γ не целое
Тогда y 1 = y | c = 0 и y 2 = y | c = 1 - γ . С
у нас есть
Следовательно, Пусть 'а 0 = и B ' 0 = B . потом
γ = 1
Тогда y 1 = y | с = 0 . Поскольку γ = 1, имеем
Следовательно,
Чтобы вычислить эту производную, пусть
потом
Но
Следовательно,
Дифференцируя обе части уравнения по c , получаем:
Следовательно,
Сейчас,
Следовательно,
При c = 0 получаем
Следовательно, y = C ′ y 1 + D ′ y 2 . Пусть C ' а 0 = C и D ' а 0 = D . потом
γ целое число и γ ≠ 1
γ ≤ 0
Значение является . Для начала мы упростим дело, сосредоточив особое значениеи обобщить результат на более позднем этапе. Мы будем использовать значение. Индикаторное уравнение имеет корень в, и мы видим из рекуррентного соотношения
Что, когда что в знаменателе есть фактор который исчезает, когда . В этом случае решение можно получить, положив где является константой.
При такой замене коэффициенты при исчезнуть, когда а также . Фактор в знаменателе рекуррентного отношения сокращается с числителем, когда . Следовательно, наше решение принимает вид
Если начать суммирование с скорее, чем Мы видим, что
Результат (как мы его написали) легко обобщается. Для, с участием тогда
Очевидно, если , тогда . Выражение для мы только что дали несколько неэлегантный вид, так как у нас есть мультипликативная константа помимо обычной произвольной мультипликативной константы . Позже мы увидим, что мы можем преобразовать вещи таким образом, чтобы эта дополнительная константа никогда не появлялась.
Другой корень указательного уравнения - , но это дает нам (не считая мультипликативной константы) тот же результат, что и при использовании . Это означает, что мы должны взять частную производную (относительно) обычного пробного решения, чтобы найти второе независимое решение. Если мы определим линейный оператор в виде
тогда с в нашем случае
(Мы настаиваем на том, чтобы .) Взяв частную производную по ,
Обратите внимание, что мы должны оценить частную производную в (а не в другом корне ). В противном случае правая часть в приведенном выше не равна нулю, и у нас нет решения. Фактор не отменяется для а также . Эта часть второго независимого решения имеет вид
Теперь мы можем обратить внимание на термины, в которых фактор отменяет. Первый
После этого рекуррентные соотношения дают нам
Так что если у нас есть
Нам нужны частные производные
Аналогично мы можем написать
а также
Становится ясно, что для
Здесь, это -я частичная сумма гармонического ряда , и по определению а также .
Собирая их вместе, на всякий случай у нас есть второе решение
Два независимых решения для (где является положительным целым числом), то
а также
Общее решение как обычно где а также - произвольные постоянные. Теперь, если читатель обратится к «стандартному решению» для этого случая, как, например, данное Абрамовицем и Стегуном [1] в п. 15.5.21 (которое мы запишем в конце следующего раздела), он обнаружит, что вНайденное нами решение несколько отличается от стандартного. В нашем решении для, первое слагаемое в бесконечной рядной части это термин в . Первый член соответствующего бесконечного ряда стандартного решения - это член в. Всрок отсутствует в стандартном решении. Тем не менее, эти два решения полностью эквивалентны.
Стандартный "вид решения" γ ≤ 0
Причина очевидного несоответствия между приведенным выше решением и стандартным решением Абрамовица и Стегуна [1] §15.5.21 состоит в том, что существует бесконечное количество способов представления двух независимых решений гипергеометрического ОДУ. Например, в последнем разделе мы заменили с участием . Предположим, однако, что нам дана некоторая функция которая непрерывна и конечна всюду на сколь угодно малом интервале около . Предположим, нам также даны
а также
Тогда, если вместо замены с участием мы заменяем с участием , мы по-прежнему находим допустимое решение гипергеометрического уравнения. Ясно, что у нас есть бесконечные возможности для. Однако существует «естественный выбор» для. Предположим, что это первый ненулевой член в первом решение с . Если мы сделаем взаимность , то у нас не будет мультипликативной константы, участвующей в как мы это делали в предыдущем разделе. С другой стороны, мы получим тот же результат, если «настаиваем» на том, что не зависит от , и найти используя рекуррентные отношения в обратном порядке.
Во-первых решение, функция дает нам (кроме мультипликативной константы) то же самое как мы получили бы, используя . Предположим, что с помощью приводит к двум независимым решениям а также . Далее мы будем обозначать решения, полученные при заданных в виде а также .
Второе решение требует взять частную производную по , и замена обычного пробного решения дает нам
Оператор - это тот же линейный оператор, который обсуждался в предыдущем разделе. То есть гипергеометрическое ОДУ представляется как.
Оценка левой стороны на даст нам второе независимое решение. Обратите внимание, что это второе решение на самом деле является линейной комбинацией а также .
Любые две независимые линейные комбинации ( а также ) из а также являются независимыми решениями .
Общее решение можно записать как линейную комбинацию а также так же хорошо, как линейные комбинации а также .
Мы рассмотрим частный случай, когда это было рассмотрено в последнем разделе. Если мы «настаиваем», то рекуррентные соотношения дают
а также
Все эти три коэффициента равны нулю при как и ожидалось. У нас есть три члена взяв частную производную по , обозначим сумму трех членов, содержащих эти коэффициенты, как где
Читатель может подтвердить, что мы можем привести это в порядок и упростить обобщение, положив
Далее мы можем перейти к другим коэффициентам, рекуррентные соотношения дают
Параметр дает нам
Это (помимо мультипликативной константы) такой же как . Теперь, чтобы найти нам нужны частные производные
потом
мы можем переписать это как
Вскоре картина становится ясной, и для
Ясно, что для ,
Бесконечная серия. является , где
Теперь мы можем записать (не считая произвольной константы) для
Некоторые авторы предпочитают выражать конечные суммы в этом последнем результате с помощью функции дигаммы. . В частности, используются следующие результаты
Здесь, - постоянная Эйлера-Маскерони . Также
С этими результатами мы получаем форму, данную Абрамамовицем и Стегуном §15.5.21, а именно
_1">The Standard" Form of the Solution γ > 1
In this section, we shall concentrate on the ``standard solution", and we shall not replace with . We shall put where . For the root of the indicial eqauation we had
where in which case we are in trouble if . For instance, if , the denominator in the recurrence relations vanishes for . We can use exactly the same methods that we have just used for the standard solution in the last section. We shall not (in the instance where ) replace with as this will not give us the standard form of solution that we are after. Rather, we shall ``insist" that as we did in the standard solution for in the last section. (Recall that this defined the function and that will now be replaced with .) Then we may work out the coefficients of to as functions of using the recurrence relations backwards. There is nothing new to add here, and the reader may use the same methods as used in the last section to find the results of [1]§15.5.18 and §15.5.19, these are
and
Note that the powers of in the finite sum part of are now negative so that this sum diverges as