фишера и асимптотическая непротиворечивость - это разные понятия, хотя оба стремятся определить желаемое свойство оценщика. Хотя многие оценщики согласованы в обоих смыслах, ни одно определение не охватывает другого. Например, предположим, что мы берем оценку T n, которая является одновременно согласованной по Фишеру и асимптотически согласованной, а затем формируем T n + E n , где E n - детерминированная последовательность ненулевых чисел, сходящаяся к нулю. Эта оценка является асимптотически согласованной, но не согласованной по Фишеру для любого n . В качестве альтернативы, возьмите последовательность согласованных оценок Фишера S n , затем определите T n = S n для n
Выборочное среднее - это согласованная и несмещенная по Фишеру оценка среднего генерального значения, но не все согласованные по Фишеру оценки являются несмещенными. Предположим, мы наблюдаем образец из равномерного распределения на (0, θ) и хотим оценить θ. Максимум выборки согласован по Фишеру, но смещен вниз. И наоборот, дисперсия выборки - это несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности, но не согласованная по Фишеру.
Роль в теории принятия решений
Функция потерь согласована по Фишеру, если совокупность, минимизирующая риск, приводит к правилу оптимального решения Байеса. [5]
Рекомендации
- Перейти ↑ Fisher, RA (1922). «О математических основах теоретической статистики» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера . 222 (594–604): 309–368. DOI : 10,1098 / rsta.1922.0009 . JFM 48.1280.02 . JSTOR 91208 .
- ^ Кокс, Д. Р., Хинкли Д. В. (1974) Теоретическая статистика , Чепмен и Холл, ISBN 0-412-12420-3 . (определено на стр. 287)
- ^ Юречкова, Яна ; Ян Пичек (2006). Прочные Статистические методы с R . CRC Press. ISBN 1-58488-454-1.
- ^ http://economics.about.com/library/glossary/bldef-fisher-consistency.htm
- ^ http://www.stat.osu.edu/~yklee/881/consistency.pdf