Размытие по Гауссу

Разница между маленьким и большим размытием по Гауссу

В обработке изображений , A Гауссово размывание (также известные как гауссово сглаживание ) является результатом размытия изображения с помощью гауссовой функции (имя математика и ученого Гаусса ).

Это широко используемый эффект в графическом программном обеспечении, обычно для уменьшения шума изображения и уменьшения детализации. Визуальный эффект этой техники размытия представляет собой плавное размытие, напоминающее эффект просмотра изображения через полупрозрачный экран, что заметно отличается от эффекта боке, создаваемого не в фокусе линзы или тени объекта при обычном освещении.

Гауссово сглаживание также используются в качестве предварительной обработки стадии компьютерного зрения алгоритмов для того , чтобы улучшить структуры изображений в различных масштабах, см масштаба пространства представления и масштаб пространство реализации .

Математика [ править ]

Математически применение размытия по Гауссу к изображению аналогично свёртыванию изображения с помощью функции Гаусса . Это также известно как двумерное преобразование Вейерштрасса . Напротив, свертка по кругу (т. Е. Размытие по кругу ) более точно воспроизводит эффект боке .

Поскольку преобразование Фурье гауссиана является другим гауссовым, применение размытия по Гауссу приводит к уменьшению высокочастотных компонентов изображения; Таким образом, размытие по Гауссу является фильтром нижних частот .

Полутоновых печать оказывается гладким через гауссовское размытие

Размытие по Гауссу - это тип фильтров размытия изображения, в котором используется функция Гаусса (которая также выражает нормальное распределение в статистике) для расчета преобразования, применяемого к каждому пикселю изображения. Формула функции Гаусса в одном измерении:

${\displaystyle G(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

В двух измерениях это произведение двух таких функций Гаусса, по одной в каждом измерении:

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$^{[1] [2] [3]}

где x - расстояние от начала координат по горизонтальной оси, y - расстояние от начала координат по вертикальной оси, а σ - стандартное отклонение гауссова распределения. При применении в двух измерениях эта формула дает поверхность, контуры которой представляют собой концентрические окружности с гауссовым распределением от центральной точки.

Значения из этого распределения используются для построения матрицы свертки, которая применяется к исходному изображению. Этот процесс свертки визуально проиллюстрирован на рисунке справа. Новое значение каждого пикселя устанавливается равным средневзвешенному значению окрестности этого пикселя. Значение исходного пикселя получает наибольший вес (имеющий наивысшее значение Гаусса), а соседние пиксели получают меньшие веса по мере увеличения их расстояния до исходного пикселя. Это приводит к размытию, которое сохраняет границы и края лучше, чем другие, более однородные фильтры размытия; см. также реализацию масштабного пространства .

Теоретически функция Гаусса в каждой точке изображения будет отличной от нуля, а это означает, что все изображение должно быть включено в вычисления для каждого пикселя. На практике при вычислении дискретного приближения функции Гаусса пиксели на расстоянии более 3 σ имеют достаточно небольшое влияние, чтобы считаться фактически нулевыми. Таким образом, вклад пикселей за пределами этого диапазона можно игнорировать. Обычно программе обработки изображений требуется только вычислить матрицу с размерами × (где - функция потолка ), чтобы гарантировать результат, достаточно близкий к результату, полученному с помощью всего распределения Гаусса.${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

Помимо круговой симметрии, размытие по Гауссу может быть применено к двухмерному изображению как два независимых одномерных вычисления, и поэтому называется разделяемым фильтром . То есть эффект применения двумерной матрицы также может быть достигнут путем применения серии одномерных гауссовых матриц в горизонтальном направлении с последующим повторением процесса в вертикальном направлении. С точки зрения вычислений, это полезное свойство, поскольку вычисление может выполняться во времени (где h - высота, а w - ширина; см. Обозначение Big O ), в отличие от неразделимого ядра.${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)+O\left(h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$

Применение последовательных размытий по Гауссу к изображению имеет тот же эффект, что и применение одного большего размытия по Гауссу, радиус которого является квадратным корнем из суммы квадратов фактически примененных радиусов размытия. Например, применение последовательных размытий по Гауссу с радиусами 6 и 8 дает те же результаты, что и применение одного размытия по Гауссу с радиусом 10, поскольку . Из-за этой взаимосвязи время обработки не может быть сэкономлено путем моделирования размытия по Гауссу с последовательными более мелкими размытиями - необходимое время будет по крайней мере таким же большим, как и выполнение одного большого размытия.${\displaystyle {\sqrt {6^{2}+8^{2}}}=10}$

Размытие по Гауссу обычно используется при уменьшении размера изображения. При понижении дискретизации изображения перед повторной дискретизацией к изображению обычно применяется фильтр нижних частот. Это необходимо для предотвращения появления ложной высокочастотной информации в субдискретизированном изображении ( алиасинг ). Размытие по Гауссу обладает хорошими свойствами, например, не имеет острых краев и, следовательно, не вносит звона в фильтрованное изображение.

Фильтр низких частот [ править ]

Размытие по Гауссу - это фильтр нижних частот , ослабляющий высокочастотные сигналы. ^[3]

Его амплитудный график Боде ( логарифм в частотной области ) представляет собой параболу .

Снижение дисперсии [ править ]

Насколько сглаживает изображение фильтр Гаусса со стандартным отклонением ? Другими словами, насколько это снижает стандартное отклонение значений пикселей на картинке? Предположим, что значения пикселей в градациях серого имеют стандартное отклонение , тогда после применения фильтра уменьшенное стандартное отклонение может быть аппроксимировано как${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \sigma _{r}}$

${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{f}2{\sqrt {\pi }}}}}$. ^{[ необходима цитата ]}

Пример гауссовой матрицы [ править ]

Эта матрица выборки создается путем выборки ядра фильтра Гаусса (с σ = 0,84089642) в средних точках каждого пикселя с последующей нормализацией. Центральный элемент (в [4, 4]) имеет наибольшее значение, симметрично уменьшаясь по мере увеличения расстояния от центра.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00038771&0.01330373&0.11098164&{\textbf {0.22508352}}&0.11098164&0.01330373&0.00038771\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\end{bmatrix}}}$$

Элемент 0,22508352 (центральный) в 1177 раз больше, чем 0,00019117, который находится сразу за пределами 3σ.

Реализация [ править ]

Эффект размытия по Гауссу обычно создается путем свертки изображения с ядром КИХ значений Гаусса.

На практике лучше всего использовать свойство разделимости размытия по Гауссу, разделив процесс на два прохода. На первом проходе используется одномерное ядро ​​для размытия изображения только в горизонтальном или вертикальном направлении. Во втором проходе то же одномерное ядро ​​используется для размытия в оставшемся направлении. Результирующий эффект такой же, как при свертке с двумерным ядром за один проход, но требует меньше вычислений.

Дискретность обычно достигается путем дискретизации ядра фильтра Гаусса в дискретных точках, обычно в положениях, соответствующих средним точкам каждого пикселя. Это снижает вычислительные затраты, но для очень маленьких ядер фильтров точечная дискретизация функции Гаусса с очень небольшим количеством отсчетов приводит к большой ошибке.

В этих случаях точность поддерживается (с небольшими вычислительными затратами) путем интегрирования функции Гаусса по площади каждого пикселя. ^[4]

При преобразовании непрерывных значений Гаусса в дискретные значения, необходимые для ядра, сумма значений будет отличаться от 1. Это приведет к затемнению или осветлению изображения. Чтобы исправить это, значения можно нормализовать, разделив каждый член в ядре на сумму всех членов в ядре.

Эффективность FIR снижается для высоких сигм. Существуют альтернативы КИХ-фильтру. К ним относятся очень быстрое размытие нескольких блоков , быстрый и точный детектор границ БИХ Дерише , « стековое размытие» на основе размытия блока и многое другое. ^[5]

Обычное использование [ править ]

Обнаружение края [ править ]

Сглаживание по Гауссу обычно используется с обнаружением краев . Большинство алгоритмов обнаружения края чувствительны к шуму; 2-мерный лапласовский фильтр, построенный на основе дискретизации оператора Лапласа , очень чувствителен к шумной среде.

Использование фильтра размытия по Гауссу перед обнаружением краев направлено на снижение уровня шума в изображении, что улучшает результат следующего алгоритма обнаружения краев. Этот подход обычно называют лапласианом Гаусса или фильтрацией LoG. ^[6]

Фотография [ править ]

Цифровые камеры нижнего уровня , в том числе многие камеры мобильных телефонов , обычно используют размытие по Гауссу, чтобы скрыть шум изображения, вызванный более высокой светочувствительностью ISO .

Размытие по Гауссу автоматически применяется как часть пост-обработки изображения фотографии программным обеспечением камеры, что приводит к необратимой потере деталей. ^[7]

См. Также [ править ]

• Разница гауссианов
• Шум изображения
• Гауссов фильтр
• Пирамида Гаусса
• Бесконечная импульсная характеристика (БИХ)
• Реализация масштабного пространства
• Медианный фильтр
• Преобразование Вейерштрасса

Примечания и ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• GLSL реализация разделяемого фильтра размытия по Гауссу .
• Пример размытия по Гауссу (фильтрация нижних частот), примененного к гравюре на дереве и травлению , чтобы удалить детали для сравнения изображений.
• Функция Mathematica GaussianFilter

• OpenCV (C ++) функция GaussianBlur