Закон Гаусса

В физике и электромагнетизме закон Гаусса , также известный как теорема Гаусса о потоке (или иногда просто называемый теоремой Гаусса), представляет собой закон, связывающий распределение электрического заряда с результирующим электрическим полем . В своей интегральной форме он утверждает, что поток электрического поля от произвольной замкнутой поверхности пропорционален электрическому зарядуокруженный поверхностью, независимо от того, как распределяется этот заряд. Хотя одного закона недостаточно для определения электрического поля на поверхности, содержащей любое распределение заряда, это может быть возможно в случаях, когда симметрия требует однородности поля. Там, где такой симметрии нет, можно использовать закон Гаусса в его дифференциальной форме, который гласит, что расходимость электрического поля пропорциональна локальной плотности заряда.

Закон был впервые [1] сформулирован Жозефом-Луи Лагранжем в 1773 году [2] , а затем Карлом Фридрихом Гауссом в 1835 году [3] в контексте притяжения эллипсоидов. Это одно из четырех уравнений Максвелла , которое составляет основу классической электродинамики . [примечание 1] Закон Гаусса можно использовать для вывода закона Кулона [ 4] и наоборот.

Чистый электрический поток через любую гипотетическую замкнутую поверхность равен умножению чистого электрического заряда внутри этой замкнутой поверхности . [5]

Закон Гаусса имеет близкое математическое сходство с рядом законов в других областях физики, таких как закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации . Фактически любой закон обратных квадратов можно сформулировать аналогично закону Гаусса: например, сам закон Гаусса по существу эквивалентен закону обратных квадратов Кулона , а закон Гаусса для гравитации по существу эквивалентен закону обратных квадратов Ньютона. закон гравитации .

Закон может быть выражен математически с использованием векторного исчисления в интегральной и дифференциальной формах; оба эквивалентны, поскольку они связаны теоремой о дивергенции , также называемой теоремой Гаусса. Каждая из этих форм, в свою очередь, также может быть выражена двумя способами: в терминах отношения между электрическим полем Е и полным электрическим зарядом или в терминах поля электрического смещения D и свободного электрического заряда . [6]

Закон Гаусса можно сформулировать, используя либо электрическое поле E , либо электрическое поле смещения D. В этом разделе показаны некоторые формы с E ; форма с D ниже, как и другие формы с E .

Закон Гаусса в его интегральной форме наиболее полезен, когда из соображений симметрии можно найти замкнутую поверхность (ЗП), вдоль которой электрическое поле однородно. Тогда электрический поток является простым произведением площади поверхности и напряженности электрического поля и пропорционален общему заряду, заключенному на поверхности.
Электрический поток через произвольную поверхность пропорционален общему заряду, заключенному в этой поверхности.
Шар не содержит никаких зарядов. Электрический поток через его поверхность равен нулю.
Крошечный ящик Гаусса, стороны которого перпендикулярны поверхности проводника, используется для определения локального поверхностного заряда после расчета электрического потенциала и электрического поля путем решения уравнения Лапласа. Электрическое поле локально перпендикулярно эквипотенциальной поверхности проводника и равно нулю внутри; его поток πa 2 ⋅ E , по закону Гаусса равен πa 2 ⋅σ/ε 0 . Таким образом, σ=ε 0 E .