Условия Фрица Джона

Условия Фрица-Джона (сокр. условия FJ ) в математике являются необходимым условием оптимальности решения в нелинейном программировании . ^[1] Они используются в качестве леммы при доказательстве условий Каруша–Куна–Таккера , но важны сами по себе.

где ƒ — минимизируемая функция , ограничения -неравенства и ограничения - равенства, и где, соответственно, и — наборы индексов неактивных , активных и ограничений-равенств и является оптимальным решением , то существует ненулевой вектор так что: ${\ Displaystyle g_ {я}}$ ${\ displaystyle h_ {j}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I'}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {Е}}}$ ${\ Displaystyle х ^ {*}}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ displaystyle \ lambda = [\ lambda _ {0}, \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ dots, \ lambda _ {n}]}$

${\ Displaystyle \ лямбда _ {0}> 0}$ если и линейно независимы или , в более общем случае, когда выполняется квалификация ограничения . ${\ Displaystyle \ набла g_ {я} (я \ в {\ mathcal {I}}')}$ ${\ Displaystyle \ набла h_ {я} (я \ в {\ mathcal {E}})}$

Названные в честь Фрица Джона , эти условия эквивалентны условиям Каруша-Куна-Таккера в случае . При условие эквивалентно нарушению квалификации ограничения Мангасаряна–Фромовица (MFCQ). Другими словами, условие Фрица Джона эквивалентно условию оптимальности KKT или не-MFCQ. ^[^{нужна ссылка}^] ${\ Displaystyle \ лямбда _ {0}> 0}$ ${\ Displaystyle \ лямбда _ {0} = 0}$