Обрыв жидкой нити

Разрыв потока жидкости - это процесс, при котором единая масса жидкости распадается на несколько более мелких жидких масс. Процесс характеризуется удлинением жидкой массы с образованием тонких нитевидных областей между более крупными узелками жидкости. Нитевидные области продолжают истончаться, пока не разорвутся, образуя отдельные капельки жидкости.

Разрыв нити происходит, когда две жидкости или жидкость в вакууме образуют свободную поверхность с поверхностной энергией . Если имеется большая площадь поверхности, чем минимум, необходимый для удержания объема жидкости, система имеет избыток поверхностной энергии . Система, не находящаяся в состоянии минимальной энергии, будет пытаться перестроиться так, чтобы перейти к состоянию с более низкой энергией, что приведет к распаду жидкости на более мелкие массы, чтобы минимизировать поверхностную энергию системы за счет уменьшения площади поверхности. Точный результат процесса обрыва нити зависит от поверхностного натяжения , вязкости , плотности и диаметра нити, подвергающейся разрыву.

История [ править ]

Исследование образования капель имеет долгую историю, впервые восходящую к работам Леонардо да Винчи, который писал: ^[1]

«Как вода имеет прочность сама по себе и сцепление между ее частицами. […] Это видно в процессе отделения капли от остатка, при этом остаток растягивается, насколько это возможно, под тяжестью вытягивающейся капли. это; и после того, как капля была отделена от этой массы, масса возвращается вверх с движением, противоположным природе тяжелых вещей ".

Таким образом, он правильно объяснил падение капель гравитацией, а механизм разрыва нити - сцеплением молекул воды.

Первый правильный анализ разрыва нити в жидкости был качественно определен Томасом Янгом и математически Пьером-Симоном Лапласом между 1804 и 1805 годами. ^{[2] [3]} Они правильно приписали причину разрыва нити свойствам поверхностного натяжения . Более того, они также сделали вывод о важности средней кривизны для создания избыточного давления в потоке жидкости. Проведя свой анализ, они показали, что поверхностное натяжение может вести себя двумя способами: упругий механизм, который может поддерживать висящую каплю, и механизм давления из-за капиллярного давления, который способствует разрыву нити.

В 1820-х годах итальянский физик и инженер-гидротехник Джорджио Бидоне изучал деформацию струй воды, выходящих из отверстий различной формы. ^[4] В 1833 году Феликс Савар провел экспериментальную работу, применив стробоскопическую технику для количественного измерения разрыва нити. ^[5] Он отметил, что расставание - это спонтанный процесс, происходящий без внешних стимулов. Эта работа позволила ему определить, что капли образуются из струи, истекающей из резервуара с определенной скоростью, обратно пропорциональной радиусу сопла и пропорциональной давлению в резервуаре. Эти наблюдения облегчили работу Джозефа Плато , которая установила связь между разрывом струи иповерхностная энергия . ^[6] Плато смог определить длину волны самого нестабильного возмущения в потоке жидкости, которая позже была пересмотрена лордом Рэлеем для учета динамики струи.

Поскольку поверхностное возмущение становится большим, необходимо применять нелинейную теорию. Экспериментально поведение струй с большими возмущениями исследовали Магнус и Ленард . ^{[7] [8]} Их эксперименты помогли охарактеризовать спутниковые капли, капли, которые образуются в дополнение к большой основной капле, благодаря внедрению высокоскоростной фотографии. Высокоскоростная фотография в настоящее время является стандартным методом экспериментального анализа обрыва нити.

С появлением большей вычислительной мощности численное моделирование начало заменять экспериментальные усилия в качестве основного средства понимания разрушения жидкости. Однако остается трудность точно отслеживать свободную поверхность многих жидкостей из-за ее сложного поведения. Наибольший успех был достигнут с жидкостями с низкой и высокой вязкостью, где метод граничного интеграла может быть использован, поскольку функция Грина известна для обоих случаев. Доммермут и Юэ охарактеризовали этим методом безвихревое, невязкое течение, как и Шулькес. ^{[9] [10]} Янгрен и Акривос рассмотрели поведение пузырька в жидкости с высокой вязкостью. ^[11] Стоун и Лил расширили эту первоначальную работу, чтобы рассмотреть динамику отдельных капель.^[12] Для жидкостей средней вязкости требуется полное моделирование с использованием уравнений Навье-Стокса с методами определения свободной поверхности, такими как уровень и объем жидкости. Самая ранняя работа с полным моделированием Навье-Стокса была сделана Фроммом и сосредоточилась на струйной технологии . ^[13] Такое моделирование остается активной областью исследований.

Физический механизм разрыва потока [ править ]

Процесс разрушения в потоке или струе жидкости начинается с развития небольших возмущений на свободной поверхности жидкости. Это известно как линейная теория разрыва потока жидкости. Эти возмущения присутствуют всегда и могут быть вызваны многочисленными источниками, включая колебания емкости с жидкостью или неравномерность напряжения сдвига на свободной поверхности. Как правило, эти возмущения принимают произвольную форму, поэтому их трудно учесть строго. Поэтому полезно использовать преобразование Фурье возмущений, чтобы разложить произвольные возмущения на возмущения с различными длинами волн на поверхности нити. При этом это позволяет определить, какие длины волн возмущения будут расти, а какие затухать со временем. ^[14]

Увеличение и уменьшение длин волн можно определить, исследуя изменение давления, которое длина волны возмущения оказывает на внутреннюю часть потока жидкости. Изменения внутреннего давления резьбы вызываются капиллярным давлением при деформации свободной поверхности резьбы. Капиллярное давление зависит от средней кривизныграницы раздела в заданном месте на поверхности, то есть давление зависит от двух радиусов кривизны, которые определяют форму поверхности. В пределах утоненной области жидкой нити, подвергающейся разрыву, первый радиус кривизны меньше, чем радиус кривизны в утолщенной области, что приводит к градиенту давления, который будет стремиться вытеснять жидкость из истонченных областей в утолщенные. Однако второй радиус кривизны остается важным для процесса разрушения. Для некоторых длин волн возмущения эффект второго радиуса кривизны может преодолеть эффект давления первого радиуса кривизны, вызывая большее давление в утолщенных областях, чем в утоненных областях. Это подтолкнет жидкость обратно к истонченным участкам и вернет нити ее первоначальную, неизменную форму. Тем не мение,для других длин волн возмущения капиллярное давление, вызванное вторым радиусом кривизны, будет усиливать давление первого радиуса кривизны. Это приведет к вытеснению жидкости из утонченных участков в утолщенные и будет способствовать дальнейшему разрыву нити.

Таким образом, длина волны возмущения является критическим параметром при определении того, будет ли данный поток жидкости распадаться на меньшие массы жидкости. Строгое математическое исследование длин волн возмущения может привести к соотношению, показывающему, какие длины волн являются стабильными для данного потока, а также какие длины волн возмущения будут расти наиболее быстро. Размер жидких масс, возникающих в результате разрыва потока жидкости, можно приблизительно определить по длинам волн возмущения, которые нарастают наиболее быстро.

Нелинейное поведение [ править ]

В то время как линейная теория полезна при рассмотрении роста малых возмущений на свободной поверхности, когда возмущения растут и имеют значительную амплитуду, нелинейные эффекты начинают доминировать в поведении развала. Нелинейное поведение нити определяет ее окончательный разрыв и в конечном итоге определяет окончательную форму и количество образующихся жидких масс.

Нелинейность фиксируется с помощью самоподобия . Самоподобие предполагает, что поведение потока жидкости, когда радиус приближается к нулю, такое же, как поведение потока жидкости, когда он имеет некоторый конечный радиус. Детальное понимание нелинейного поведения потока требует использования асимптотических разложений для создания соответствующего поведения масштабирования. Были найдены многочисленные решения нелинейного поведения потоков текучей среды, основанные на силах, которые актуальны в определенных обстоятельствах. ^{[15] [16] [17]}

Важные параметры [ править ]

Как жидкость нить или струя подвергается Распад определяется несколькими параметрами , среди которых число Рейнольдса , то число Вебера , число Ohnesorge и возмущение длины волны . Хотя эти числа являются обычными в механике жидкости, параметры, выбранные в качестве шкалы, должны соответствовать обрыву резьбы. Чаще всего выбирается масштаб длины - это радиус потока жидкости, а за скорость чаще всего берется скорость движения жидкости в объеме. Однако эти масштабы могут меняться в зависимости от характеристик рассматриваемой задачи.

Число Рейнольдса - это соотношение между эффектами инерции и вязкости внутри резьбы. Для больших чисел Рейнольдса эффекты движения нити намного больше, чем вязкая диссипация. Вязкость оказывает минимальное демпфирующее действие на резьбу. Для малых чисел Рейнольдса вязкая диссипация велика, и любые возмущения быстро затухают из резьбы.

Число Вебера - это соотношение между эффектами инерции и поверхностного натяжения резьбы. Когда число Вебера велико, инерция резьбы велика, что препятствует тенденции поверхностного натяжения к сглаживанию изогнутых поверхностей. Для малых чисел Вебера изменения капиллярного давления из-за поверхностных возмущений велики, и поверхностное натяжение доминирует над поведением нити.

Число Онезорге - это соотношение между эффектами вязкости и поверхностного натяжения в нити. Поскольку это устраняет эффекты инерции и необходимость в шкале скоростей, часто бывает удобнее выражать масштабные соотношения в терминах числа Онезорге, а не числа Рейнольдса и Вебера по отдельности.

Длина волны возмущения - это характерная длина возмущения на поверхности струи, предполагая, что любое произвольное возмущение может быть разложено с помощью преобразования Фурье на его составляющие. Длина волны возмущения имеет решающее значение для определения того, будет ли конкретное возмущение расти или затухать со временем.

Особые случаи [ править ]

Линейная стабильность невязких жидкостей [ править ]

Линейная стабильность жидкостей с низкой вязкостью была впервые получена Плато в 1873 году. ^[14] Однако его решение стало известно как неустойчивость Рэлея-Плато из-за расширения теории лордом Рэлеем на жидкости с вязкостью. Неустойчивость Рэлея-Плато часто используется как вводный случай для гидродинамической устойчивости, а также для анализа возмущений.

Плато рассматривал устойчивость потока жидкости, когда присутствовали только эффекты инерции и поверхностного натяжения. Разложив произвольное возмущение на свободной поверхности на составляющие его гармоники / длины волн, он смог вывести условие устойчивости струи в терминах возмущения:

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {\ sigma k} {\ rho a ^ {2}}} {\ frac {I_ {1} (ka)} {I_ {0} (ka)}} \ left (1-k ^ {2} a ^ {2} \ right),}$

где ω представляет собой скорость роста возмущения, σ является поверхностным натяжением жидкости, к это волновое число возмущений, ρ представляет собой плотность жидкости, представляет начальный радиус невозмущенной жидкости, и я это модифицированная функция Бесселя из первый вид. Вычислив скорость роста как функцию волнового числа, можно определить, что наиболее быстро растущая длина волны возмущения имеет место при:

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {max}} \ приблизительно 9.02a.}$

Длина волны максимальной нестабильности увеличивается с увеличением радиуса потока жидкости. Что важно, нестабильные режимы возможны только когда:

${\ displaystyle ka <1.}$

Линейная устойчивость вязких жидкостей [ править ]

Рейнольдс, а позже Томотика расширили работу Плато, чтобы рассмотреть линейную стабильность вязких нитей. Рэлей решил устойчивость вязкой нити вязкости без присутствия внешней жидкости. ^[18] Томокита решил проблему устойчивости потока жидкости в присутствии внешней жидкости с собственной вязкостью . ^[19] Он рассмотрел три случая, когда вязкость потока жидкости была намного больше, чем вязкость внешней среды, вязкость внешней среды была намного больше, чем вязкость потока жидкости, и общий случай, когда жидкости имеют произвольную вязкость.${\ displaystyle \ mu _ {A}}$${\ displaystyle \ mu _ {B}}$

Жидкая нить высоковязкая [ править ]

В предельном случае, когда поток жидкости намного более вязкий, чем внешняя среда, вязкость внешней среды полностью падает от скорости роста. Таким образом, скорость роста становится функцией только начального радиуса нити, длины волны возмущения, поверхностного натяжения нити и вязкости нити.

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(k^{2}a^{2}-1\right)}{2a\mu _{A}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}I_{0}^{2}(ka)/I_{1}^{2}(ka)}}}$

Построив это график, можно обнаружить, что самые длинные волны являются наиболее нестабильными. Что важно, можно отметить, что вязкость потока жидкости не влияет на то, какие длины волн будут стабильными. Вязкость действует только на уменьшение скорости роста или затухания данного возмущения со временем.

Примеры того, когда это применимо, - это когда почти любая жидкость подвергается разрыву нити / струи в воздушной среде.

Внешняя жидкость высоковязкая [ править ]

В предельном случае, когда внешняя среда потока текучей среды намного более вязкая, чем сама резьба, вязкость потока текучей среды полностью падает от скорости роста возмущения. Скорость роста, таким образом, становится функцией только начального радиуса нити, длины волны возмущения, поверхностного натяжения нити, вязкости внешней среды и функций Бесселя второго порядка второго рода.

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}K_{0}^{2}(ka)/K_{1}^{2}(ka)}}}$

Если бы кто-то изобразил скорость роста как функцию длины волны возмущения, можно было бы обнаружить, что наиболее нестабильные длины волн снова возникают на самых длинных волнах, и что вязкость внешней среды будет действовать только для уменьшения того, насколько быстро возмущение будет расти или распадаться во времени.

Примеры того, когда это применимо, - когда пузырьки газа попадают в жидкость или когда вода попадает в мед.

Общий случай - произвольный коэффициент вязкости [ править ]

Общий случай для двух вязких жидкостей решить напрямую гораздо сложнее. Томотика выразил свое решение так:

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}\Phi (ka)}$

где было определено как:${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (ka)={}&{\frac {N(ka)}{D(ka)}}\\N(ka)={}&I_{1}(ka)\Delta _{1}-\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{2}\\D(ka)={}&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{1}-{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)I_{1}(ka)-kaI_{0}(ka)\right\}\Delta _{2}\\&-\{kaK_{0}(ka)+K_{1}(ka)\}\Delta _{3}-\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)K_{1}(ka)+kaK_{0}(ka)\right\}\Delta _{4}\end{aligned}}}$

Эти коэффициенты наиболее легко выражены как детерминанты следующих матриц:${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

Полученное решение остается функцией вязкости резьбы и внешней среды, а также длины волны возмущения. Наиболее нестабильное сочетание вязкости и возмущения возникает при с .${\displaystyle \mu _{A}/\mu _{B}\approx 0.28}$${\displaystyle \lambda \approx 10.66a}$

Для большинства приложений использование общего случая не требуется, поскольку две рассматриваемые жидкости имеют существенно разные вязкости, что позволяет использовать один из предельных случаев. Однако в некоторых случаях, таких как смешивание масел или масел с водой, может потребоваться использование общего случая.

Формирование падения спутника [ править ]

Сателлитные капли, также известные как вторичные капли, представляют собой капли, образующиеся в процессе разрыва нити в дополнение к большой основной капле. Капли образуются, когда нить, на которой основная капля, свисающая с большей массы жидкости, сама отрывается от массы жидкости. Жидкость, содержащаяся в нити, может оставаться в виде единой массы или разламываться из-за возмущений отдачи, вызванных отрывом основной капли. Хотя образование спутниковых капель можно предсказать на основе свойств жидкости, их точное местоположение и объем предсказать невозможно. ^{[20] [21]}

В общем, вторичные капли являются нежелательным явлением, особенно в приложениях, где важно точное нанесение капель. Производство капель-сателлитов регулируется нелинейной динамикой проблемы вблизи конечных стадий разрыва нити.

Примеры [ править ]

В повседневной жизни существует множество примеров разрыва жидких нитей. Это одно из самых распространенных явлений механики жидкости, с которым мы сталкиваемся, и поэтому большинство из них мало думают о процессе.

Поток из крана [ править ]

Капля воды - обычное дело. Когда вода покидает кран, нить, прикрепленная к крану, начинает спускаться вниз, в конечном итоге до такой степени, что основная капля отрывается от поверхности. Нить не может достаточно быстро втягиваться в кран, чтобы предотвратить разрыв, и поэтому она распадается на несколько небольших спутниковых капель.

Пузырьки воздуха [ править ]

Пузырьки воздуха - еще одно распространенное явление распада. Когда воздух попадает в резервуар с жидкостью, например, в резервуар для рыбы, нить снова сужается в основании, образуя пузырь. Выдувание пузырей из соломинки в стакан ведет себя примерно так же.

Эксперимент с падением высоты звука [ править ]

Эксперимент падения тона является известным жидкостью Распада эксперимента с использованием высокого вязкого пека. Скорость распада снижена до такой степени, что с 1927 года выпало всего 11 капель.

Капли меда [ править ]

Мед достаточно вязкий, поэтому поверхностные возмущения, приводящие к разрыву, почти полностью поглощаются медовыми нитями. Это приводит к образованию длинных нитей меда, а не отдельных капель.

Ссылки [ править ]