Гауссов пучок

Интенсивность смоделированного гауссова луча вокруг фокуса в момент времени , показывая два пика интенсивности для каждого волнового фронта .

Вверху: поперечный профиль интенсивности гауссова луча, распространяющегося за пределы страницы. Синяя кривая: амплитуда электрического (или магнитного) поля в зависимости от радиального положения от оси луча. Черная кривая - соответствующая интенсивность.

Профиль луча зеленого лазерного указателя мощностью 5 мВт, показывающий профиль ТЕМ ₀₀ .

В оптике , A гауссов пучок является пучок монохроматического электромагнитного излучения , амплитуда огибающей в поперечной плоскости задается функцией гауссовой ; это также подразумевает гауссов профиль интенсивности (освещенности). Эта основная (или TEM ₀₀ ) поперечная гауссова мода описывает предполагаемый выход большинства (но не всех) лазеров, поскольку такой луч может быть сфокусирован в наиболее концентрированное пятно. Когда такой луч перефокусируется линзой , изменяется поперечная фазовая зависимость; это приводит к другомуГауссов пучок. Профили амплитуды электрического и магнитного полей вдоль любого такого кругового гауссова пучка (для данной длины волны и поляризации ) определяются одним параметром: так называемой перетяжкой w ₀ . В любом положении z относительно перетяжки (фокуса) вдоль луча, имеющего заданное значение w ₀ , тем самым определяются амплитуды и фазы поля ^[1], как подробно описано ниже .

В приведенных ниже уравнениях используется балка с круглым поперечным сечением при всех значениях z ; это можно увидеть, заметив, что появляется единственный поперечный размер r . Балки с эллиптическими поперечными сечениями или с перетяжками в разных положениях по z для двух поперечных размеров ( астигматические пучки) также могут быть описаны как гауссовы пучки, но с разными значениями w ₀ и положением z = 0 для двух поперечных размеры x и y .

Произвольные решения параксиального уравнения Гельмгольца могут быть выражены как комбинации мод Эрмита – Гаусса (чьи профили амплитуд разделяются по x и y с использованием декартовых координат ) или аналогично как комбинации мод Лагерра – Гаусса (профили амплитуд разделяются по r и θ с использованием цилиндрических координат ). ^{[2] [3]} В любой точке балки zэти режимы включают тот же фактор Гаусса, что и основная гауссова мода, умножая дополнительные геометрические факторы для указанной моды. Однако разные моды распространяются с другой фазой Гуи , поэтому общий поперечный профиль из-за суперпозиции мод эволюционирует по оси z , тогда как распространение любой одиночной моды Эрмита – Гаусса (или Лагерра – Гаусса) сохраняет ту же форму вдоль луча.

Хотя существуют и другие возможные модальные разложения , эти семейства решений являются наиболее полезными для задач, связанных с компактными пучками, то есть там, где оптическая мощность довольно близко ограничена вдоль оси. Даже когда лазер не работает в основной гауссовой моде, его мощность обычно определяется среди мод низшего порядка с использованием этих разложений, поскольку пространственная протяженность мод более высокого порядка будет иметь тенденцию выходить за пределы резонатора (полости) лазера. . «Гауссов пучок» обычно подразумевает излучение, ограниченное основной (TEM ₀₀ ) гауссовой модой.

Математическая форма [ править ]

Гауссов пучок представляет собой поперечный электромагнитный (ТЕМ) режим . ^[4] Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением параксиального уравнения Гельмгольца . ^[1] Предполагая поляризацию в направлении x и распространение в направлении + z , электрическое поле в векторном (комплексном) обозначении определяется следующим образом:

${\ displaystyle {\ mathbf {E} (r, z)} = E_ {0} \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \, {\ frac {w_ {0}} {w (z)} } \ exp \ left ({\ frac {-r ^ {2}} {w (z) ^ {2}}} \ right) \ exp \ left (\! - i \ left (kz + k {\ frac { г ^ {2}} {2R (z)}} - \ psi (z) \ right) \! \ right)}$

где ^{[1] [5]}

r - радиальное расстояние от центральной оси балки,

z - осевое расстояние от фокуса луча (или «талии»),

i - мнимая единица ,

k = 2 πn / λ - волновое число (в радианах на метр) для длины волны λ в свободном пространстве , а n - показатель преломления среды, в которой распространяется луч,

E ₀ = E (0, 0) , амплитуда (и фаза) электрического поля в начале координат в момент времени 0,

w ( z ) - радиус, при котором амплитуды поля падают до 1 / e от их осевых значений (т. е. когда значения напряженности падают до 1 / e ² от их осевых значений) в плоскости z вдоль луча,

w ₀ = w (0) - радиус перетяжки ,

R ( z ) - радиус кривизны волновых фронтов пучка вточке z , а

ψ ( z ) - это фаза Гуи в точке z , дополнительный фазовый член помимо того, который можно отнести к фазовой скорости света.

Существует также ^{понятная} зависимость e ^iωt от времени ^при умножении таких векторных величин; фактическое поле в определенный момент времени и пространства определяется действительной частью этой комплексной величины.

Поскольку это решение основано на параксиальном приближении, оно не является точным для очень сильно расходящихся лучей. Приведенная выше форма справедлива в большинстве практических случаев, когда w ₀ ≫ λ / n .

Соответствующее распределение интенсивности (или освещенности ) дается выражением

${\ displaystyle I (r, z) = {| E (r, z) | ^ {2} \ over 2 \ eta} = I_ {0} \ left ({\ frac {w_ {0}} {w (z )}} \ right) ^ {2} \ exp \ left ({\ frac {-2r ​​^ {2}} {w (z) ^ {2}}} \ right),}$

где постоянная η - волновое сопротивление среды, в которой распространяется луч. Для свободного пространства η = η 0 ≈ 377 Ом. I ₀ = | E ₀ | ² /2 η интенсивность в центре пучка на его талии.

Если P ₀ - полная мощность луча,

${\ displaystyle I_ {0} = {2P_ {0} \ over \ pi w_ {0} ^ {2}}.}$

Увеличивающаяся ширина луча [ править ]

В позиции z вдоль луча (измеренной от фокуса) параметр размера пятна w задается гиперболическим соотношением : ^[1]

${\ displaystyle w (z) = w_ {0} \, {\ sqrt {1 + {\ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right)} ^ {2}} },}$

где ^[1]

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}$

называется диапазоном Рэлея, как обсуждается ниже.

Радиус луча w ( z ) в любом положении z вдоль луча связан с полной шириной на полувысоте (FWHM) в этом положении согласно: ^[6]

${\displaystyle w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}}$.

Кривизна волнового фронта [ править ]

Кривизна волновых фронтов является наибольшей на расстоянии Рэлея, z = ± z _R , по обе стороны от перетяжки, пересекая ноль на самой перетяжке. За пределами расстояния Рэлея | z | > z _R , она снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при z → ± ∞ . Кривизна часто выражается в терминах его обратной, R , с радиусом кривизны ; для основного гауссова пучка кривизна в позиции z определяется как:

${\displaystyle {\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},}$

поэтому радиус кривизны R ( z ) равен ^[1]

${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].}$

Радиус кривизны, обратный кривизне, меняет знак и является бесконечным в перетяжке балки, где кривизна проходит через ноль.

Фаза Гуи [ править ]

Гуй фаза представляет собой набег фазы постепенно приобрел пучок вокруг фокальной области. В позиции z фаза Гуи основного гауссова пучка определяется выражением ^[1]

${\displaystyle \psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).}$

Фаза Гуи приводит к увеличению видимой длины волны вблизи перетяжки ( z ≈ 0 ). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение следует понимать как явление ближнего поля, в котором отклонение от фазовой скорости света (как в точности применимо к плоской волне) очень мало, за исключением луча с большой числовой апертурой , в этом случае Кривизна волновых фронтов (см. предыдущий раздел) существенно изменяется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях волновое уравнение выполняется в каждой позиции.

Для основного гауссова луча фаза Гуи приводит к чистому расхождению фаз по отношению к скорости света, составляющему π радиан (таким образом, обращение фазы), когда человек движется от дальнего поля на одной стороне перетяжки к дальнему полю на с другой стороны. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Однако это имеет теоретическое значение и расширяет диапазон для гауссовых мод более высокого порядка . ^[7]

Эллиптические и астигматические лучи [ править ]

Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены лучи с положениями перетяжки, которые различаются для двух поперечных размеров, называемые астигматическими лучами. С этими лучами можно справиться, используя два приведенных выше уравнения эволюции, но с разными значениями каждого параметра для x и y и разными определениями точки z = 0 . Фаза Гуи - это одно значение, правильно вычисленное путем суммирования вклада каждого измерения, при этом фаза Гуи в пределах диапазона ± π / 4 вносится каждым измерением.

Эллиптический луч будет инвертировать свой коэффициент эллиптичности при распространении от дальнего поля к перетяжке. Размер, который был больше вдали от талии, будет меньше у талии.

Параметры луча [ править ]

Геометрическая зависимость полей гауссова луча определяется длиной волны света λ ( в диэлектрической среде, если не в свободном пространстве) и следующими параметрами луча , все из которых связаны, как подробно описано в следующих разделах.

Лучевая талия [ править ]

Форма гауссова луча с заданной длиной волны λ определяется только одним параметром - перетяжкой луча w ₀ . Это мера размера луча в точке его фокуса ( z = 0 в приведенных выше уравнениях), где ширина луча w ( z ) (как определено выше) является наименьшей (и аналогично, когда интенсивность на оси ( r = 0 ) является наибольшим). По этому параметру определяются другие параметры, описывающие геометрию балки. Сюда входят диапазон Рэлея z _R и асимптотическая расходимость пучка θ , как подробно описано ниже.

Диапазон Рэлея и конфокальный параметр [ править ]

Расстояние Рэлея или диапазон Рэлея z _R определяется с учетом размера перетяжки гауссова пучка:

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.}$

Здесь λ - длина волны света, n - показатель преломления. На расстоянии от перетяжки, равном диапазону Рэлея z _R , ширина луча w на √ 2 больше, чем в фокусе, где w = w ₀ , перетяжке луча. Это также означает, что интенсивность на оси ( r = 0 ) составляет половину максимальной интенсивности (при z = 0 ). В этой точке вдоль луча также оказывается наибольшая кривизна волнового фронта ( 1 / R ). ^[1]

Расстояние между двумя точками z = ± z _R называется конфокальным параметром или глубиной фокуса ^{[ цитата ]} луча.

Расхождение луча [ править ]

Хотя хвосты функции Гаусса на самом деле никогда не достигают нуля, для целей нижеследующего обсуждения «край» луча считается радиусом, где r = w ( z ) . Именно здесь интенсивность упала до 1 / e ² от значения на оси. Теперь при z ≫ z _R параметр w ( z ) линейно возрастает с увеличением z . Это означает, что вдали от перетяжки «край» балки (в указанном выше смысле) имеет конусовидную форму. Угол между этим конусом ( r = w ( z )), а ось луча ( r = 0 ) определяет расходимость луча:

${\displaystyle \theta =\lim _{z\rightarrow \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).}$

В параксиальном случае, как мы уже рассматривали, θ (в радианах) тогда приблизительно ^[1]

${\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}}$

где n - показатель преломления среды, через которую распространяется луч, а λ - длина волны в свободном пространстве. Общий угловой разброс расходящегося луча или угол при вершине описанного выше конуса определяется выражением

${\displaystyle \Theta =2\theta \ .}$

Тогда этот конус содержит 86% полной мощности гауссова луча.

Поскольку расходимость обратно пропорциональна размеру пятна, для данной длины волны λ гауссов пучок, сфокусированный в маленькое пятно, быстро расходится по мере удаления от фокуса. И наоборот, чтобы минимизировать расходимость лазерного луча в дальнем поле (и увеличить его пиковую интенсивность на больших расстояниях), он должен иметь большое поперечное сечение ( w ₀ ) на перетяжке (и, следовательно, большой диаметр в том месте, где он запускается, поскольку w ( z ) никогда не меньше w ₀ ). Эта связь между шириной луча и расходимостью является фундаментальной характеристикой дифракции и преобразования Фурье.который описывает дифракцию фраунгофера . Луч с любым заданным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной зависимости, но основная гауссова мода является особым случаем, когда произведение размера луча в фокусе и расходимости в дальней зоне меньше, чем в любом другом случае.

Поскольку модель гауссова пучка использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклонены более чем на 30 ° от оси пучка. ^[8] Из приведенного выше выражения для расходимости это означает, что модель гауссова пучка точна только для балок с перетяжкой больше примерно 2 λ / π .

Качество лазерного луча количественно оценивается произведением параметров луча (BPP). Для гауссова пучка BPP - это произведение расходимости пучка и размера перетяжки w ₀ . BPP реального луча получается путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне и получения их произведения. Отношение BPP реального луча к таковому у идеального гауссова луча на той же длине волны известно как M ² (« M в квадрате »). М ² для гауссова пучка равна единице. Все настоящие лазерные лучи имеют значения M ² больше единицы, хотя лучи очень высокого качества могут иметь значения, очень близкие к единице.

Числовая апертура гауссов пучок определяется как NA = п грех θ , где п есть показатель преломления среды , через которую распространяется луч. Это означает, что диапазон Рэлея связан с числовой апертурой соотношением

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }=nw_{0}/\mathrm {NA} .}$

Мощность и интенсивность [ править ]

Питание через апертуру [ править ]

С пучком, центрированным в апертуре , мощность P, проходящая через окружность радиуса r в поперечной плоскости в положении z, равна ^[9]

${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],}$

куда

${\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}$

- полная мощность, передаваемая лучом.

Для круга радиуса r = w ( z ) доля мощности, передаваемой через круг, равна

${\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865.}$

Точно так же около 90% мощности луча будет проходить через круг радиуса r = 1,07 × w ( z ) , 95% - через круг радиуса r = 1,224 × w ( z ) и 99% - через круг радиуса r. = 1,52 × w ( z ) . ^[9]

Пиковая интенсивность [ править ]

Пиковая интенсивность на осевом расстоянии z от перетяжки луча может быть рассчитана как предел вложенной мощности в круге радиуса r , деленный на площадь круга πr ^{2 при} сжатии круга:

${\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}.}$

Предел можно оценить с помощью правила L'Hôpital :

${\displaystyle I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}$

Комплексный параметр пучка [ править ]

Размер пятна и кривизна гауссова луча как функция z вдоль луча также могут быть закодированы в комплексном параметре луча q ( z ) ^{[10] [11], который} определяется как:

${\displaystyle q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.}$

Введение этого усложнения приводит к упрощению уравнения поля гауссова пучка, как показано ниже. Видно, что величина, обратная q ( z ), содержит кривизну волнового фронта и относительную осевую интенсивность в его действительной и мнимой частях соответственно: ^[10]

${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.}$

Комплексный параметр луча упрощает математический анализ распространения гауссова луча, особенно при анализе полостей оптического резонатора с использованием матриц переноса луча .

Затем, используя эту форму, более раннее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощается. Если мы назовем u относительной напряженностью поля эллиптического гауссова пучка (с эллиптическими осями в направлениях x и y ), то его можно разделить по x и y в соответствии с:

${\displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}}$

где q _x ( z ) и q _y ( z ) - комплексные параметры пучка в направлениях x и y .

Для общего случая кругового профиля пучка , д _х ( г ) = д _у ( г ) = д ( г ) и х ² + у ² = г ² , что дает ^[12]

${\displaystyle u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).}$

Волновое уравнение [ править ]

Как частный случай электромагнитного излучения , гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде ^[13], полученного путем объединения уравнений Максвелла для локон E и локон H , в результате чего:

${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},}$

где c - скорость света в среде , а U может относиться к вектору электрического или магнитного поля, поскольку любое конкретное решение для одного определяет другое. Решение с гауссовым пучком справедливо только в параксиальном приближении, то есть когда распространение волны ограничено направлениями в пределах небольшого угла оси. Без ограничения общности примем это направление за направление + z, и в этом случае решение U в общем случае можно записать в терминах u, которое не имеет временной зависимости и относительно плавно изменяется в пространстве, причем основное изменение пространственно соответствует волновому числу kв направлении z : ^[13]

${\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\;.}$

Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, можно существенно пренебречь ∂ ² u / ∂ z ² . Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, которые ортогональны направлению распространения ( z ), мы без ограничения общности считали, что поляризация находится в направлении x, так что теперь мы решаем скалярное уравнение для u ( x , у , z ) .

Подстановка этого решения в приведенное выше волновое уравнение дает параксиальное приближение к скалярному волновому уравнению: ^[13]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.}$

Следует отметить , что в Поль Дирак «s координат светового конуса , волновое уравнение из новообращенных:${\displaystyle x^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(z\pm ct)}$${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}U=2{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{-}\partial x^{+}}}.}$

Итак, для волны в форме единицы получается точное уравнение ${\displaystyle U(x,y,x^{+},x^{-})=u(x,y,x^{+})e^{ikx^{-}}\,{\hat {\mathbf {x} }}\;}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial x^{+}}}.}$

Таким образом, параксиальные решения оказываются точными в координатах светового конуса . ^[14]

Гауссовы пучки любой перетяжки w ₀ удовлетворяют этому волновому уравнению; это легче всего проверить, выразив волну в точке z через комплексный параметр пучка q ( z ), как определено выше. Есть много других решений. Как решения линейной системы , любая комбинация решений (с использованием сложения или умножения на константу) также является решением. Как отмечалось выше, фундаментальный гауссиан сводит к минимуму произведение минимального размера пятна и расходимости в дальней зоне. При поиске параксиальных решений, в частности, описывающих лазерное излучение, нев основной гауссовой моде мы будем искать семейства решений с постепенно увеличивающимися произведениями их расходимостей и минимальных размеров пятна. Два важных ортогональных разложения этого типа - это моды Эрмита-Гаусса или Лагерра-Гаусса, соответствующие прямоугольной и круговой симметрии соответственно, как подробно описано в следующем разделе. В обоих случаях основной гауссов пучок, который мы рассматривали, является модой низшего порядка.

Режимы высшего порядка [ править ]

Режимы Эрмита-Гаусса [ править ]

Можно разложить когерентный параксиальный пучок, используя ортогональный набор так называемых мод Эрмита-Гаусса , любая из которых дается как произведение множителя по x и множителя по y . Такое решение возможно благодаря разделимости по x и y в параксиальном уравнении Гельмгольца, записанном в декартовых координатах . ^[15] Таким образом, в режиме порядка ( l , m ), относящемся к направлениям x и y , амплитуда электрического поля в x , y , z может быть выдан:

${\displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),}$

где коэффициенты для зависимости x и y определяются как:

${\displaystyle u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),}$

где мы использовали комплексный параметр пучка q ( z ) (как определено выше) для пучка с перетяжкой w _{0 в} точке z от фокуса. В этой форме первый множитель является просто нормализующей константой, чтобы сделать набор u _J ортонормированным . Второй фактор - это дополнительная нормализация, зависящая от z, которая компенсирует расширение пространственной протяженности моды согласно w ( z ) / w ₀ (из-за последних двух факторов). Он также содержит часть фазы Гуи. Третий фактор - это чистая фаза, которая увеличивает фазовый сдвиг Гуи для более высоких порядков J.

Последние два фактора объясняют пространственное изменение по x (или y ). Четвертый фактор - полином Эрмита порядка J («форма физиков», т.е. H ₁ ( x ) = 2 x ), а пятый учитывает спад гауссовой амплитуды exp (- x ² / w ( z ) ² ) , хотя при использовании комплексного q в показателе степени это неочевидно . Расширение этой экспоненты также дает фазовый множитель в x, который учитывает кривизну волнового фронта ( 1 / R( z ) ) в точке z вдоль балки.

Режимы Эрмита-Гаусса обычно обозначаются «ТЕМ _lm »; основной гауссов пучок, таким образом, может называться ТЕМ ₀₀ (где ТЕМ является поперечным электромагнитным ). Умножив U _л ( х , г ) и у _т ( у , г ) , чтобы получить 2-D профиль режима, и удаление нормализации так , что ведущий фактор просто под названием Е ₀ , можно записать ( л , м ) режим в более доступной форме:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp {\Bigg (}{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}{\Bigg )}\exp {\Bigg (}{-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}}$

В этой форме параметр w ₀ , как и раньше, определяет семейство мод, в частности масштабирование пространственной протяженности перетяжки основной моды и всех других модовых структур при z = 0 . При условии, что w ₀ , w ( z ) и R ( z ) имеют те же определения, что и для основного гауссова пучка, описанного выше . Видно, что при l = m = 0 мы получаем основной гауссов пучок, описанный ранее (поскольку H ₀ = 1 ). Единственная конкретная разница в xи профили y при любом z обусловлены полиномиальными множителями Эрмита для порядковых номеров l и m . Однако есть изменение в эволюции фазы Гуи мод по z :

${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$

где комбинированный порядок моды N определяется как N = l + m . В то время как фазовый сдвиг Гуи для основной (0,0) гауссовой моды изменяется только на ± π / 2 радиан по всему z (и только на ± π / 4 радиан между ± z _R ), он увеличивается в N + раз. 1 для мод высших порядков. ^[7]

Гауссовы моды Эрмита с их прямоугольной симметрией особенно подходят для модального анализа излучения лазеров, конструкция резонатора которых асимметрична и имеет прямоугольную форму. С другой стороны, с лазерами и системами с круговой симметрией лучше обращаться с использованием набора мод Лагерра-Гаусса, представленного в следующем разделе.

Режимы Лагерра-Гаусса [ править ]

Кругосимметричные профили пучка (или лазеры с цилиндрически симметричными полостями) часто лучше всего решаются с помощью модального разложения Лагерра-Гаусса. ^[3] Эти функции записываются в цилиндрических координатах с использованием обобщенных полиномов Лагерра . Каждая поперечная мода снова обозначается двумя целыми числами, в данном случае радиальным индексом p ≥ 0 и азимутальным индексом l, который может быть положительным или отрицательным (или нулевым): ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}}$

где L _p ^l - обобщенные полиномы Лагерра . C^LG
_lp - необходимая константа нормализации:

${\displaystyle C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }rdr|u(r,\phi ,z)|^{2}=1}$.

w ( z ) и R ( z ) имеют те же определения, что и выше . Как и в случае с модами Эрмита-Гаусса более высокого порядка, величина фазового сдвига Гуи мод Лагерра-Гаусса преувеличена в N + 1 раз :

${\displaystyle \psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),}$

где в этом случае номер комбинированной моды N = | л | + 2 п . Как и раньше, изменения поперечной амплитуды содержатся в последних двух множителях в верхней строке уравнения, которое снова включает основной гауссовский спад в r, но теперь умноженный на полином Лагерра. Эффект режима вращения числа л , в дополнение к воздействию на полином Лагерра, в основном содержится в фазовый множитель ехр (- ilφ ) , в которой профиль пучка является расширенный (или замедляется) с помощью л полных 2 л фаз при одном повороте вокруг луча (в φ). Это пример оптического вихря с топологическим зарядом l , и его можно связать с орбитальным угловым моментом света в этом режиме.

Ince-Gaussian режимы [ править ]

В эллиптических координатах можно записать моды более высокого порядка, используя полиномы Инса . Четные и нечетные моды Инса-Гаусса задаются формулой ^[17]

${\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],}$

где ξ и η - радиальная и угловая эллиптические координаты, определяемые формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}}$

C^м
_п( η , ε ) - четные полиномы Айнса порядка p и степени m, где ε - параметр эллиптичности. Режимы Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса являются частным случаем режимов Инса-Гаусса для ε = ∞ и ε = 0 соответственно. ^[17]

Гипергеометрическо-гауссовские режимы [ править ]

Есть еще один важный класс параксиальных волновых мод в цилиндрических координатах, в которых комплексная амплитуда пропорциональна конфлюэнтной гипергеометрической функции .

Эти режимы имеют особую профиль фазы и собственные функции по фотонному орбитальному угловому моменту . Их профили интенсивности характеризуются одним бриллиантовым кольцом; как и моды Лагерра – Гаусса, их интенсивности падают до нуля в центре (на оптической оси), за исключением основной (0,0) моды. Комплексную амплитуду моды можно записать через нормированную (безразмерную) радиальную координату ρ = r / w ₀ и нормированную продольную координату Ζ = z / z _R следующим образом: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}}$

где индекс вращения m является целым числом и является действительным знаком, Γ ( x ) - гамма-функция, а ₁ F ₁ ( a , b ; x ) - конфлюэнтная гипергеометрическая функция.${\displaystyle {\mathsf {p}}\geq -|m|}$

Некоторые подсемейства гипергеометрическо-гауссовых (HyGG) мод могут быть перечислены как модифицированные моды Бесселя-Гаусса, модифицированные экспоненциальные гауссовские моды ^[19] и модифицированные моды Лагерра-Гаусса.

Набор гипергеометрическо-гауссовых мод является избыточным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль в перетяжке пучка ( z = 0 ):

${\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.}$

См. Также [ править ]

• Бесселева балка
• Луч Tophat
• Профилировщик лазерного луча

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Bandres, Miguel A .; Гутиеррес-Вега, Хулио К. (2004). "Ince гауссовы лучи" . Опт. Lett . OSA. 29 (2): 144–146. Bibcode : 2004OptL ... 29..144B . DOI : 10.1364 / OL.29.000144 . PMID  14743992 .
• Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691130187.
• Goubau, G .; Шверинг, Ф. (1961). «О направленном распространении пучков электромагнитных волн». IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode : 1961ITAP .... 9..248G . DOI : 10.1109 / TAP.1961.1144999 . Руководство по ремонту  0134166 .
• Карими, Э .; Zito, G .; Piccirillo, B .; Marrucci, L .; Сантамато, Э. (2007). «Гипергеометрическо-гауссовы пучки» . Опт. Lett . OSA. 32 (21): 3053–3055. arXiv : 0712.0782 . Bibcode : 2007OptL ... 32.3053K . DOI : 10.1364 / OL.32.003053 . PMID  17975594 .
• Мандель, Леонард; Вольф, Эмиль (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41711-2. Глава 5, «Оптические лучи», стр. 267.
• Pampaloni, F .; Эндерлейн, Дж. (2004). "Гауссовы, Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса пучки: Праймер". arXiv : физика / 0410021 .
• Салех, Бахаа Э.А.; Тейч, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-83965-5. Глава 3, «Лучевая оптика», стр. 80–107.
• Сигман, Энтони Э. (1986). Лазеры . Книги университетских наук. ISBN 0-935702-11-3. Глава 16.
• Свелто, Орацио (2010). Принципы лазеров (5-е изд.).
• Ярив, Амнон (1989). Квантовая электроника (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-60997-8.

Внешние ссылки [ править ]

• Учебное пособие по гауссовской оптике, Ньюпорт